《理論》〈電気回路〉[H29:問5] 三相交流回路に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★★(難しい)

次の文章は,三相交流回路に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。

図のように,対称三相交流電源が\( \ \mathrm {Y} \ \)形不平衡負荷と\( \ 12 \ \Omega \ \)の誘導性リアクタンスからなる回路に接続されている。図の各線間電圧は\( \ {\dot E}_{ab}=100\angle 0^{\circ } \ [\mathrm {V}] \ \)を基準に,\( \ {\dot E}_{\mathrm {bc}}=a^{2}{\dot E}_{\mathrm {ab}} \ \),\( \ {\dot E}_{\mathrm {ca}}=a{\dot E}_{\mathrm {ab}} \ \)とする。ただし,\( \ a \ \)は複素数で\( \ \displaystyle a=e^{\mathrm {j}\frac {2\pi}{3}} \ \)である。
いま,スイッチ\( \ \mathrm {S} \ \)が開いている状態で線電流を求めると,\( \ {\dot I}_{\mathrm {a}}=\fbox {  (1)  } \ \mathrm {A} \ \),\( \ {\dot I}_{\mathrm {b}}=\fbox {  (2)  } \ \mathrm {A} \ \),\( \ {\dot I}_{\mathrm {c}}=\fbox {  (3)  } \ \mathrm {A} \ \)となる。また,負荷で消費される電力は\( \ \fbox {  (4)  } \ \mathrm {W} \ \)となる。
次に,スイッチ\( \ \mathrm {S} \ \)を閉じ,\( \ 12 \ \Omega \ \)の誘導性リアクタンスが端子\( \ \mathrm {a-b} \ \)間に並列に接続されたとすると,線電流\( \ {\dot I}_{\mathrm {a}} \ \)は\( \ {\dot I}_{\mathrm {a}}=\fbox {  (5)  } \ \mathrm {A} \ \)となる。

〔問5の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&(イ)& 2800   &(ロ)& 5.20-\mathrm {j}1.41   &(ハ)& -11.68-\mathrm {j}4.23 \\[ 5pt ] &(ニ)& -6.71+\mathrm {j}4.23   &(ホ)& 13.20-\mathrm {j}9.26   &(ヘ)& 13.20-\mathrm {j}0.93 \\[ 5pt ] &(ト)& 5.20+\mathrm {j}6.92   &(チ)& 11.68+\mathrm {j}1.41   &(リ)& -6.48-\mathrm {j}3.20 \\[ 5pt ] &(ヌ)& 1350   &(ル)& -5.20-\mathrm {j}6.92   &(ヲ)& -1.52-\mathrm {j}3.30 \\[ 5pt ] &(ワ)& -6.71+\mathrm {j}3.62   &(カ)& 1.52+\mathrm {j}2.70   &(ヨ)& 950
\end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

回路方程式自体はそれほど難しくありませんが,その後の計算が非常に難解であり,選択肢も絞れない問題です。\(\mathrm {Y – \Delta}\)変換を用いれば幾分計算は楽になると思います。平成29年の理論の合格点が低かった(80点満点中42点以上)のはこの問題の影響であったと思います。

1.不平衡負荷の\( \ \mathrm {\Delta – Y} \ \)変換と\( \ \mathrm {Y – \Delta} \ \)変換
毎年のように試験で出題されます。一種レベルの受験者であれば,スラスラと思い出せるぐらいにしておきたいところです。
a.\( \ \mathrm {\Delta – Y} \ \)変換
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {a}} &=& \frac {{\dot Z}_{\mathrm {ab}}{\dot Z}_{\mathrm {ca}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {b}} &=& \frac {{\dot Z}_{\mathrm {bc}}{\dot Z}_{\mathrm {ab}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {c}} &=& \frac {{\dot Z}_{\mathrm {ca}}{\dot Z}_{\mathrm {bc}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] b.\( \ \mathrm {Y – \Delta} \ \)変換
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {ab}} &=& \frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {bc}} &=& \frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {ca}} &=& \frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {b}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

2.ベクトルオペレータ\( \ a \ \)
題意で与えられているベクトルオペレータ\( \ a=e^{\mathrm {j}\frac {2\pi}{3}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
a &=& \cos \frac {2\pi}{3}+\mathrm {j}\sin \frac {2\pi}{3} \\[ 5pt ] &=& -\frac {1}{2}+\mathrm {j}\frac {\sqrt {3}}{2} \\[ 5pt ] a^{2} &=& \cos \frac {4\pi}{3}+\mathrm {j}\sin \frac {4\pi}{3} \\[ 5pt ] &=& -\frac {1}{2}-\mathrm {j}\frac {\sqrt {3}}{2} \\[ 5pt ] a^{3} &=& \cos \frac {6\pi}{3}+\mathrm {j}\sin \frac {6\pi}{3} \\[ 5pt ] &=& 1 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

(1)解答:ヘ
問題図の回路の負荷を\( \ \mathrm {Y – \Delta} \ \)変換すると,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {ab}}&=&\frac {-\mathrm {j}4\times 16+16\times 8+8\times -\mathrm {j}4}{8} \\[ 5pt ] &=&16-\mathrm {j}12 \ [\Omega ] \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {bc}}&=&\frac {-\mathrm {j}4\times 16+16\times 8+8\times -\mathrm {j}4}{-\mathrm {j}4} \\[ 5pt ] &=&24+\mathrm {j}32 \ [\Omega ] \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {ca}}&=&\frac {-\mathrm {j}4\times 16+16\times 8+8\times -\mathrm {j}4}{16} \\[ 5pt ] &=&8-\mathrm {j}6 \ [\Omega ] \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。ここで,\( \ {\dot Z}_{\mathrm {ab}} \ \),\( \ {\dot Z}_{\mathrm {bc}} \ \),\( \ {\dot Z}_{\mathrm {ca}} \ \)に流れる電流を\( \ {\dot I}_{\mathrm {ab}} \ \),\( \ {\dot I}_{\mathrm {bc}} \ \),\( \ {\dot I}_{\mathrm {ca}} \ \)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {ab}} &=& \frac {{\dot E}_{\mathrm {ab}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}} \\[ 5pt ] &=& \frac {100}{16-\mathrm {j}12} \\[ 5pt ] &=& \frac {25}{4-\mathrm {j}3} \\[ 5pt ] &=& \frac {25(4+\mathrm {j}3)}{25} \\[ 5pt ] &=& 4+\mathrm {j}3 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] \[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {bc}}&=&\frac {{\dot E}_{\mathrm {bc}}}{{\dot Z}_{\mathrm {bc}}} \\[ 5pt ] &=& \frac {\displaystyle 100 \times ( -\frac {1}{2}-\mathrm {j}\frac {\sqrt {3}}{2})}{24+\mathrm {j}32} \\[ 5pt ] &=& \frac {25 \times ( -1-\mathrm {j}\sqrt {3})}{4\times (3+\mathrm {j}4)} \\[ 5pt ] &=& \frac {25 \times ( -1-\mathrm {j}\sqrt {3})(3-\mathrm {j}4)}{4\times 25} \\[ 5pt ] &=& \frac {-3-4\sqrt {3}+\mathrm {j}(4-3\sqrt {3})}{4} \\[ 5pt ] &≒& -2.482-\mathrm {j}0.299 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] \[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {ca}} &=& \frac {{\dot E}_{\mathrm {ca}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ] &=& \frac {\displaystyle 100 \times ( -\frac {1}{2}+\mathrm {j}\frac {\sqrt {3}}{2})}{8-\mathrm {j}6} \\[ 5pt ] &=& \frac {25 \times ( -1+\mathrm {j}\sqrt {3})}{4-\mathrm {j}3} \\[ 5pt ] &=&\frac {25 \times ( -1+\mathrm {j}\sqrt {3})(4+\mathrm {j}3)}{25} \\[ 5pt ] &=& -4-3\sqrt {3}+\mathrm {j}(-3+4\sqrt {3}) \\[ 5pt ] &≒&-9.196+\mathrm {j}3.928 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。
よって,求める電流\( \ {\dot I}_{\mathrm {a}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {a}} &=& {\dot I}_{\mathrm {ab}}-{\dot I}_{\mathrm {ca}} \\[ 5pt ] &=& (4+\mathrm {j}3)-(-9.196+\mathrm {j}3.928) \\[ 5pt ] &=& 13.196-\mathrm {j}0.928 \\[ 5pt ] &≒&13.2-\mathrm {j}0.93 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答:リ
(1)より\( \ {\dot I}_{\mathrm {b}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {b}} &=& {\dot I}_{\mathrm {bc}}-{\dot I}_{\mathrm {ab}} \\[ 5pt ] &=& (-2.482-\mathrm {j}0.299)-(4+\mathrm {j}3)\\[ 5pt ] &=& -6.482-\mathrm {j}3.299 \\[ 5pt ] &≒&-6.48-\mathrm {j}3.30 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答:ニ
(1)より\( \ {\dot I}_{\mathrm {c}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {c}} &=& {\dot I}_{\mathrm {ca}}-{\dot I}_{\mathrm {bc}} \\[ 5pt ] &=& (-9.196+\mathrm {j}3.928)-(-2.482-\mathrm {j}0.299) \\[ 5pt ] &=& -6.714+\mathrm {j}4.227 \\[ 5pt ] &≒&-6.71+\mathrm {j}4.23 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答:ヌ
負荷で消費される電力\( \ W \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
W&=&16\times |{\dot I}_{\mathrm {b}}|^{2}+8\times |{\dot I}_{\mathrm {c}}|^{2} \\[ 5pt ] &=&16\times (6.482^{2}+3.299^{2})+8\times (6.714^{2}+4.227^{2}) \\[ 5pt ] &≒&16\times (6.482^{2}+3.299^{2})+8\times (6.714^{2}+4.227^{2}) \\[ 5pt ] &≒&16\times (42.016+10.833)+8\times (45.078+17.868) \\[ 5pt ] &≒&1349.95 \\[ 5pt ] &≒& 1350 \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答:ホ
スイッチ\( \ \mathrm {S} \ \)を閉じた後誘導性リアクタンスに流れる電流を\( \ {\dot I}_{\mathrm {L}} \ \)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {L}} &=& \frac {{\dot E}_{\mathrm {ab}}}{\mathrm {j}12} \\[ 5pt ] &=& \frac {100}{\mathrm {j}12} \\[ 5pt ] &≒&-\mathrm {j}8.333 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるから,接続後に流れる線電流\( \ {\dot I}_{\mathrm {a}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {a}} &=& 13.196-\mathrm {j}0.928-\mathrm {j}8.333 \\[ 5pt ] &=& 13.196-\mathrm {j}9.261 \\[ 5pt ] &≒& 13.2-\mathrm {j}9.26 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。



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