【問題】
【難易度】★★★☆☆（普通）
次の文章は，アンペア（アンペール）の周回積分の法則に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。
一般に，空間上の磁界ベクトルを\( \ \boldsymbol H \ \)，\( \ \mathrm {C} \ \)を閉曲線，\( \ \mathrm {d}\boldsymbol l \ \)を\( \ \mathrm {C} \ \)上の微小区間ベクトル，\( \ I \ \)を\( \ \mathrm {C} \ \)と鎖交する電流の総量とすると，アンペアの周回積分の法則は①式のようになる。
\[
\begin{eqnarray}
\oint_{\mathrm {C}} \boldsymbol H \cdot \mathrm {d}\boldsymbol l &=&I ・・・・・・・・・・・・ ① \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
ここで，直交座標空間上において，\( \ z \ \)軸の正方向に一様な電流が流れている時の磁界\( \ \boldsymbol H \ \)を考える。電流の面密度は\( \ J_{\mathrm {z}} \ \)である。図のように，\( \ z \ \)軸と垂直で微小な長方形の積分路を仮定する。積分路は点\( \ \mathrm {P}\left( x，y \right) \ \)から点\( \ \mathrm {Q} \ \)，\( \ \mathrm {R} \ \)，\( \ \mathrm {S} \ \)を経て点\( \ \mathrm {P} \ \)に戻る閉路であり，辺\( \ \mathrm {PQ} \ \)及び辺\( \ \mathrm {RS} \ \)の長さは\( \ \Delta x \ \)，辺\( \ \mathrm {QR} \ \)及び\( \ \mathrm {SP} \ \)の長さは\( \ \Delta y \ \)である。また，\( \ z \ \)軸方向の磁界は\( \ 0 \ \)であるので，\( \ \boldsymbol H=\left( H_{\mathrm {x}}\left( x,y \right) ，H_{\mathrm {y}}\left( x,y \right) ,0 \right) \ \)とし，\( \ x－ y \ \)平面上で考える。
このとき，積分路\( \ \mathrm {PQRS} \ \)を閉曲線\( \ \mathrm {C} \ \)として①式を適用する。まず辺\( \ \mathrm {PQ} \ \)を考え，\( \ \mathrm {PQ} \ \)に平行な\( \ \mathrm {PQ} \ \)上の磁界を\( \ H_{\mathrm {x}}\left( x,y \right) \ \)と近似すると，\( \ \mathrm {PQ} \ \)に沿った\( \ \boldsymbol H \ \)の線積分は\( \ \fbox { （１） } \ \)である。同様に，辺\( \ \mathrm {QR} \ \)，\( \ \mathrm {RS} \ \)，\( \ \mathrm {SP} \ \)に平行な磁界をそれぞれ\( \ H_{\mathrm {y}}\left( x+\Delta x,y \right) \ \)，\( \ -H_{\mathrm {x}}\left( x,y+\Delta y \right) \ \)，\( \ -H_{\mathrm {y}}\left( x,y \right) \ \)と近似すると，①式の左辺は\( \ \fbox { （２） } \ \)である。一方，①式の右辺は，この積分路に鎖交する電流\( \ I \ \)なので\( \ \fbox { （３） } \ \)である。したがって，①式より\( \ \fbox { （４） } \ \)が導かれる。
\( \ \Delta x \ \)，\( \ \Delta y \ \)をともに\( \ 0 \ \)に近づけると，電流密度ベクトルを\( \ \boldsymbol J \ \)としたときに\( \ \fbox { （５） } \ \)のように表されるアンペアの法則の微分形における\( \ z \ \)方向成分と同じ式になる。
〔問2の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）& \frac {H_{\mathrm {y}}\left( x+\Delta x,y \right) -H_{\mathrm {y}}\left( x,y \right) }{\Delta y}-\frac {H_{\mathrm {x}}\left( x,y+\Delta y \right) -H_{\mathrm {x}}\left( x,y \right) }{\Delta x}=J_{\mathrm {z}} \\[ 5pt ]
&（ロ）& \frac {H_{\mathrm {x}}\left( x,y \right) }{\Delta x}+\frac {H_{\mathrm {y}}\left( x+\Delta x,y \right) }{\Delta y}-\frac {H_{\mathrm {x}}\left( x,y+\Delta y \right) }{\Delta x}-\frac {H_{\mathrm {y}}\left( x,y \right) }{\Delta y} \\[ 5pt ]
&（ハ）& H_{\mathrm {x}}\left( x,y \right) \cdot \Delta y +H_{\mathrm {y}}\left( x+\Delta x,y \right) \cdot \Delta x -H_{\mathrm {x}}\left( x,y+\Delta y \right) \cdot \Delta y-H_{\mathrm {y}}\left( x,y \right) \cdot \Delta x \\[ 5pt ]
&（ニ）& H_{\mathrm {x}}\left( x,y \right) \cdot \Delta x +H_{\mathrm {y}}\left( x+\Delta x,y \right) \cdot \Delta y -H_{\mathrm {x}}\left( x,y+\Delta y \right) \cdot \Delta x-H_{\mathrm {y}}\left( x,y \right) \cdot \Delta y \\[ 5pt ]
&（ホ）& \frac {H_{\mathrm {y}}\left( x+\Delta x,y \right) -H_{\mathrm {y}}\left( x,y \right) }{\Delta x}-\frac {H_{\mathrm {x}}\left( x,y+\Delta y \right) -H_{\mathrm {x}}\left( x,y \right) }{\Delta y}=J_{\mathrm {z}} \\[ 5pt ]
&（ヘ）& \frac {H_{\mathrm {y}}\left( x+\Delta x,y \right) -H_{\mathrm {y}}\left( x,y \right) }{\Delta x\cdot \Delta y }-\frac {H_{\mathrm {x}}\left( x,y+\Delta y \right) -H_{\mathrm {x}}\left( x,y \right) }{\Delta x\cdot \Delta y }=J_{\mathrm {z}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
\[
\begin{eqnarray}
&（ト）& H_{\mathrm {x}}\left( x,y \right) \cdot \Delta x &（チ）& \mathrm {div} \boldsymbol H =0 &（リ）& J_{\mathrm {z}}\cdot \Delta x \cdot \Delta y \\[ 5pt ]
&（ヌ）& J_{\mathrm {z}} &（ル）& \frac {H_{\mathrm {x}}\left( x,y \right) }{\Delta x} &（ヲ）& \mathrm {rot} \boldsymbol H =\boldsymbol J \\[ 5pt ]
&（ワ）& \mathrm {rot} \boldsymbol J =\boldsymbol H &（カ）& \frac {J_{\mathrm {z}}}{\Delta x \cdot \Delta y } &（ヨ）& H_{\mathrm {x}}\left( x,y \right) \cdot \Delta y \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【ワンポイント解説】
本格的な電磁気の教科書の内容であり，やや難しそうに見えますが，問題としては文章をよく読み考えると解ける問題となっています。
回転\( \ \mathrm {rot} \ \)の内容等は専門書を読み進めると出てくる内容なので，\( \ 1 \ \)種受験生ならば覚えておいた方が良いと思います。
1.アンペア（アンペール）の周回積分の法則
空間上の磁界ベクトルを\( \ \boldsymbol H \ \)，\( \ \mathrm {C} \ \)を閉曲線，\( \ \mathrm {d}\boldsymbol l \ \)を\( \ \mathrm {C} \ \)上の微小区間ベクトル，\( \ I \ \)を\( \ \mathrm {C} \ \)と鎖交する電流の総量とすると，
\[
\begin{eqnarray}
\oint_{\mathrm {C}} \boldsymbol H \cdot \mathrm {d}\boldsymbol l &=&I \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の関係があり，これをアンペアの周回積分の法則といいます。
例えば，図1のように無限長直線電流\( \ I_{\mathrm {y}} \ \)が流れているとき，電線から距離\( \ r \ \)の位置での磁界の強さ\( \ H \ \)は，\( \ l=2\pi r \ \)なので，
\[
\begin{eqnarray}
2\pi r H&=&I_{\mathrm {y}} \\[ 5pt ]
H&=&\frac {I_{\mathrm {y}}}{2\pi r} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
2.\( \ \mathrm {rot} \ \)(回転)
\( \ \mathrm {rot} \ \)の定義は，
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {rot} \boldsymbol H&=&\left( \frac { \partial H_{\mathrm {z}}}{ \partial y }-\frac { \partial H_{\mathrm {y}}}{ \partial z }，\frac { \partial H_{\mathrm {x}}}{ \partial z }-\frac { \partial H_{\mathrm {z}}}{ \partial x }，\frac { \partial H_{\mathrm {y}}}{ \partial x }-\frac { \partial H_{\mathrm {x}}}{ \partial y }\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，外積を用いて表すと，
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {rot} \boldsymbol H &=& \begin{bmatrix} \mathrm {i} & \mathrm {j} & \mathrm {k} \\ \frac { \partial }{ \partial x } & \frac { \partial }{ \partial y } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ H_{\mathrm {x}} & H_{\mathrm {y}} & H_{\mathrm {z}} \end{bmatrix} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，こちらの方が覚えやすいと思います。
(\( \ \mathrm {i} \ \)，\( \ \mathrm {j} \ \)，\( \ \mathrm {k} \ \)は\( \ x \ \)軸，\( \ y \ \)軸，\( \ z \ \)軸の単位ベクトルです)
3.\( \ \mathrm {div} \ \)(発散)
ある微小な立方体の発散量で次式で定義されます。
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {div} \boldsymbol H &=& \frac { \partial H_{\mathrm {x}}}{ \partial x }+\frac { \partial H_{\mathrm {y}}}{ \partial y }+\frac { \partial H_{\mathrm {z}}}{ \partial z } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【解答】
(1)解答：ト
\( \ \mathrm {PQ} \ \)に沿った\( \ \boldsymbol H \ \)の線積分は，\( \ \mathrm {PQ}=\Delta x \ \)及び\( \ \boldsymbol H=H_{\mathrm {x}}\left( x,y \right) \ \)であるから，
\[
\begin{eqnarray}
H_{\mathrm {x}}\left( x,y \right) \cdot \Delta x \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(2)解答：ニ
(1)と同様に，閉曲線での磁界の線積分は，
\[
\begin{eqnarray}
\oint_{\mathrm {C}} \boldsymbol H \cdot \mathrm {d}\boldsymbol l &=&H_{\mathrm {x}}\left( x,y \right) \cdot \Delta x +H_{\mathrm {y}}\left( x+\Delta x,y \right) \cdot \Delta y -H_{\mathrm {x}}\left( x,y+\Delta y \right) \cdot \Delta x-H_{\mathrm {y}}\left( x,y \right) \cdot \Delta y \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(3)解答：リ
①式の右辺は四角形\( \ \mathrm {PQRS} \ \)を通過する電流なので，電流密度\( \ J_{\mathrm {z}} \ \)と四角形\( \ \mathrm {PQRS} \ \)の面積\( \ \Delta S=\Delta x \cdot \Delta y \ \)より，
\[
\begin{eqnarray}
I &=&J_{\mathrm {z}}\cdot \Delta S \\[ 5pt ]
&=&J_{\mathrm {z}}\cdot \Delta x \cdot \Delta y \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(4)解答：ホ
(2)及び(3)の解答式より，
\[
\begin{eqnarray}
\oint_{\mathrm {C}} \boldsymbol H \cdot \mathrm {d}\boldsymbol l &=&I \\[ 5pt ]
H_{\mathrm {x}}\left( x,y \right) \cdot \Delta x +H_{\mathrm {y}}\left( x+\Delta x,y \right) \cdot \Delta y -H_{\mathrm {x}}\left( x,y+\Delta y \right) \cdot \Delta x-H_{\mathrm {y}}\left( x,y \right) \cdot \Delta y &=&J_{\mathrm {z}}\cdot \Delta x \cdot \Delta y \\[ 5pt ]
H_{\mathrm {y}}\left( x+\Delta x,y \right) \cdot \Delta y -H_{\mathrm {y}}\left( x,y \right) \cdot \Delta y-H_{\mathrm {x}}\left( x,y+\Delta y \right) \cdot \Delta x +H_{\mathrm {x}}\left( x,y \right) \cdot \Delta x &=&J_{\mathrm {z}}\cdot \Delta x \cdot \Delta y \\[ 5pt ]
\frac {H_{\mathrm {y}}\left( x+\Delta x,y \right) -H_{\mathrm {y}}\left( x,y \right) }{\Delta x}-\frac {H_{\mathrm {x}}\left( x,y+\Delta y \right) -H_{\mathrm {x}}\left( x,y \right) }{\Delta y}&=&J_{\mathrm {z}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(5)解答：ヲ
\( \ \Delta x \ \)，\( \ \Delta y \ \)ともに\( \ 0 \ \)に近づけると，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\partial H_{\mathrm {y}}}{\partial x}-\frac {\partial H_{\mathrm {x}}}{\partial y}&=&J_{\mathrm {z}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，ワンポイント「2.\( \ \mathrm {rot} \ \)(回転)」の通り，上式は\( \ \mathrm {rot} \boldsymbol H =\boldsymbol J \ \)の\( \ z \ \)方向成分と同じ式になる。
愛知県出身 愛称たけちゃん