《理論》〈電子理論〉[R03:問6]ホール効果測定のメカニズムに関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

次の文章は，ホール効果測定に関する記述である。文中の$\ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ $に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。

図のように，板状の半導体（長さ$\ L \ $，幅$\ W \ $，厚さ$\ t \ $）の$\ \mathrm {A} \ $面と$\ \mathrm {B} \ $面の間に電圧$\ V\left( ＞0\right) \ $を印加する。半導体中のキャリヤが電界から力を受けて一定速度$\ v \ $で運動している状況を考える。キャリヤが正の電荷量$\ q \ $を持つ正孔の場合，正孔の濃度を$\ p \ $，移動度を$\ \mu _{\mathrm {h}} \ $と仮定すると，運動の方向は$\ x \ $軸の正方向となり，$\ v= \ \fbox {　 （１） 　} \ $と表されることから，回路を流れる電流$\ I \ $は，$\ I= \ \fbox {　 （２） 　} \ $と表される。

この半導体に，図の$\ z \ $軸の正方向に磁束密度$\ B_{\mathrm {z}}\left( ＞0\right) \ $の磁界を印加すると，正孔がローレンツ力を受けることで，$\ \mathrm {C} \ $面の電位が$\ \mathrm {D} \ $面に対して$\ \fbox {　 （３） 　} \ $くなる。この電位差をホール電圧$\ V_{\mathrm {H}} \ $と定義する。定常状態では，$\ V_{\mathrm {H}} \ $による電界から受ける力と，ローレンツ力が釣り合うことから，$\ V_{\mathrm {H}}= \ \fbox {　 （４） 　} \ $と表される。以上の関係を用いると，$\ V_{\mathrm {H}} \ $と$\ I \ $を実測することにより$\ \mu _{\mathrm {h}} \ $と$\ p \ $が得られ，$\ p= \ \fbox {　 （５） 　} \ $と算出される。

〔問6の解答群〕

$$\begin{eqnarray} &（イ）&　高　　　　　&（ロ）&　等し　　　　　&（ハ）&　\frac {\mu _{\mathrm {h}}V}{W} \\[ 5pt ] &（ニ）&　\frac {qp\mu _{\mathrm {h}}V}{L}　　　　　&（ホ）&　低　　　　　&（ヘ）&　\frac {qB_{\mathrm {z}}}{t}\frac {I}{V_{\mathrm {H}}} \\[ 5pt ] &（ト）&　\frac {\mu _{\mathrm {h}}V}{L}　　　　　&（チ）&　\frac {q\mu _{\mathrm {h}}VB_{\mathrm {z}}W}{L}　　　　　&（リ）&　\frac {\mu _{\mathrm {h}}VB_{\mathrm {z}}W}{L} \\[ 5pt ] &（ヌ）&　\frac {B_{\mathrm {z}}}{qt}\frac {I}{V_{\mathrm {H}}}　　　　　&（ル）&　\frac {B_{\mathrm {z}}}{qt}\frac {V_{\mathrm {H}}}{I}　　　　　&（ヲ）&　\frac {qp\mu _{\mathrm {h}}VtW}{L} \\[ 5pt ] &（ワ）&　\frac {qp\mu _{\mathrm {h}}VtL}{W}　　　　　 &（カ）&　\frac {\mu _{\mathrm {h}}L}{V}　　　　　 &（ヨ）&　\frac {\mu _{\mathrm {h}}VB_{\mathrm {z}}W}{Lt} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$

【ワンポイント解説】

ホール効果測定に関する問題です。
ホール効果は半導体に電流を流し，さらに電流に直角の磁界をかけたとき，電流と磁界に直角の方向に電圧が生じる現象で，本問はそのメカニズムを説明している内容となっています。
電荷の偏りによる起電力の発生がポイントとなり，電子理論の範囲ですが電磁気の知識を使用する問題となります。

1.電界により電荷に働く力の大きさ
一様な電界$\ E \ $が電荷$\ q \ $にかかっているとき，この電荷$\ q \ $に働く力の大きさ$\ F \ $は，

$$\begin{eqnarray} F &=&qE \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となります。

2.フレミングの左手の法則
中指を電流の向き，人差し指を磁界の向きに合わせると，親指の方向に力が働くという法則で，頭文字を取って「電磁力」と覚えます。
磁束密度の大きさ$\ B \ $，電子の速度$\ v \ $，電荷を$\ q \ $とすると，電荷にかかるローレンツ力$\ F \ $は，

$$\begin{eqnarray} F &=&qvB \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となります。

3.正孔と電子の移動度と電流密度
電界$\ E \ $が加わっている電界中に正孔と電子があるとすると，正孔は電界と同方向に，電子は電界と反対方向に動きます。その時の正孔と電子の速度を$\ v_{\mathrm {h}} \ $，$\ v_{\mathrm {e}} \ $，正孔と電子の移動度を$\ \mu _{\mathrm {h}} \ $，$\ \mu_{\mathrm {e}} \ $とすると，

$$\begin{eqnarray} v_{\mathrm {h}}&=&\mu _{\mathrm {h}}E \\[ 5pt ] v_{\mathrm {e}}&=&\mu _{\mathrm {e}}E \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ の関係があります。ここで，正孔の電荷量が$\ q \ $，電子の電荷量が$\ -q \ $で，正孔と電子の濃度が$\ p \ $，$\ n \ $であるとすると，正孔と電子の電流密度$\ J_{\mathrm {h}} \ $，$\ J_{\mathrm {e}} \ $は，
$$\begin{eqnarray} J_{\mathrm {h}}&=&qpv_{\mathrm {h}} \\[ 5pt ] &=&qp\mu _{\mathrm {h}}E \\[ 5pt ] J_{\mathrm {e}}&=&-qnv_{\mathrm {e}} \\[ 5pt ] &=&-qn\mu _{\mathrm {e}}E \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となります。

【解答】

(1)解答：ト
ワンポイント解説「3.正孔と電子の移動度と電流密度」の通り，正電荷の速度$\ v \ $は，電源$\ V \ $による電界を$\ E \ $とすると，

$$\begin{eqnarray} v&=&\mu _{\mathrm {h}}E \\[ 5pt ] &=&\frac {\mu _{\mathrm {h}}V}{L} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ と求められる。

(2)解答：ヲ
ワンポイント解説「3.正孔と電子の移動度と電流密度」の通り，半導体内の電流密度$\ J \ $は，

$$\begin{eqnarray} J&=&qpv \\[ 5pt ] &=&\frac {qp\mu _{\mathrm {h}}V}{L} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ であり，$\ \mathrm {A} \ $面と$\ \mathrm {B} \ $面の面積$\ S=Wt \ $であるから，回路を流れる電流$\ I \ $は，
$$\begin{eqnarray} I&=&JS \\[ 5pt ] &=&\frac {qp\mu _{\mathrm {h}}V}{L}\cdot Wt \\[ 5pt ] &=&\frac {qp\mu _{\mathrm {h}}VtW}{L} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ と求められる。

(3)解答：イ
$\ z \ $軸の正方向に磁束密度$\ B_{\mathrm {z}} \ $が印加されると，ワンポイント解説「2.フレミングの左手の法則」の通り，図2のようにローレンツ力が加わる。すると，正電荷が$\ \mathrm {C} \ $面側に引き寄せられ，$\ \mathrm {C} \ $面の電位が$\ \mathrm {D} \ $面に対して高くなる。

(4)解答：リ
$\ V_{\mathrm {H}} \ $による電界$\ E_{\mathrm {H}} \ $は，

$$\begin{eqnarray} E_{\mathrm {H}}&=&\frac {V_{\mathrm {H}}}{W} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ であり，その力の大きさ$\ F_{\mathrm {H}} \ $は，ワンポイント解説「1.電界により電荷に働く力の大きさ」の通り，
$$\begin{eqnarray} F_{\mathrm {H}}&=&qE_{\mathrm {H}} \\[ 5pt ] &=&\frac {qV_{\mathrm {H}}}{W} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となる。定常状態においては，ローレンツ力と等しいので，
$$\begin{eqnarray} F_{\mathrm {H}}=\frac {qV_{\mathrm {H}}}{W}&=&qvB_{\mathrm {z}} \\[ 5pt ] \frac {qV_{\mathrm {H}}}{W}&=&q\cdot \frac {\mu _{\mathrm {h}}V}{L}\cdot B_{\mathrm {z}} \\[ 5pt ] \frac {V_{\mathrm {H}}}{W}&=&\frac {\mu _{\mathrm {h}}VB_{\mathrm {z}}}{L} \\[ 5pt ] V_{\mathrm {H}}&=&\frac {\mu _{\mathrm {h}}VB_{\mathrm {z}}W}{L} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ と求められる。

(5)解答：ヌ
(2)，(4)解答式より，

$$\begin{eqnarray} \frac {\mu _{\mathrm {h}}VW}{L}=\frac {I}{qpt}&=&\frac {V_{\mathrm {H}}}{B_{\mathrm {z}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となるから，これを$\ p \ $について整理すると，
$$\begin{eqnarray} \frac {I}{qpt}&=&\frac {V_{\mathrm {H}}}{B_{\mathrm {z}}} \\[ 5pt ] p&=&\frac {B_{\mathrm {z}}}{qt}\frac {I}{V_{\mathrm {H}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ と求められる。