【問題】
【難易度】★★★★☆（やや難しい）
次の文章は，直流回路に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切な式を解答群の中から選びなさい。
図において，抵抗\( \ R_{4} \ \)に流れる電流\( \ I \ \)をミルマンの定理を用いて求めたい。
まず，電圧源を短絡除去して端子\( \ \mathrm {A – B} \ \)間からみた回路全体のコンダクタンスを求めると\( \ \fbox { （１） } \ \)となる。次に，端子\( \ \mathrm {A – B} \ \)間を短絡したときに，端子\( \ \mathrm {B} \ \)から抵抗\( \ R_{1} \ \)と\( \ R_{2} \ \)を介して端子\( \ \mathrm {A} \ \)に流れる電流の和を求め，\( \ \fbox { （１） } \ \)で割れば，\( \ V= \ \fbox { （２） } \ \)となる。したがって，\( \ I= \ \fbox { （３） } \ \)となる。
さらに，\( \ R_{4} \ \)で消費される電力が最大となる\( \ R_{4} \ \)の値を求めてみよう。\( \ R_{4} \ \)で消費される電力\( \ P \ \)は\( \ P=I^{2}R_{4} \ \)で求められるから，\( \ R_{4} \ \)の値が\( \ R_{4}= \ \fbox { （４） } \ \)の条件を満足する場合に電力は最大となり，最大電力\( \ P_{\mathrm {m}} \ \)は\( \ P_{\mathrm {m}}= \ \fbox { （５） } \ \)となる。
〔問2の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）& \frac {\left( R_{2}+R_{3}\right) E_{1}-R_{1}E_{2}}{R_{1}\left( R_{2}+R_{3}\right) +R_{4}\left( R_{1}+R_{2}+R_{3}\right) } （ロ） \frac {R_{2}R_{3}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}} \\[ 5pt ]
&（ハ）& \frac {R_{1}\left( R_{2}+R_{3}\right) }{R_{1}+R_{2}+R_{3}} （ニ） \frac {\left[ \left( R_{2}+R_{3}\right) E_{1}-R_{1}E_{2}\right] ^{2}}{2\left( R_{1}+R_{2}+R_{3}\right) } \\[ 5pt ]
&（ホ）& \frac {R_{2}R_{3}\left [\left( R_{2}+R_{3}\right) E_{1}-R_{1}E_{2}\right] }{R_{4}\left( R_{2}+R_{3}\right) \left( R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}\right) +R_{1}R_{2}R_{3}\left( R_{2}+R_{3}\right) } \\[ 5pt ]
&（ヘ）& \frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{R_{2}}+\frac {1}{R_{3}}+\frac {1}{R_{4}} \ \ （ト） \frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{R_{2}+R_{3}} \\[ 5pt ]
&（チ）& \frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{R_{4}}+\frac {1}{R_{2}+R_{3}} （リ） \frac {\left( R_{2}+R_{3}\right) E_{1}-R_{1}E_{2}}{\left( R_{1}+R_{2}+R_{3}\right) R_{4}} \\[ 5pt ]
&（ヌ）& \frac {\left( R_{2}+R_{3}\right) E_{1}-R_{1}E_{2}}{R_{1}\left( R_{2}+R_{3}\right) +R_{4}\left( R_{1}+R_{2}+R_{3}\right) }R_{4} \ \ （ル） \frac {\left( R_{2}+R_{3}\right) E_{1}-R_{1}E_{2}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}} \\[ 5pt ]
&（ヲ）& \frac {\left[ \left( R_{2}+R_{3}\right) E_{1}-R_{1}E_{2}\right] ^{2}}{4R_{1}\left( R_{2}+R_{3}\right) \left( R_{1}+R_{2}+R_{3}\right) } \\[ 5pt ]
&（ワ）& \frac {R_{2}R_{3}R_{4}\left [\left( R_{2}+R_{3}\right) E_{1}-R_{1}E_{2}\right] }{R_{4}\left( R_{2}+R_{3}\right) \left( R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}\right) +R_{1}R_{2}R_{3}\left( R_{2}+R_{3}\right) } \\[ 5pt ]
&（カ）& \frac {R_{2}R_{3}\left [\left( R_{2}+R_{3}\right) E_{1}-R_{1}E_{2}\right] ^{2}}{4R_{1}\left( R_{2}+R_{3}\right) ^{2}\left( R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}\right) } （ヨ） \frac {R_{1}R_{2}R_{3}}{R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}} && \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【ワンポイント解説】
ミルマンの定理を使用した問題です。
解法はそれほど難しくありませんが，計算量が非常に多いため，\( \ 15 \ \)分での完答はかなり厳しいかもしれません。
(4)の計算を省略できた方が完答できた可能性が高いかと思います。
1.ミルマンの定理
図1のような，電源\( \ E_{1}，E_{2}，\cdots ，E_{\mathrm {n}} \ \)と抵抗\( \ r_{1}，r_{2}，\cdots ，r_{\mathrm {n}} \ \)が直並列された回路における全体の電圧\( \ V \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
V&=&\frac {\displaystyle \frac {E_{1}}{r_{1}}+\frac {E_{2}}{r_{2}}+\frac {E_{3}}{r_{3}}+\cdots +\frac {E_{\mathrm {n}}}{r_{\mathrm {n}}}}{\displaystyle \frac {1}{r_{1}}+\frac {1}{r_{2}}+\frac {1}{r_{3}}+\cdots +\frac {1}{r_{\mathrm {n}}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で求められます。電源がない時は\( \ E=0 \ \)を代入すれば，ミルマンの定理は成立します。
【解答】
(1)解答：チ
電圧源を短絡除去して端子\( \ \mathrm {A – B} \ \)間からみた回路全体のコンダクタンス\( \ G \ \)は，\( \ R_{1} \ \)，\( \ R_{1}+ R_{3} \ \)，\( \ R_{4} \ \)の合成コンダクタンスであるから，
\[
\begin{eqnarray}
G&=&\frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{R_{4}}+\frac {1}{R_{2}+R_{3}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(2)解答：ヌ
電源の向きに注意して問題図の回路にミルマンの定理を適用すると，ワンポイント解説「1.ミルマンの定理」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
V&=&\frac {\displaystyle \frac {E_{1}}{R_{1}}+\frac {0}{R_{4}}-\frac {E_{2}}{R_{2}+R_{3}}}{\displaystyle \frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{R_{4}}+\frac {1}{R_{2}+R_{3}}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\displaystyle \frac {E_{1}}{R_{1}}-\frac {E_{2}}{R_{2}+R_{3}}}{\displaystyle \frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{R_{4}}+\frac {1}{R_{2}+R_{3}}}\times \frac {R_{1}R_{4}\left( R_{2}+R_{3}\right) }{R_{1}R_{4}\left( R_{2}+R_{3}\right) } \\[ 5pt ]
&=&\frac {R_{4}\left( R_{2}+R_{3}\right) E_{1}-R_{1}R_{4}E_{2}}{R_{4}\left( R_{2}+R_{3}\right) +R_{1}\left( R_{2}+R_{3}\right) +R_{1}R_{4}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\left( R_{2}+R_{3}\right) E_{1}-R_{1}E_{2}}{R_{1}\left( R_{2}+R_{3}\right) +R_{4}\left( R_{1}+R_{2}+R_{3}\right) }R_{4} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(3)解答：イ
(2)解答式より，電流\( \ I \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I&=&\frac {V}{R_{4}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\left( R_{2}+R_{3}\right) E_{1}-R_{1}E_{2}}{R_{1}\left( R_{2}+R_{3}\right) +R_{4}\left( R_{1}+R_{2}+R_{3}\right) }R_{4} \cdot \frac {1}{R_{4}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\left( R_{2}+R_{3}\right) E_{1}-R_{1}E_{2}}{R_{1}\left( R_{2}+R_{3}\right) +R_{4}\left( R_{1}+R_{2}+R_{3}\right) } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(4)解答：ハ
\( \ R_{4} \ \)で消費される電力\( \ P \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P&=&I^{2}R_{4} \\[ 5pt ]
&=&\left\{ \frac {\left( R_{2}+R_{3}\right) E_{1}-R_{1}E_{2}}{R_{1}\left( R_{2}+R_{3}\right) +R_{4}\left( R_{1}+R_{2}+R_{3}\right) }\right\} ^{2}R_{4} \\[ 5pt ]
&=&\frac {R_{4}\left\{ \left( R_{2}+R_{3}\right) E_{1}-R_{1}E_{2}\right\} ^{2}}{\left\{ R_{1}\left( R_{2}+R_{3}\right) +R_{4}\left( R_{1}+R_{2}+R_{3}\right) \right\} ^{2}} ・・・・・・・・ ① \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であり，両辺\( \ R_{4} \ \)で微分すると，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}P}{\mathrm {d}R_{4}}&=&\frac {\left\{ \left( R_{2}+R_{3}\right) E_{1}-R_{1}E_{2}\right\} ^{2}\left\{ R_{1}\left( R_{2}+R_{3}\right) +R_{4}\left( R_{1}+R_{2}+R_{3}\right) \right\} ^{2}-R_{4}\left\{ \left( R_{2}+R_{3}\right) E_{1}-R_{1}E_{2}\right\} ^{2} \left( R_{1}+R_{2}+R_{3}\right) \cdot 2 \left\{ R_{1}\left( R_{2}+R_{3}\right) +R_{4}\left( R_{1}+R_{2}+R_{3}\right) \right\} }{\left\{ R_{1}\left( R_{2}+R_{3}\right) +R_{4}\left( R_{1}+R_{2}+R_{3}\right) \right\} ^{4}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\left\{ \left( R_{2}+R_{3}\right) E_{1}-R_{1}E_{2}\right\} ^{2}\left\{ R_{1}\left( R_{2}+R_{3}\right) +R_{4}\left( R_{1}+R_{2}+R_{3}\right) \right\} }{\left\{ R_{1}\left( R_{2}+R_{3}\right) +R_{4}\left( R_{1}+R_{2}+R_{3}\right) \right\} ^{4}}\left[ \left\{ R_{1}\left( R_{2}+R_{3}\right) +R_{4}\left( R_{1}+R_{2}+R_{3}\right) \right\} -2R_{4}\left( R_{1}+R_{2}+R_{3}\right) \right] \\[ 5pt ]
&=&\frac {\left\{ \left( R_{2}+R_{3}\right) E_{1}-R_{1}E_{2}\right\} ^{2}\left\{ R_{1}\left( R_{2}+R_{3}\right) +R_{4}\left( R_{1}+R_{2}+R_{3}\right) \right\} }{\left\{ R_{1}\left( R_{2}+R_{3}\right) +R_{4}\left( R_{1}+R_{2}+R_{3}\right) \right\} ^{4}}\left\{ R_{1}\left( R_{2}+R_{3}\right) -R_{4}\left( R_{1}+R_{2}+R_{3}\right) \right\} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，\( \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}P}{\mathrm {d}R_{4}}=0 \ \)のとき，
\[
\begin{eqnarray}
R_{1}\left( R_{2}+R_{3}\right) -R_{4}\left( R_{1}+R_{2}+R_{3}\right)&=&0 \\[ 5pt ]
R_{1}\left( R_{2}+R_{3}\right) &=&R_{4}\left( R_{1}+R_{2}+R_{3}\right) \\[ 5pt ]
R_{4}&=&\frac {R_{1}\left( R_{2}+R_{3}\right) }{R_{1}+R_{2}+R_{3}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
※ 一次試験においては，最大電力となる条件が端子\( \ \mathrm {A – B} \ \)から電源側を見た合成抵抗と\( \ R_{4} \ \)が等しいときと知っていればそれを用いて求めても良いかと思います。
(5)解答：ヲ
(4)解答式を①式に代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {m}}&=&\frac {R_{4}\left\{ \left( R_{2}+R_{3}\right) E_{1}-R_{1}E_{2}\right\} ^{2}}{\left\{ R_{1}\left( R_{2}+R_{3}\right) +R_{4}\left( R_{1}+R_{2}+R_{3}\right) \right\} ^{2}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\displaystyle \frac {R_{1}\left( R_{2}+R_{3}\right) }{R_{1}+R_{2}+R_{3}}\left\{ \left( R_{2}+R_{3}\right) E_{1}-R_{1}E_{2}\right\} ^{2}}{\displaystyle \left\{ R_{1}\left( R_{2}+R_{3}\right) +\frac {R_{1}\left( R_{2}+R_{3}\right) }{R_{1}+R_{2}+R_{3}}\left( R_{1}+R_{2}+R_{3}\right) \right\} ^{2}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\displaystyle \frac {R_{1}\left( R_{2}+R_{3}\right) }{R_{1}+R_{2}+R_{3}}\left\{ \left( R_{2}+R_{3}\right) E_{1}-R_{1}E_{2}\right\} ^{2}}{\displaystyle \left\{ R_{1}\left( R_{2}+R_{3}\right) +R_{1}\left( R_{2}+R_{3}\right) \right\} ^{2}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\displaystyle \frac {R_{1}\left( R_{2}+R_{3}\right) }{R_{1}+R_{2}+R_{3}}\left\{ \left( R_{2}+R_{3}\right) E_{1}-R_{1}E_{2}\right\} ^{2}}{\displaystyle 4\left\{ R_{1}\left( R_{2}+R_{3}\right) \right\} ^{2}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\displaystyle \frac {1}{R_{1}+R_{2}+R_{3}}\left\{ \left( R_{2}+R_{3}\right) E_{1}-R_{1}E_{2}\right\} ^{2}}{\displaystyle 4R_{1}\left( R_{2}+R_{3}\right) } \\[ 5pt ]
&=&\frac {\displaystyle \left\{ \left( R_{2}+R_{3}\right) E_{1}-R_{1}E_{2}\right\} ^{2}}{\displaystyle 4R_{1}\left( R_{2}+R_{3}\right) \left( R_{1}+R_{2}+R_{3} \right) } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
愛知県出身 愛称たけちゃん