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【問題】
【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）
表1に示す定格をもつ\( \ 2 \ \)台の変圧器を有する変電所がある。この変電所の全負荷\( \ P \ \mathrm {[MW]} \ \)が表2に示すとおり変化するとき，次の問に答えよ。なお，負荷の力率は\( \ 0.8 \ \)で一定とする。
表1
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
項目 & 容量 & 電圧 & 短絡インピーダンス & 無負荷損 & 定格負荷時の \\
& \mathrm {[MV\cdot A]} & \mathrm {[kV]} & \mathrm {[％]} & \mathrm {[kW]} & 負荷損 \ \mathrm {[kW]} \\
\hline
変圧器 \ \mathrm {A} & 45 & 77 / 22 & 10 \left( 定格容量ベース \right) & 40 & 216 \\
\hline
変圧器 \ \mathrm {B} & 30 & 77 / 22 & 10 \left( 定格容量ベース \right) & 30 & 144 \\
\hline
\end{array}
\]
表2
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\mathrm {No.} & 時間帯 & 全負荷 \ P \ \mathrm {[MW]} \\
\hline
① & \ 0 \ 時から \ 8 \ 時 & 12 \\
\hline
② & \ 8 \ 時から \ 12 \ 時 & 18 \\
\hline
③ & \ 12 \ 時から \ 20 \ 時 & 25 \\
\hline
④ & \ 20 \ 時から \ 24 \ 時 & 10 \\
\hline
\end{array}
\]
(1) \( \ 2 \ \)台の変圧器を並行運転した場合に，変圧器\( \ \mathrm {A} \ \)及び変圧器\( \ \mathrm {B} \ \)がそれぞれ分担する負荷を\( \ P_{\mathrm {A}} \ \mathrm {[MW]} \ \)，\( \ P_{\mathrm {B}} \ \mathrm {[MW]} \ \)とする。\( \ P_{\mathrm {A}} \ \)，\( \ P_{\mathrm {B}} \ \)をそれぞれ変電所の全負荷\( \ P \ \)を用いて表せ。
(2) 変圧器\( \ \mathrm {A} \ \)を\( \ 1 \ \)台運転したときの全損失を\( \ P_{\mathrm {LA}} \ \mathrm {[kW]} \ \)，変圧器\( \ \mathrm {B} \ \)を\( \ 1 \ \)台運転したときの全損失を\( \ P_{\mathrm {LB}} \ \mathrm {[kW]} \ \)，\( \ 2 \ \)台の変圧器を並行運転したときの全損失を\( \ P_{\mathrm {LAB}} \ \mathrm {[kW]} \ \)とする。\( \ P_{\mathrm {LA}} \ \)，\( \ P_{\mathrm {LB}} \ \)，\( \ P_{\mathrm {LAB}} \ \)をそれぞれ変電所の全負荷\( \ P \ \)を用いて表せ。
(3) 表2の\( \ ① \ \)から\( \ ④ \ \)の各時間帯において，変電所の効率が最大となる変圧器の運転台数を求めよ。なお，\( \ 1 \ \)台運転となる場合は，運転対象の変圧器（\( \ \mathrm {A} \ \)又は\( \ \mathrm {B} \ \)）を示すこと。
(4) 上記(3)で求めた方法で運転した場合について，変電所の全日効率\( \ \eta _{\mathrm {d}} \ \mathrm {[％]} \ \)を求めよ。
【ワンポイント解説】
変圧器の並行運転に関する問題です。
基本的には\( \ 3 \ \)種で学習した内容からの出題ですが，(2)までの変電所の全負荷\( \ P \ \)が任意の値となっているところが，\( \ 3 \ \)種の内容からやや発展した印象かなと思います。やや計算量が多い問題ですが，特に難解な公式等は利用しないため，出題された場合には是非選択したい計算問題となります。
1.オーム法から百分率インピーダンス法への変換
基準容量を\( \ P_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)，基準電圧を\( \ V_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[V]} \ \)，基準電流を\( \ I_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[A]} \ \)とすると，\( \ Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の百分率インピーダンス\( \ ％Z \ \mathrm {[％]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
％Z&=&\frac {ZI_{\mathrm {n}}}{\displaystyle \frac {V_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}}}\times 100 (定義) \\[ 5pt ]
&=&\frac {\sqrt {3}ZI_{\mathrm {n}}}{V_{\mathrm {n}}}\times 100 \\[ 5pt ]
&=&\frac {\sqrt {3}ZV_{\mathrm {n}}I_{\mathrm {n}}}{V_{\mathrm {n}}^{2}}\times 100 \\[ 5pt ]
&=&\frac {P_{\mathrm {n}}Z}{V_{\mathrm {n}}^{2}}\times 100 (∵P_{\mathrm {n}}=\sqrt {3}V_{\mathrm {n}}I_{\mathrm {n}} ) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
2.百分率インピーダンスの容量換算
「1.オーム法から百分率インピーダンス法への変換」の通り，百分率インピーダンスは基準容量に比例します。したがって，基準容量\( \ P_{\mathrm {A}} \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)から\( \ P_{\mathrm {B}} \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)へ変換する場合の百分率インピーダンスは，
\[
\begin{eqnarray}
％Z_{\mathrm {B}}&=&\frac {P_{\mathrm {B}}}{P_{\mathrm {A}}}％Z_{\mathrm {A}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
3.変圧器の負荷分担
並行運転の条件を満たす同じ基準容量の元での百分率インピーダンス\( \ ％Z_{\mathrm {A}} \ \mathrm {[％]} \ \)の変圧器\( \ \mathrm {A} \ \)と百分率インピーダンス\( \ ％Z_{\mathrm {B}} \ \mathrm {[％]} \ \)の変圧器\( \ \mathrm {B} \ \)があり，負荷\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)を接続するとき，それぞれの負荷分担\( \ P_{\mathrm {A}} \ \mathrm {[W]} \ \)及び\( \ P_{\mathrm {B}} \ \mathrm {[W]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {A}}&=&\frac {％Z_{\mathrm {B}}}{％Z_{\mathrm {A}}+％Z_{\mathrm {B}}}P \\[ 5pt ]
P_{\mathrm {B}}&=&\frac {％Z_{\mathrm {A}}}{％Z_{\mathrm {A}}+％Z_{\mathrm {B}}}P \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められます。両変圧器とも一次二次電圧が等しいことから，分流の法則が適用できるという解釈で考えると良いかと思います。
4.変圧器の効率\( \ \eta \ \)と最大効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)
変圧器の損失は鉄損\( \ p_{\mathrm {i}} \ \mathrm {[W]} \ \)と銅損\( \ p_{\mathrm {c}} \ \mathrm {[W]} \ \)があり，\( \ p_{\mathrm {i}} \ \mathrm {[W]} \ \)は負荷によらず一定であり，\( \ p_{\mathrm {c}} \ \mathrm {[W]} \ \)は負荷(電流)の\( \ 2 \ \)乗に比例します。従って，定格出力\( \ P_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[W]} \ \)で利用率\( \ \alpha \ \)の時の変圧器の効率\( \ \eta \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {出力}{入力} \\[ 5pt ]
&=&\frac {出力}{出力+損失} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\alpha P_{\mathrm {n}}}{\alpha P_{\mathrm {n}}+p_{\mathrm {i}}+\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
次に，最大効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)を求めます。上式の分母分子を\( \ \alpha \ \)で割ると
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {P_{\mathrm {n}}}{\displaystyle P_{\mathrm {n}}+\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha }+\alpha p_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，効率が最大となるためには，上式の分母が最小となれば良いです。よって，\( \ \displaystyle A=P_{\mathrm {n}}+\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha }+\alpha p_{\mathrm {c}} \ \)と置くと，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}A}{\mathrm {d}\alpha }&=&-\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha ^{2} }+p_{\mathrm {c}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。よって\( \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}A}{\mathrm {d}\alpha }=0 \ \)となるとき，\( \ p_{\mathrm {i}}=\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}} \ \)であり，鉄損と銅損が等しい時効率は最大となります。
【解答】
(1)\( \ 2 \ \)台の変圧器を並行運転した場合の負荷分担\( \ P_{\mathrm {A}} \ \)，\( \ P_{\mathrm {B}} \ \)
ワンポイント解説「2.百分率インピーダンスの容量換算」の通り，変圧器\( \ \mathrm {B} \ \)の短絡インピーダンス\( \ ％Z_{\mathrm {B}}=10 \ \mathrm {[％]} \ \)を変圧器\( \ \mathrm {A} \ \)の定格容量\( \ 45 \ \mathrm {[MV\cdot A]} \ \)換算すると，
\[
\begin{eqnarray}
％Z_{\mathrm {B}}^{\prime }&=&\frac {45}{30}％Z_{\mathrm {B}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {45}{30}\times 10 \\[ 5pt ]
&=&15 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。したがって，それぞれが分担する負荷\( \ P_{\mathrm {A}} \ \mathrm {[MW]} \ \)及び\( \ P_{\mathrm {B}} \ \mathrm {[MW]} \ \)は，ワンポイント解説「3.変圧器の負荷分担」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {A}}&=&\frac {％Z_{\mathrm {B}}^{\prime }}{％Z_{\mathrm {A}}+％Z_{\mathrm {B}}^{\prime }}P \\[ 5pt ]
&=&\frac {15}{10+15}\times P \\[ 5pt ]
&=&0.6P \ \mathrm {[MW]} \\[ 5pt ]
P_{\mathrm {B}}&=&\frac {％Z_{\mathrm {A}}}{％Z_{\mathrm {A}}+％Z_{\mathrm {B}}^{\prime }}P \\[ 5pt ]
&=&\frac {10}{10+15}\times P \\[ 5pt ]
&=&0.4P \ \mathrm {[MW]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(2)\( \ 1 \ \)台運転及び並行運転したときの全損失\( \ P_{\mathrm {LA}} \ \)，\( \ P_{\mathrm {LB}} \ \)，\( \ P_{\mathrm {LAB}} \ \)
各変圧器の定格負荷\( \ P_{\mathrm {An}} \ \mathrm {[MW]} \ \)及び\( \ P_{\mathrm {Bn}} \ \mathrm {[MW]} \ \)は，力率がともに\( \ 0.8 \ \)であるから，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {An}}&=&45\times 0.8 \\[ 5pt ]
&=&36 \ \mathrm {[MW]} \\[ 5pt ]
P_{\mathrm {Bn}}&=&30\times 0.8 \\[ 5pt ]
&=&24 \ \mathrm {[MW]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
である。よって，各変圧器を\( \ 1 \ \)台運転したときの全損失\( \ P_{\mathrm {LA}} \ \mathrm {[kW]} \ \)，\( \ P_{\mathrm {LB}} \ \mathrm {[kW]} \ \)，並行運転したときの全損失\( \ P_{\mathrm {LAB}} \ \mathrm {[kW]} \ \)は，無負荷損が一定，負荷損が負荷の\( \ 2 \ \)乗に比例するから，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {LA}}&=&40+\left( \frac {P}{P_{\mathrm {An}}}\right) ^{2}\times 216 \\[ 5pt ]
&=&40+\left( \frac {P}{36}\right) ^{2}\times 216 \\[ 5pt ]
&=&40+\frac {P^{2}}{6} \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ]
P_{\mathrm {LB}}&=&30+\left( \frac {P}{P_{\mathrm {Bn}}}\right) ^{2}\times 144 \\[ 5pt ]
&=&30+\left( \frac {P}{24}\right) ^{2}\times 144 \\[ 5pt ]
&=&30+\frac {P^{2}}{4} \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ]
P_{\mathrm {LAB}}&=&40+\left( \frac {0.6P}{P_{\mathrm {An}}}\right) ^{2}\times 216+30+\left( \frac {0.4P}{P_{\mathrm {Bn}}}\right) ^{2}\times 144 \\[ 5pt ]
&=&40+\left( \frac {0.6P}{36}\right) ^{2}\times 216+30+\left( \frac {0.4P}{24}\right) ^{2}\times 144 \\[ 5pt ]
&=&70+\frac {3P^{2}}{50}+\frac {P^{2}}{25} \\[ 5pt ]
&=&70+\frac {P^{2}}{10} \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(3)\( \ ① \ \)から\( \ ④ \ \)の各時間帯において，変電所の効率が最大となる変圧器の運転台数
変電所の効率が最大となるのは損失が最も小さい時なので，(2)の解答式から，各時間帯における損失が最も小さいものを選択すれば良い。
①の時間帯
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {LA}}&=&40+\frac {P^{2}}{6} \\[ 5pt ]
&=&40+\frac {12^{2}}{6} \\[ 5pt ]
&=&64 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ]
P_{\mathrm {LB}}&=&30+\frac {P^{2}}{4} \\[ 5pt ]
&=&30+\frac {12^{2}}{4} \\[ 5pt ]
&=&66 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ]
P_{\mathrm {LAB}}&=&70+\frac {P^{2}}{10} \\[ 5pt ]
&=&70+\frac {12^{2}}{10} \\[ 5pt ]
&=&84.4 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，効率が最大となるのは変圧器\( \ \mathrm {A} \ \)を\( \ 1 \ \)台運転したときである。
②の時間帯
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {LA}}&=&40+\frac {P^{2}}{6} \\[ 5pt ]
&=&40+\frac {18^{2}}{6} \\[ 5pt ]
&=&94 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ]
P_{\mathrm {LB}}&=&30+\frac {P^{2}}{4} \\[ 5pt ]
&=&30+\frac {18^{2}}{4} \\[ 5pt ]
&=&111 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ]
P_{\mathrm {LAB}}&=&70+\frac {P^{2}}{10} \\[ 5pt ]
&=&70+\frac {18^{2}}{10} \\[ 5pt ]
&=&102.4 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，効率が最大となるのは変圧器\( \ \mathrm {A} \ \)を\( \ 1 \ \)台運転したときである。
③の時間帯
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {LA}}&=&40+\frac {P^{2}}{6} \\[ 5pt ]
&=&40+\frac {25^{2}}{6} \\[ 5pt ]
&≒&144.17 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ]
P_{\mathrm {LB}}&=&30+\frac {P^{2}}{4} \\[ 5pt ]
&=&30+\frac {25^{2}}{4} \\[ 5pt ]
&=&186.25 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ]
P_{\mathrm {LAB}}&=&70+\frac {P^{2}}{10} \\[ 5pt ]
&=&70+\frac {25^{2}}{10} \\[ 5pt ]
&=&132.5 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，効率が最大となるのは\( \ 2 \ \)台運転したときである。
（変圧器\( \ \mathrm {B} \ \)の\( \ 1 \ \)台運転はそもそも過負荷なので，最小の値となっても除外する）
④の時間帯
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {LA}}&=&40+\frac {P^{2}}{6} \\[ 5pt ]
&=&40+\frac {10^{2}}{6} \\[ 5pt ]
&≒&56.667 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ]
P_{\mathrm {LB}}&=&30+\frac {P^{2}}{4} \\[ 5pt ]
&=&30+\frac {10^{2}}{4} \\[ 5pt ]
&=&55 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ]
P_{\mathrm {LAB}}&=&70+\frac {P^{2}}{10} \\[ 5pt ]
&=&70+\frac {10^{2}}{10} \\[ 5pt ]
&=&80 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，効率が最大となるのは変圧器\( \ \mathrm {B} \ \)を\( \ 1 \ \)台運転したときである。
(4)(3)で求めた方法で運転した場合の全日効率\( \ \eta _{\mathrm {d}} \ \mathrm {[％]} \ \)
表2より，一日の出力電力量\( \ W \ \mathrm {[MW\cdot h]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
W&=&12\times 8+18\times 4+25\times 8+10\times 4 \\[ 5pt ]
&=&408 \ \mathrm {[MW\cdot h]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であり，(3)より，一日の損失電力量\( \ W_{\mathrm {l}} \ \mathrm {[kW\cdot h]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
W_{\mathrm {l}}&=&64\times 8+94\times 4+132.5\times 8+55\times 4 \\[ 5pt ]
&=&2 \ 168 \ \mathrm {[kW\cdot h]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
なので，全日効率\( \ \eta _{\mathrm {d}} \ \mathrm {[％]} \ \)は，ワンポイント解説「4.変圧器の効率\( \ \eta \ \)と最大効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
\eta _{\mathrm {d}}&=&\frac {W}{W+W_{\mathrm {l}}}\times 100 \\[ 5pt ]
&=&\frac {408\times 10^{3}}{408\times 10^{3}+2 \ 168}\times 100 \\[ 5pt ]
&≒&99.5 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
愛知県出身 愛称たけちゃん
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