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【問題】
【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）
次の文章は，回路の電力に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる式又は数値を解答群の中から選び，その記号をマークシートに記入しなさい。
図に示す回路において，抵抗\( \ R \ \)に流れる電流と回路で消費する平均電力を次のようにして求める。
まず，端子\( \ \mathrm {a-b} \ \)から右をみた回路の複素アドミタンス\( \ \dot Y \ \)は\( \ \fbox { （１） } \ \)となる。
次に，電流源の実効値を\( \ I \ \)とし，\( \ \dot I=I∠0 \ \)を基準とすれば端子\( \ \mathrm {a-b} \ \)間の複素電圧\( \ \dot V \ \)は\( \ \fbox { （２） } \ \)となる。したがって，抵抗\( \ R \ \)に流れる複素電流\( \ {\dot I}_{R} \ \)は\( \ \fbox { （３） } \ \)となる。
以上の結果をもとに，電流源の最大値\( \ I_{m}=10\sqrt {2} \ \mathrm {[A]} \ \)，角周波数\( \ \omega =100 \ \mathrm {[rad / s]} \ \)，抵抗\( \ R=100 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，静電容量\( \ C=10^{-4} \ \mathrm {[F]} \ \)の場合，抵抗\( \ R \ \)の瞬時電流は，\( \ i_{R}\left( t\right) = \ \fbox { （４） } \ \mathrm {[A]} \ \)となる。一方，回路の消費電力は\( \ \fbox { （５） } \ \mathrm {[W]} \ \)となる。
〔問3の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）& \frac {1+\mathrm {j}\omega CR}{\mathrm {j}\omega C} &（ロ）& \frac {\mathrm {j}\omega CI}{1+\mathrm {j}\omega CR} &（ハ）& \frac {I}{1+\mathrm {j}\omega CR} \\[ 5pt ]
&（ニ）& 10 \cos \left( 100t\right) &（ホ）& 5 \ 000 &（ヘ）& R+\mathrm {j}\omega C \\[ 5pt ]
&（ト）& \frac {I}{R+\mathrm {j}\omega C} &（チ）& \frac {1+\mathrm {j}\omega CR}{R} &（リ）& \frac {\mathrm {j}I}{1+\mathrm {j}\omega CR} \\[ 5pt ]
&（ヌ）& 10 \cos \left( 100t+\frac {\pi }{4}\right) &（ル）& \frac {RI}{1+\mathrm {j}\omega CR} &（ヲ）& \frac {RI}{R+\mathrm {j}\omega CR} \\[ 5pt ]
&（ワ）& 10 \cos \left( 100t-\frac {\pi }{4}\right) &（カ）& 4 \ 000 &（ヨ）& 3 \ 000 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【ワンポイント解説】
交流の電流源を電源とする\( \ RC \ \)並列回路の演算に関する問題です。
\( \ 2 \ \)種では電流源やアドミタンスで考える問題が増えてきますので，電圧源とインピーダンスの計算と同じように慣れていくようにしましょう。合格のためには本問は(4)以外は確実に得点しておきたい問題となります。
1.正弦波交流の基本
正弦波交流は図1に示されるような波形の交流です。
振幅の大きさ（最大値）を\( \ E_{\mathrm {m}} \ \mathrm {[V]} \ \)，角速度を\( \ \omega \ \mathrm {[rad / s]} \ \)，時間を\( \ t \ \mathrm {[s]} \ \)，初期位相を\( \ \theta \ \mathrm {[rad]} \ \)とすれば，瞬時値\( \ e\left( t \right) \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
e\left( t \right) &=&E_{\mathrm {m}}\sin \left( \omega t +\theta \right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，波形の周期\( \ T \ \mathrm {[s]} \ \)は，周波数を\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
T &=&\frac {1}{f}=\frac {2\pi }{\omega } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の関係があるので，\( \ \omega =2\pi f \ \)となり，
\[
\begin{eqnarray}
e\left( t \right) &=&E_{\mathrm {m}}\sin \left( 2\pi f t +\theta \right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と表現することもできます。
2.平均値と実効値の定義
\( \ f( \theta ) \ \)を周期\( \ T \ \)の周期関数であるとしたとき，平均値と実効値は以下の通りとなります。
①平均値\( \ F_{\mathrm {av}} \ \)
定義式は，
\[
\begin{eqnarray}
F_{\mathrm {av}}&=&\frac {1}{T}\int _{0}^{T}f( \theta ) \mathrm {d}\theta \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であり，これを正弦波\( \ e\left( t \right) =E_{\mathrm {m}}\sin \omega t \ \)に適用すると，
\[
\begin{eqnarray}
E_{\mathrm {av}} &=&\frac {1}{\pi }\int _{0}^{\pi }E_{\mathrm {m}}\sin \omega t \mathrm {d}\omega t \\[ 5pt ]
&=&\frac {E_{\mathrm {m}}}{\pi }\left[ -\cos \omega t \right] _{0}^{\pi } \\[ 5pt ]
&=&\frac {E_{\mathrm {m}}}{\pi }\left[ 1+1 \right] \\[ 5pt ]
&=&\frac {2}{\pi }E_{\mathrm {m}}
\end{eqnarray}
\]
となります。
②実効値\( \ F \ \)
定義式は，
\[
\begin{eqnarray}
F&=&\sqrt {\frac {1}{T} \int _{0}^{T} f( \theta ) ^{2} \mathrm {d}\theta } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であり，これを正弦波\( \ e\left( t \right) =E_{\mathrm {m}}\sin \omega t \ \)に適用すると，
\[
\begin{eqnarray}
E &=&\sqrt {\frac {1}{\pi }\int _{0}^{\pi }{E_{\mathrm {m}}}^{2}\sin ^{2}\omega t \mathrm {d}\omega t} \\[ 5pt ]
&=&E_{\mathrm {m}}\sqrt {\frac {1}{\pi }\int _{0}^{\pi }\frac {1-\cos 2\omega t}{2} \mathrm {d}\omega t} \\[ 5pt ]
&=&E_{\mathrm {m}}\sqrt {\frac {1}{\pi }\left[ \frac {1}{2}\omega t -\frac {1}{4}\sin 2\omega t \right] _{0}^{\pi } } \\[ 5pt ]
&=&E_{\mathrm {m}}\sqrt {\frac {1}{\pi }\left[ \frac {1}{2}\pi -0 -0 +0 \right] _{0}^{\pi } } \\[ 5pt ]
&=&\frac {E_{\mathrm {m}}}{\sqrt {2}}
\end{eqnarray}
\]
となります。
3.合成インピーダンス
インピーダンス\( \ {\dot Z}_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)と\( \ {\dot Z}_{2} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)が与えられている時，直列及び並列の合成インピーダンス\( \ \dot Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は以下の式で与えられます。
①直列
直列合成インピーダンス\( \ {\dot Z} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}&=&{\dot Z}_{1}+{\dot Z}_{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
②並列
並列合成インピーダンス\( \ {\dot Z} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {1}{{\dot Z}}&=&\frac {1}{{\dot Z}_{1}}+\frac {1}{{\dot Z}_{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}&=&\frac {{\dot Z}_{1}{\dot Z}_{2}}{{\dot Z}_{1}+{\dot Z}_{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
4.合成アドミタンス
アドミタンス\( \ {\dot Y}_{1} \ \mathrm {[S]} \ \)と\( \ {\dot Y}_{2} \ \mathrm {[S]} \ \)が与えられている時，直列及び並列の合成アドミタンス\( \ \dot Y \ \mathrm {[S]} \ \)は以下の式で与えられます。
①直列
直列合成アドミタンス\( \ {\dot Y} \ \mathrm {[S]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {1}{{\dot Y}}&=&\frac {1}{{\dot Y}_{1}}+\frac {1}{{\dot Y}_{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Y}&=&\frac {{\dot Y}_{1}{\dot Y}_{2}}{{\dot Y}_{1}+{\dot Y}_{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
②並列
並列合成アドミタンス\( \ {\dot Y} \ \mathrm {[S]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Y}&=&{\dot Y}_{1}+{\dot Y}_{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
【解答】
(1)解答：チ
端子\( \ \mathrm {a-b} \ \)から右をみた回路の複素アドミタンス\( \ \dot Y \ \)は，ワンポイント解説「4.合成アドミタンス」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
\dot Y&=&\frac {1}{R}+\mathrm {j}\omega C \\[ 5pt ]
&=&\frac {1+\mathrm {j}\omega CR}{R} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(2)解答：ル
オームの法則より，\( \ \dot I=I∠0 \ \)を基準とすれば端子\( \ \mathrm {a-b} \ \)間の複素電圧\( \ \dot V \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\dot V&=&\frac {\dot I}{\dot Y} \\[ 5pt ]
&=&\frac {I}{\displaystyle \frac {1+\mathrm {j}\omega CR}{R}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {RI}{1+\mathrm {j}\omega CR} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(3)解答：ハ
(2)解答式より，抵抗\( \ R \ \)に流れる複素電流\( \ {\dot I}_{R} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{R}&=&\frac {\dot V}{R} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\displaystyle \frac {RI}{1+\mathrm {j}\omega CR}}{R} \\[ 5pt ]
&=&\frac {I}{1+\mathrm {j}\omega CR} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(4)解答：ワ
電流源の実効値\( \ \displaystyle I=\frac {I_{m}}{\sqrt {2}}=10 \ \mathrm {[A]} \ \)に注意して，(3)解答式に各値を代入し整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{R}&=&\frac {I}{1+\mathrm {j}\omega CR} \\[ 5pt ]
&=&\frac {10}{1+\mathrm {j}100\times 10^{-4}\times 100} \\[ 5pt ]
&=&\frac {10}{1+\mathrm {j}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {10}{1+\mathrm {j}}\times \frac {1-\mathrm {j}}{1-\mathrm {j}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {10\left( 1-\mathrm {j}\right)}{1+1} \\[ 5pt ]
&=&5-\mathrm {j}5 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるから，抵抗\( \ R \ \)に流れる電流の大きさ\( \ I_{R} \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{R}&=&\sqrt {5^{2}+5^{2}} \\[ 5pt ]
&=&5\sqrt {2} \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，位相角\( \ \theta \ \mathrm {[rad]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\theta &=&\tan ^{-1}\frac {-5}{5} \\[ 5pt ]
&=&-\frac {\pi }{4} \ \mathrm {[rad]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。（図2のように考えても大丈夫です。）以上から，抵抗\( \ R \ \)の瞬時電流\( \ i_{R}\left( t\right) \ \mathrm {[A]} \ \)は，ワンポイント解説「1.正弦波交流の基本」及び「2.平均値と実効値の定義」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
i_{R}\left( t\right) &=&\sqrt {2}I_{R}\cos \left( \omega t +\theta \right) \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {2}\cdot 5\sqrt {2}\cos \left( 100 t -\frac {\pi }{4} \right) \\[ 5pt ]
&=&10\cos \left( 100 t -\frac {\pi }{4} \right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(5)解答：ホ
回路の消費電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)は抵抗\( \ R \ \)での消費電力なので，
\[
\begin{eqnarray}
P &=&R{I_{R}}^{2} \\[ 5pt ]
&=&100\times {5\sqrt {2}}^{2} \\[ 5pt ]
&=&5 \ 000 \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
愛知県出身 愛称たけちゃん
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