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【問題】
【難易度】★★★☆☆（普通）
次の文章は，電気回路の過渡現象に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。
図に示す直流電圧源\( \ E \ \)に接続された\( \ \mathrm {RLC} \ \)回路のスイッチ\( \ \mathrm {SW} \ \)を\( \ \mathrm {a} \ \)側に接続し，回路が定常状態に到達したあと，時刻\( \ t=0 \ \)でスイッチ\( \ \mathrm {SW} \ \)を\( \ \mathrm {b} \ \)側に接続した。
\( \ t ≧ 0 \ \)での回路方程式は，
\[
\begin{eqnarray}
L\frac {\mathrm {d}i\left( t\right) }{\mathrm {d}t}+Ri\left( t\right) +v\left( t\right) &=&0 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ① \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。ここで，①式において，\( \ t=0 \ \)のとき\( \ v\left( t\right) = \ \fbox { （１） } \ \)，\( \ i\left( t\right) = \ \fbox { （２） } \ \)である。したがって，①式において，\( \ t=0 \ \)のとき\( \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}i\left( t\right) }{\mathrm {d}t} = \ \fbox { （３） } \ \)であることが分かる。①式の両辺に\( \ i\left( t\right) \ \)をかけて\( \ t=0 \ \)から\( \ t=\infty \ \)まで積分すると，
\[
\begin{eqnarray}
\int _{0}^{\infty }Ri\left( t\right) ^{2} \mathrm {d}t&=&-\int _{0}^{\infty }L\frac {\mathrm {d}i\left( t\right) }{\mathrm {d}t}i\left( t\right) \mathrm {d}t-\int _{0}^{\infty }v\left( t\right) i\left( t\right) \mathrm {d}t ・・・・ ② \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。②式に図の回路の\( \ v\left( t\right) \ \)と\( \ i\left( t\right) \ \)の関係式\( \ \fbox { （４） } \ \)を代入すると，積分の結果は次のようになる。
\[
\begin{eqnarray}
\int _{0}^{\infty }Ri\left( t\right) ^{2} \mathrm {d}t&=&-\frac {1}{2}L\left[ i\left( \infty \right) ^{2}-i\left( 0 \right) ^{2}\right] -\frac {1}{2}C\left[ v\left( \infty \right) ^{2}-v\left( 0 \right) ^{2}\right] \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
したがって，\( \ i\left( \infty \right) \ \)及び\( \ v\left( \infty \right) \ \)の値に注意すると，\( \ \displaystyle \int _{0}^{\infty }Ri\left( t\right) ^{2} \mathrm {d}t = \ \fbox { （５） } \ \)を得る。
〔問5の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）& \frac {E}{2} &（ロ）& -\frac {CE}{L} &（ハ）& i\left( t\right) =C\frac {\mathrm {d}v\left( t\right) }{\mathrm {d}t} \\[ 5pt ]
&（ニ）& \frac {E}{R} &（ホ）& E &（ヘ）& v\left( t\right) =C\frac {\mathrm {d}i\left( t\right) }{\mathrm {d}t} \\[ 5pt ]
&（ト）& \frac {1}{2}CE^{2} &（チ）& \frac {RE}{L} &（リ）& v\left( t\right) =L\frac {\mathrm {d}i\left( t\right) }{\mathrm {d}t} \\[ 5pt ]
&（ヌ）& -\frac {E}{L} &（ル）& 0 &（ヲ）& CE^{2}-\frac {1}{2}L\frac {E^{2}}{R^{2}} \\[ 5pt ]
&（ワ）& \frac {1}{2}L\frac {E^{2}}{R^{2}} &（カ）& -E &（ヨ）& -\frac {E}{R} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【ワンポイント解説】
過渡現象に関する問題です。
本年は珍しく\( \ \mathrm {B} \ \)問題で出題されることになりましたが，毎年１問過渡現象が出題されます。
基本は同じなので，過去問を繰り返し学習しマスターするようにして下さい。
1.過渡現象におけるリアクトルの過渡状態と定常状態
① 過渡状態
リアクトルに流れる電流値を維持しようとする働きをします。したがって，リアクトルに電圧を印加した瞬間はほとんど電流は流れないので，開放として考えます。
② 定常状態
電圧を印加して十分時間が経過した後は，リアクトルの抵抗はほぼ零になります。したがって，短絡として考えます。
2.過渡現象におけるコンデンサの過渡状態と定常状態
① 過渡状態
コンデンサに蓄えられている電荷が零であるので，電流がものすごく流れやすい状態，すなわち短絡として考えます。
② 定常状態
コンデンサに十分に電荷が蓄えられているので，電流をこれ以上蓄えようとしない，すなわち開放として考えます。
3.過渡現象における\( \ RLC \ \)それぞれの電圧
過渡現象における\( \ RLC \ \)それぞれの電圧は，線路に流れる電流を\( \ i \ \)とし，抵抗\( \ R \ \)の電圧\( \ v_{\mathrm{R}} \ \)，リアクトル\( \ L \ \)の電圧\( \ v_{\mathrm{L}} \ \)，リアクトル\( \ C \ \)の電圧\( \ v_{\mathrm{C}} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
v_{\mathrm{R}} &=& Ri \\[ 5pt ]
v_{\mathrm{L}} &=& L\frac {\mathrm {d}i}{\mathrm {d}t} \\[ 5pt ]
v_{\mathrm{C}} &=& \frac {1}{C}\int i \mathrm {d}t \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
4.過渡現象における定常解と過渡解
ⅰ．定常解を\( \ i_{\mathrm {s}} \ \)，過渡解を\( \ i_{\mathrm {t}} \ \)とすると，一般解\( \ i \ \)は\( \ i=i_{\mathrm {s}}+i_{\mathrm {t}} \ \)となります。
ⅱ．定常解は電流の時間変化のない状態すなわち\( \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}i_{\mathrm {s}}}{\mathrm {d}t}=0 \ \)とした時の解です。
ⅲ．過渡解はスイッチを入れた直後の解すなわち\( \ L \ \)開放(\( \ E=0 \ \)と同義)の時の解です。
5.自然対数の微分積分
①自然対数の微分
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}x} \left( \ln {x}\right) &=&\frac {1}{x} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
②自然対数の積分
\[
\begin{eqnarray}
\int \frac {1}{x} \mathrm {d}x &=&\ln {x} + C \left( Cは積分定数\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，
\[
\begin{eqnarray}
\ln {x}&=&-\alpha t +C \left( Cは積分定数\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となった場合，両辺とも対数を外すと，
\[
\begin{eqnarray}
x&=&A\mathrm {e}^{-\alpha t} \left( A=\mathrm {e}^{C}\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
【解答】
(1)解答：ホ
スイッチ\( \ \mathrm {SW} \ \)を\( \ \mathrm {a} \ \)側に接続し，回路が定常状態に到達した際，コンデンサ\( \ C \ \)には十分に電荷が蓄えられており回路に電流が流れないため\( \ i\left( t\right) =0 \ \)である。これより，\( \ R \ \)での電圧降下及び\( \ L \ \)の電流変化がないためどちらも電圧は\( \ 0 \ \)となるため，\( \ v\left( t \right) =E \ \)となる。
その後，スイッチ\( \ \mathrm {SW} \ \)を\( \ \mathrm {b} \ \)側に切り替えた直後は電流と電圧が急変しないため，\( \ t=0 \ \)のとき，\( \ v\left( t\right) = E \ \)と求められる。
(2)解答：ル
(1)と同様，スイッチ\( \ \mathrm {SW} \ \)を\( \ \mathrm {b} \ \)側に切り替えた直後は電流と電圧が急変しないため，\( \ t=0 \ \)のとき，\( \ i\left( t\right) = 0 \ \)と求められる。
(3)解答：ヌ
\( \ v\left( t\right) = E \ \)及び\( \ i\left( t\right) = 0 \ \)を①式に代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
L\frac {\mathrm {d}i\left( t\right) }{\mathrm {d}t}+Ri\left( t\right) +v\left( t\right) &=&0 \\[ 5pt ]
L\frac {\mathrm {d}i\left( t\right) }{\mathrm {d}t}+R\times 0 +E &=&0 \\[ 5pt ]
L\frac {\mathrm {d}i\left( t\right) }{\mathrm {d}t} &=&-E \\[ 5pt ]
\frac {\mathrm {d}i\left( t\right) }{\mathrm {d}t} &=&-\frac {E}{L} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(4)解答：ハ
ワンポイント解説「3.過渡現象における\( \ RLC \ \)それぞれの電圧」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
v\left( t\right) &=& \frac {1}{C}\int i\left( t\right) \mathrm {d}t \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
なので，両辺微分すると，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}v\left( t\right) }{\mathrm {d}t} &=& \frac {1}{C}i\left( t\right) \\[ 5pt ]
i\left( t\right) &=& C\frac {\mathrm {d}v\left( t\right) }{\mathrm {d}t} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(5)解答：ト
②式を整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
\int _{0}^{\infty }Ri\left( t\right) ^{2} \mathrm {d}t&=&-\int _{0}^{\infty }L\frac {\mathrm {d}i\left( t\right) }{\mathrm {d}t}i\left( t\right) \mathrm {d}t-\int _{0}^{\infty }v\left( t\right) i\left( t\right) \mathrm {d}t \\[ 5pt ]
&=&-\int _{0}^{\infty }Li\left( t\right) \mathrm {d}i\left( t\right) -\int _{0}^{\infty }v\left( t\right) \cdot C\frac {\mathrm {d}v\left( t\right) }{\mathrm {d}t} \mathrm {d}t \\[ 5pt ]
&=&-\int _{0}^{\infty }Li\left( t\right) \mathrm {d}i\left( t\right) -\int _{0}^{\infty }Cv\left( t\right) \mathrm {d}v\left( t\right) \\[ 5pt ]
&=&-L\left[ \frac {i\left( t\right) ^{2}}{2}\right] _{0}^{\infty }-C\left[ \frac {v\left( t\right) ^{2}}{2}\right] _{0}^{\infty } \\[ 5pt ]
&=&-\frac {1}{2}L\left[ i\left( \infty \right) ^{2}-i\left( 0 \right) ^{2}\right] -\frac {1}{2}C\left[ v\left( \infty \right) ^{2}-v\left( 0 \right) ^{2}\right] \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，\( \ i\left( \infty \right) =0 \ \)，\( \ i\left( 0 \right) =0 \ \)，\( \ v\left( \infty \right) =0 \ \)，\( \ v\left( 0 \right) =E \ \)を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
\int _{0}^{\infty }Ri\left( t\right) ^{2} \mathrm {d}t&=&-\frac {1}{2}L\left[ 0^{2}-0^{2}\right] -\frac {1}{2}C\left[ 0 ^{2}-E^{2}\right] \\[ 5pt ]
&=&\frac {1}{2}CE^{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
愛知県出身 愛称たけちゃん
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