【問題】
【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）
次の文章は，変圧器の損失・効率に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。
変圧器の入力\( \ P_{1} \ \mathrm {[W]} \ \)と出力\( \ P_{2} \ \mathrm {[W]} \ \)を実測して求める効率を実測効率という。これに対して，無負荷損\( \ P_{\mathrm {i}} \ \mathrm {[W]} \ \)と負荷損\( \ P_{\mathrm {c}} \ \mathrm {[W]} \ \)などを用いて求められる効率を\( \ \fbox { （１） } \ \)効率という。\( \ \fbox { （１） } \ \)効率\( \ \eta \ \mathrm {[％]} \ \)は\( \ \fbox { （２） } \ \)の式で表される。負荷電流に対して，\( \ \eta \ \) が最大となる動作条件は，負荷損\( \ P_{\mathrm {c}} \ \)が\( \ \fbox { （３） } \ \)となるときである。
無負荷損\( \ P_{\mathrm {i}} \ \)の大部分は，変圧器の鉄心で生じる鉄損であり，ヒステリシス損\( \ P_{\mathrm {h}} \ \mathrm {[W]} \ \)と渦電流損\( \ P_{\mathrm {e}} \ \mathrm {[W]} \ \)の和である。この渦電流損\( \ P_{\mathrm {e}} \ \)は，周波数を\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)，磁束密度の最大値を\( \ B_{\mathrm {m}} \ \mathrm {[Wb / m^{2}]} \ \)とするとき，\( \ \fbox { （４） } \ \)の関係を持つ。また，渦電流損\( \ P_{\mathrm {e}} \ \)は鉄心をつくる方向性ケイ素鋼板の厚さ\( \ d \ \mathrm {[m]} \ \)に対しては\( \ \fbox { （５） } \ \)の関係を持つ。
〔問3の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）& 全日 &（ロ）& \eta =\frac {P_{2}}{P_{2}+P_{\mathrm {i}}+P_{\mathrm {c}}}\times 100 &（ハ）& P_{\mathrm {c}}=0 \\[ 5pt ]
&（ニ）& 等価 &（ホ）& P_{\mathrm {e}}∝d &（ヘ）& \eta =\frac {P_{2}+P_{\mathrm {c}}}{P_{2}+P_{\mathrm {i}}+P_{\mathrm {c}}}\times 100 \\[ 5pt ]
&（ト）& 規約 &（チ）& P_{\mathrm {c}}=P_{\mathrm {2}} &（リ）& P_{\mathrm {e}}∝f^{2}{B_{\mathrm {m}}}^{2} \\[ 5pt ]
&（ヌ）& P_{\mathrm {c}}=P_{\mathrm {i}} &（ル）& P_{\mathrm {e}}∝fB_{\mathrm {m}} &（ヲ）& P_{\mathrm {e}}∝d^{2} \\[ 5pt ]
&（ワ）& P_{\mathrm {e}}∝\frac {1}{d^{2}} &（カ）& \eta =\frac {P_{2}+P_{\mathrm {c}}}{P_{2}+P_{\mathrm {i}}}\times 100 &（ヨ）& P_{\mathrm {e}}∝f{B_{\mathrm {m}}}^{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【ワンポイント解説】
変圧器の効率と渦電流損に関する問題です。
前半の(3)までは確実に解いておきたい問題で，(4)と(5)が合否を分ける問題かと思います。変圧器の鉄損に関して\( \ 3 \ \)種より少し踏み込んだ内容となりますので，ここで理解しておくようにしましょう。
1.変圧器の効率\( \ \eta \ \)と最大効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)
変圧器の損失は主に鉄損\( \ p_{\mathrm {i}} \ \mathrm {[W]} \ \)と銅損\( \ p_{\mathrm {c}} \ \mathrm {[W]} \ \)があり，\( \ p_{\mathrm {i}} \ \mathrm {[W]} \ \)は負荷によらず一定であり，\( \ p_{\mathrm {c}} \ \mathrm {[W]} \ \)は負荷(電流)の\( \ 2 \ \)乗に比例します。従って，定格出力\( \ P_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[W]} \ \)で利用率\( \ \alpha \ \)の時の変圧器の効率\( \ \eta \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {出力}{入力} \\[ 5pt ]
&=&\frac {出力}{出力+損失} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\alpha P_{\mathrm {n}}}{\alpha P_{\mathrm {n}}+p_{\mathrm {i}}+\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
次に，最大効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)を求めます。上式の分母分子を\( \ \alpha \ \)で割ると
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {P_{\mathrm {n}}}{\displaystyle P_{\mathrm {n}}+\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha }+\alpha p_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，効率が最大となるためには，上式の分母が最小となれば良いです。よって，\( \ \displaystyle A=P_{\mathrm {n}}+\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha }+\alpha p_{\mathrm {c}} \ \)と置くと，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}A}{\mathrm {d}\alpha }&=&-\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha ^{2} }+p_{\mathrm {c}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。よって\( \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}A}{\mathrm {d}\alpha }=0 \ \)となるとき，\( \ p_{\mathrm {i}}=\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}} \ \)であり，鉄損と銅損が等しい時効率は最大となります。
3.実測効率と規約効率
一般に効率は\( \ \displaystyle \frac {出力}{入力}\times 100 \ \mathrm {[％]} \ \)で求められます。
①実測効率
実測効率は機器に実負荷をかけて入力と出力を測定し，効率を求めるものです。
しかしながら，大容量機（器）では実際に定格負荷をかけることが困難であったり，発電機や電動機のような入出力の一方が機械的な入出力である場合等は正確な測定が困難である場合があります。
②規約効率
大容量機（器）等実測効率を適用することが困難な場合には，規定された方法で入力もしくは出力と損失を測定し効率を算出します。
規約効率での効率は，\( \ \displaystyle \frac {出力}{出力＋損失}\times 100 \ \mathrm {[％]} \ \)もしくは\( \ \displaystyle \frac {入力－損失}{入力}\times 100 \ \mathrm {[％]} \ \)で求められます。
3.変圧器の損失
①無負荷損（鉄損）
①-1．ヒステリシス損\( \ W_{\mathrm {h}} \ \)
鉄心にコイルを巻き，交流電源に接続すると，交番磁界によって磁性体の磁区の向きが変化します。この特性を表したものをヒステリシス曲線（ヒステリシスループ），これに伴って発生する損失をヒステリシス損と言い，鉄損の中で最も大きい損失で以下の式で求められます。
\[
\begin{eqnarray}
W_{\mathrm {h}} &≒& K_{\mathrm {h}}fB_{\mathrm {m}}^{2} \\[ 5pt ]
&=& K_{\mathrm {h}}^{\prime }\frac {V^{2}}{f} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
\[
\begin{eqnarray}
&&K_{\mathrm {h}}，K_{\mathrm {h}}^{\prime }：比例定数， f：周波数 \\[ 5pt ]
&&B_{\mathrm {m}}：最大磁束密度，V：電源電圧 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
したがって，\( \ B_{\mathrm {m}} \ \)一定の時\( \ W_{\mathrm {h}} \ \)は\( \ f \ \)に比例し，\( \ V \ \)一定の時\( \ W_{\mathrm {h}} \ \)は\( \ f \ \)に反比例します。
①-2．渦電流損\( \ W_{\mathrm {e}} \ \)
鉄心内で交番磁界の磁束変化が起きると鉄心内に起電力が生じ渦電流が生じます。これに伴って発生する損失を渦電流損と言い，以下の式で求められます。
\[
\begin{eqnarray}
W_{\mathrm {e}} &≒& K_{\mathrm {e}}\left( tfB_{\mathrm {m}}\right) ^{2} \\[ 5pt ]
&=& K_{\mathrm {e}}^{\prime }V^{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
\[
\begin{eqnarray}
&&K_{\mathrm {e}}，K_{\mathrm {e}}^{\prime }：比例定数， f：周波数 \\[ 5pt ]
&&B_{\mathrm {m}}：最大磁束密度，V：電源電圧，t：鉄板の厚さ \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
したがって，\( \ B_{\mathrm {m}} \ \)一定の時\( \ W_{\mathrm {e}} \ \)は\( \ f \ \)の\( \ 2 \ \)乗に比例し，\( \ V \ \)一定の時\( \ W_{\mathrm {e}} \ \)は\( \ f \ \)に関係なく一定となります。
②負荷損
②-1．銅損\( \ W_{\mathrm {c}} \ \)
変圧器の一次巻線及び二次巻線にて生じる抵抗損で，負荷の\( \ 2 \ \)乗に比例して増加します。
②-2．漂遊負荷損\( \ W_{\mathrm {s}} \ \)
変圧器での漏れ磁束による損失で，銅損よりかなり小さい値のため，試験ではほぼ無視する場合が多いです。
【解答】
(1)解答：ト
題意より，解答候補は（イ）全日，（ニ）等価，（ト）規約，になると思います。
ワンポイント解説「3.実測効率と規約効率」の通り，無負荷損\( \ P_{\mathrm {i}} \ \mathrm {[W]} \ \)と負荷損\( \ P_{\mathrm {c}} \ \mathrm {[W]} \ \)などを用いて求められる効率を規約効率といいます。
(2)解答：ロ
題意より，解答候補は（ロ）\( \ \displaystyle \eta =\frac {P_{2}}{P_{2}+P_{\mathrm {i}}+P_{\mathrm {c}}}\times 100 \ \)，（ヘ）\( \ \displaystyle \eta =\frac {P_{2}+P_{\mathrm {c}}}{P_{2}+P_{\mathrm {i}}+P_{\mathrm {c}}}\times 100 \ \)，（カ）\( \ \displaystyle \eta =\frac {P_{2}+P_{\mathrm {c}}}{P_{2}+P_{\mathrm {i}}}\times 100 \ \)，になると思います。
ワンポイント解説「1.変圧器の効率\( \ \eta \ \)と最大効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)」の通り，規約効率は\( \ \displaystyle \eta =\frac {P_{2}}{P_{2}+P_{\mathrm {i}}+P_{\mathrm {c}}}\times 100 \ \mathrm {[％]} \ \)で求められます。
(3)解答：ヌ
題意より，解答候補は（ハ）\( \ P_{\mathrm {c}}=0 \ \)，（チ）\( \ P_{\mathrm {c}}=P_{\mathrm {2}} \ \)，（ヌ）\( \ P_{\mathrm {c}}=P_{\mathrm {i}} \ \)，になると思います。
ワンポイント解説「1.変圧器の効率\( \ \eta \ \)と最大効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)」の通り，効率\( \ \eta \ \)が最大となる条件は\( \ P_{\mathrm {c}}=P_{\mathrm {i}} \ \)となります。
(4)解答：リ
題意より，解答候補は（リ）\( \ P_{\mathrm {e}}∝f^{2}{B_{\mathrm {m}}}^{2} \ \)，（ル）\( \ P_{\mathrm {e}}∝fB_{\mathrm {m}} \ \)，（ヨ）\( \ P_{\mathrm {e}}∝f{B_{\mathrm {m}}}^{2} \ \)，になると思います。
ワンポイント解説「3.変圧器の損失」の通り，渦電流損\( \ P_{\mathrm {e}} \ \mathrm {[W]} \ \)と周波数\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)及び磁束密度の最大値\( \ B_{\mathrm {m}} \ \mathrm {[Wb / m^{2}]} \ \)には\( \ P_{\mathrm {e}}∝f^{2}{B_{\mathrm {m}}}^{2} \ \)の関係があります。
(5)解答：ヲ
題意より，解答候補は（ホ）\( \ P_{\mathrm {e}}∝d \ \)，（ヲ）\( \ P_{\mathrm {e}}∝d^{2} \ \)，（ワ）\( \ \displaystyle P_{\mathrm {e}}∝\frac {1}{d^{2}} \ \)，になると思います。
ワンポイント解説「3.変圧器の損失」の通り，渦電流損\( \ P_{\mathrm {e}} \ \mathrm {[W]} \ \)と方向性ケイ素鋼板の厚さ\( \ d \ \mathrm {[m]} \ \)には\( \ P_{\mathrm {e}}∝d^{2} \ \)の関係があります。
【令和８年度版２種一次試験】
