《電力》〈送電〉[H30:問7]三相3線式送電電路の送電電圧と送電電力に関する計算問題

Contents

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

次の文章は，送電電圧と送電電力に関する記述である。文中の$ \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ $に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。

三相$ \ 3 \ $線式送電電路で，高い電圧が採用される理由を考察する。送電線は単導体一回線とし，送電線線間電圧を$ \ V \ $，線路電流を$ \ I \ $，送電端力率を$ \ \cos \varphi \ $，送電端送電電力を$ \ P \ $，$ \ P \ $に対する線路の電力損失の割合である送電損失率を$ \ \lambda \ $，送電距離を$ \ L \ $，電線$ \ 1 \ $条の抵抗と断面積を$ \ R \ $と$ \ A \ $，全電線合計の質量を$ \ G \ $，その質量密度を$ \ \sigma \ $，その体積抵抗率を$ \ \rho \ $とする。また，線路は抵抗とリアクタンスのみで表現され，三相が平衡しており，表皮効果を無視すると次式が成立する。なお，単位系はすべて$ \ \mathrm {SI} \ $単位系で表示されているものとする。
\[
\begin{eqnarray}
P&=& \ \fbox {　（１）　}　　　　　&・・・・・・　①& \\[ 5pt ] \lambda &=&\frac {3RI^{2}}{P}　&・・・・・・　②& \\[ 5pt ] R&=& \ \fbox {　（２）　}　&・・・・・・　③& \\[ 5pt ] G&=& \ \fbox {　（３）　}　&・・・・・・　④& \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] 式①と④より，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {P}{G}&=&\frac {VI\cos \varphi }{\sqrt {3}\sigma AL}　　　　&・・・・・・　⑤& \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから，式⑤を二乗し，式②，③を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {P^{2}}{G^{2}}&=&\frac {V^{2}\lambda P\cos ^{2} \varphi }{\fbox {　（４）　}}　&・・・・・・　⑥& \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] さらに，式⑥に式④を代入すると，式⑦が得られる。
\[
\begin{eqnarray}
P&=&V^{2}G\lambda \ \fbox {　（５）　}　　　&・・・・・・　⑦& \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] よって，距離、質量及び電力損失率が同じ送電線を利用すると，送電電力は線間電圧の二乗に比例することになる。

〔問7の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　\frac {\cos \varphi }{3\sigma \rho L}　　　　　&（ロ）&　\sqrt {3}\sigma AL　　　　　&（ハ）&　\frac {\rho L}{A} \\[ 5pt ] &（ニ）&　3VI\cos \varphi　　　　　&（ホ）&　\sqrt {3}\sigma AL^{2}　　　　　&（ヘ）&　\frac {\cos \varphi }{3\sigma \rho L^{3／2}} \\[ 5pt ] &（ト）&　3\sigma \rho AL^{3}　　　　　&（チ）&　3\sigma AL　　　　　&（リ）&　3\sigma \rho AL^{2} \\[ 5pt ] &（ヌ）&　\frac {\rho L^{2}}{A} 　　　　　&（ル）&　\rho AL 　　　　　&（ヲ）&　\sqrt {3}VI\cos \varphi \\[ 5pt ] &（ワ）&　VI\cos \varphi　　　　　&（カ）&　\frac {\cos ^{2}\varphi }{3\sigma \rho L^{2}}　　　　　&（ヨ）&　9\sigma ^{2} \rho AL^{3} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

送電の問題ですが，ほぼ計算だけの問題です。二種の一次試験では珍しい傾向と言えるでしょう。このような問題ですと，電験三種であれば正答率が下がる傾向にあるのですが，電験二種であると計算力が高い方が多く逆に正答率は高くなります。

【解答】

(1)解答：ヲ
三相3線式送電線路であるので，送電電力$ \ P \ $は，送電線線間電圧$ \ V \ $，線路電流$ \ I \ $，送電端力率$ \ \cos \varphi \ $を用いて，
\[
\begin{eqnarray}
P&=&\sqrt {3}VI\cos \varphi \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。

(2)解答：ハ
電線$1$条の抵抗$ \ R \ $は，送電距離$ \ L \ $に比例し，断面積$ \ A \ $に反比例するので，
\[
\begin{eqnarray}
R&=&\frac {\rho L}{A}\\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答：チ
電線$1$条の質量$ \ G_{1} \ $は質量密度$ \ \sigma \ $に体積を掛けたものであるから，
\[
\begin{eqnarray}
G_{1}&=&\sigma AL\\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。三相$3$線式送電線の全質量$ \ G \ $は$ \ 3 \ $条分の質量であるから，
\[
\begin{eqnarray}
G&=&3G_{1} \\[ 5pt ] &=&3\sigma AL \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：ヨ
式⑤の両辺を二乗すると，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {P^{2}}{G^{2}}&=&\frac {V^{2}I^{2}\cos ^{2}\varphi }{3\sigma ^{2}A^{2}L^{2}}　&・・・・・・　⑤^{\prime }& \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。②より，
\[
\begin{eqnarray}
\lambda &=&\frac {3RI^{2}}{P} \\[ 5pt ] I^{2}&=&\frac {\lambda P}{3R} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから，これに③を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
I^{2}&=&\frac {\lambda P}{3}\times \frac {1}{R} \\[ 5pt ] &=&\frac {\lambda P}{3}\times \frac {A}{\rho L} \\[ 5pt ] &=&\frac {\lambda PA}{3\rho L} 　・・・・・・　②^{\prime } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，$ \ ②^{\prime } \ $を$ \ ⑤^{\prime } \ $に代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {P^{2}}{G^{2}}&=&\frac {V^{2}\cos ^{2}\varphi }{3\sigma ^{2}A^{2}L^{2}} \times I^{2} \\[ 5pt ] &=&\frac {V^{2}\cos ^{2}\varphi }{3\sigma ^{2}A^{2}L^{2}} \times \frac {\lambda PA}{3\rho L} \\[ 5pt ] &=&\frac {V^{2}\lambda P\cos ^{2} \varphi }{9\sigma ^{2} \rho AL^{3}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答：カ
⑥を$ \ P \ $について整理し，④を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {P^{2}}{G^{2}}&=&\frac {V^{2}\lambda P\cos ^{2} \varphi }{9\sigma ^{2} \rho AL^{3}} \\[ 5pt ] \frac {P}{G^{2}}&=&\frac {V^{2}\lambda \cos ^{2} \varphi }{9\sigma ^{2} \rho AL^{3}} \\[ 5pt ] P&=&\frac {V^{2}G^{2}\lambda \cos ^{2} \varphi }{9\sigma ^{2} \rho AL^{3}} \\[ 5pt ] &=&V^{2}G\lambda \cdot \frac {\cos ^{2} \varphi }{9\sigma ^{2} \rho AL^{3}}\times G \\[ 5pt ] &=&V^{2}G\lambda \cdot \frac {\cos ^{2} \varphi }{9\sigma ^{2} \rho AL^{3}}\times 3\sigma AL \\[ 5pt ] &=&V^{2}G\lambda \cdot \frac {\cos ^{2}\varphi }{3\sigma \rho L^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。