《機械》〈パワーエレクトロニクス〉[H20:問3]単相ブリッジ整流回路の重なり期間に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆（やや難しい）

図は単相ブリッジ順変換回路を示している。この図において，下記のように重なり期間を求めたい。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる式又は数値を解答群の中から選び，その記号をマークシートに記入しなさい。

交流電源を\( \ e_{u} =\sqrt {2}E_{2} \sin \omega t \ \mathrm {[V]} \ \)とする。転流インダクタンスを\( \ L_{ac} \ \mathrm {[H]} \ \)とし，各サイリスタ\( \ \mathrm {Th}_{1}～\mathrm {Th}_{4} \ \)の電流をそれぞれ\( \ i_{u} \ \mathrm {[A]} \ \)，\( \ i_{v} \ \mathrm {[A]} \ \)，電源電流を\( \ i_{ac} \ \mathrm {[A]} \ \)，直流電流を\( \ I_{d} \ \mathrm {[A]} \ \)とする。また，直流リアクトルのインダクタンス\( \ L_{dc} \ \mathrm {[H]} \ \)は十分大きく，直流電流は一定とする。各アームを流れる電流は\( \ \mathrm {Th}_{1} \ \)と\( \ \mathrm {Th}_{4} \ \)及び\( \ \mathrm {Th}_{3} \ \)と\( \ \mathrm {Th}_{2} \ \)が対になって同一電流が流れ，かつ，重なり期間中もこの通流関係は変化しないものとする。いま，重なり角を\( \ u \ \mathrm {[rad]} \ \)として，\( \ \mathrm {Th}_{3} \ \)から\( \ \mathrm {Th}_{1} \ \)へ制御遅れ角\( \ \alpha \ \mathrm {[rad]} \ \)にて転流する場合を考える。

重なり期間中は\( \ i_{u}+i_{v}= \ \fbox {　 （１） 　} \ \)であり，転流直前は\( \ i_{v}=I_{d} \ \)である。

\( \ \displaystyle L_{ac}\cdot \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}\left( i_{u}-i_{v}\right) = \ \fbox {　 （２） 　} \ \)である。また，\( \ i_{ac}=i_{u}-i_{v} \ \)であるので，
\[
\begin{eqnarray}
i_{u}&=&\frac { \ \fbox {　 （３） 　} \ }{2\omega L_{ac}}\cdot \left( \cos \alpha -\cos \omega t \right) \\[ 5pt ] i_{v}&=&I_{d}-\left( \frac { \ \fbox {　 （３） 　} \ }{2\omega L_{ac}}\right) \cdot \left( \cos \alpha -\cos \omega t \right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。

重なり期間の終期では，\( \ i_{v}=0 \ \)であるので，
\[
\begin{eqnarray}
\cos \alpha -\cos \left( \ \fbox {　 （４） 　} \ \right)&=&\frac {2\omega L_{ac}I_{d}}{\sqrt {2}E_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。

なお，重なり期間中の直流電圧\( \ V_{d} \ \mathrm {[V]} \ \)は，\( \ \fbox {　 （５） 　} \ \mathrm {[V]} \ \)である。

〔問3の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　2I_{d}　　　　　&（ロ）&　\alpha +2u　　　　　&（ハ）&　\sqrt {3}E_{2} \\[ 5pt ] &（ニ）&　e_{u}　　　　　&（ホ）&　2\alpha +u　　　　　&（ヘ）&　0 \\[ 5pt ] &（ト）&　-e_{u}　　　　　&（チ）&　\sqrt {2}E_{2}　　　　　&（リ）&　2 \\[ 5pt ] &（ヌ）&　\alpha +u　　　　　&（ル）&　I_{d}　　　　　&（ヲ）&　3I_{d} \\[ 5pt ] &（ワ）&　\sqrt {2}e_{u}　　　　　&（カ）&　\sqrt {6}E_{2}　　　　　&（ヨ）&　1 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

サイリスタを用いた単相ブリッジ整流回路に関する問題です。
(3)の計算の難易度が高く★５に近い問題ですが，(1)，(2)，(5)に関してはメカニズムを理解していれば正答可能かと思います。
選択肢も絞れず難易度も高い問題に対し，いかに部分点が取れるかで合否が分かれますので，よく考えて正答できるようにしましょう。

1.単相サイリスタブリッジ整流回路の動作
図1，図2に示す単相サイリスタブリッジ整流回路は以下のように動作します。

①\( \ v_{\mathrm {s}}＞0 \ \)でサイリスタ\( \ \mathrm {T}_{1} \ \)と\( \ \mathrm {T}_{4} \ \)がオンとなったとき
図1のように，電流は交流電源→\( \ \mathrm {T}_{1} \ \)→平滑リアクトル→負荷→\( \ \mathrm {T}_{4} \ \)→交流電源と流れます。出力電圧\( \ v_{\mathrm {d}} \ \)は素子の電圧降下が無視できるとすると，入力電圧\( \ v_{\mathrm {s}} \ \)と等しくなります。
\( \ v_{\mathrm {s}}＜0 \ \)になった以降も平滑リアクトルの容量がなくなるまで，負荷電流\( \ i_{\mathrm {d}} \ \)が流れることになります。

②\( \ v_{\mathrm {s}}＜0 \ \)でサイリスタ\( \ \mathrm {T}_{2} \ \)と\( \ \mathrm {T}_{3} \ \)がオンとなったとき
図2のように，電流は交流電源→\( \ \mathrm {T}_{2} \ \)→平滑リアクトル→負荷→\( \ \mathrm {T}_{3} \ \)→交流電源と流れます。出力電圧\( \ v_{\mathrm {d}} \ \)は素子の電圧降下が無視できるとすると，\( \ -v_{\mathrm {s}} \ \)となります。
\( \ v_{\mathrm {s}}＞0 \ \)になった以降も平滑リアクトルの容量がなくなるまで，負荷電流\( \ i_{\mathrm {d}} \ \)が流れることになります。

平滑リアクトルの容量が十分に大きいとすれば，\( \ i_{\mathrm {d}} \ \)はほぼ一定値となります。また，制御遅れ角\( \ \alpha \ \mathrm {[rad]} \ \)で制御しているとすると平均出力電圧\( \ V_{\mathrm {d}} \ \mathrm {[V]} \ \)は，交流入力\( \ v=\sqrt {2}V \sin \omega t \ \mathrm {[V]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {d}} &=& \frac {1}{\pi }\int _{\alpha }^{\pi +\alpha }\sqrt {2}V\sin \omega t \mathrm {d}\omega t \\[ 5pt ] &=& \frac {\sqrt {2}}{\pi }V\left[ -\cos \omega t\right] _{\alpha }^{\pi +\alpha } \\[ 5pt ] &=& \frac {\sqrt {2}}{\pi }V\left\{ -\cos \left( \pi +\alpha \right) +\cos \alpha \right\} \\[ 5pt ] &=& \frac {\sqrt {2}}{\pi }V\left( -\cos \pi \cos \alpha +\sin \pi \sin \alpha +\cos \alpha \right) \\[ 5pt ] &=& \frac {\sqrt {2}}{\pi }V\left( \cos \alpha +0+\cos \alpha \right) \\[ 5pt ] &=& \frac {2\sqrt {2}}{\pi }V\cos \alpha \\[ 5pt ] &≃& 0.90V\cos \alpha \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

(1)解答：ル
題意より，直流電流\( \ I_{d} \ \mathrm {[A]} \ \)は一定なので，重なり期間中も\( \ i_{u}+i_{v}=I_{d} \ \)と求められる。

(2)解答：ニ
左辺の\( \ \displaystyle L_{ac}\cdot \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}\left( i_{u}-i_{v}\right) \ \)はリアクトル電圧であり，重なり期間中は図3に示す閉回路が導通しているので，
\[
\begin{eqnarray}
L_{ac}\cdot \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}\left( i_{u}-i_{v}\right) &=&e_{u} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答：チ
(2)解答式に(1)解答式及び\( \ e_{u} =\sqrt {2}E_{2} \sin \omega t \ \mathrm {[V]} \ \)を代入して整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
L_{ac}\cdot \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}\left\{ i_{u}-\left( I_{d}-i_{u}\right) \right\} &=&\sqrt {2}E_{2} \sin \omega t \\[ 5pt ] \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}\left( 2i_{u}-I_{d}\right) &=&\frac {\sqrt {2}E_{2} }{L_{ac}} \sin \omega t \\[ 5pt ] 2\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}i_{u}-\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}I_{d} &=&\frac {\sqrt {2}E_{2} }{L_{ac}} \sin \omega t \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，\( \ I_{d} \ \)が一定であるため\( \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}I_{d}=0 \ \)となるから，
\[
\begin{eqnarray}
2\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}i_{u}&=&\frac {\sqrt {2}E_{2} }{L_{ac}} \sin \omega t \\[ 5pt ] \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}i_{u}&=&\frac {\sqrt {2}E_{2} }{2L_{ac}} \sin \omega t \\[ 5pt ] \mathrm {d}i_{u}&=&\frac {\sqrt {2}E_{2} }{2L_{ac}} \sin \omega t \mathrm {d}t \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。両辺積分すると，
\[
\begin{eqnarray}
i_{u}&=&\int \frac {\sqrt {2}E_{2} }{2L_{ac}} \sin \omega t \mathrm {d}t \\[ 5pt ] &=& \frac {\sqrt {2}E_{2} }{2L_{ac}} \cdot \left( -\frac {1}{\omega }\cos \omega t\right) +C　\left( \ C \ は積分定数 \right) \\[ 5pt ] &=& -\frac {\sqrt {2}E_{2} }{2\omega L_{ac}}\cos \omega t+C \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，初期条件\( \ \omega t=\alpha \ \)のとき，\( \ i_{u}=0 \ \)から，
\[
\begin{eqnarray}
0&=& -\frac {\sqrt {2}E_{2} }{2\omega L_{ac}}\cos \alpha +C \\[ 5pt ] C&=& \frac {\sqrt {2}E_{2} }{2\omega L_{ac}}\cos \alpha \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるので，
\[
\begin{eqnarray}
i_{u}&=& -\frac {\sqrt {2}E_{2} }{2\omega L_{ac}}\cos \omega t+\frac {\sqrt {2}E_{2} }{2\omega L_{ac}}\cos \alpha \\[ 5pt ] &=& \frac {\sqrt {2}E_{2} }{2\omega L_{ac}}\left( \cos \alpha -\cos \omega t\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：ヌ
重なり期間の周期は\( \ \omega t=\alpha +u \ \)であり，このとき題意より\( \ i_{v}=0 \ \)なので，
\[
\begin{eqnarray}
i_{v}&=&I_{d}-\frac {\sqrt {2}E_{2} }{2\omega L_{ac}}\cdot \left( \cos \alpha -\cos \omega t \right) \\[ 5pt ] 0&=&I_{d}-\frac {\sqrt {2}E_{2} }{2\omega L_{ac}}\cdot \left\{ \cos \alpha -\cos \left( \alpha +u\right) \right\} \\[ 5pt ] \frac {\sqrt {2}E_{2} }{2\omega L_{ac}}\cdot \left\{ \cos \alpha -\cos \left( \alpha +u\right) \right\} &=&I_{d} \\[ 5pt ] \cos \alpha -\cos \left( \alpha +u\right) &=&\frac {2\omega L_{ac}I_{d}}{\sqrt {2}E_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答：ヘ
題意より，「各アームを流れる電流は\( \ \mathrm {Th}_{1} \ \)と\( \ \mathrm {Th}_{4} \ \)及び\( \ \mathrm {Th}_{2} \ \)と\( \ \mathrm {Th}_{3} \ \)が対になって同一電流が流れ，かつ，重なり期間中もこの通流関係は変化しないものとする。」となっていることから，重なり期間中は図4に示すように全ての素子が導通していると考えれば良い。
したがって，\( \ V_{d}=0 \ \mathrm {[V]} \ \)と求められる。