《機械》〈電熱〉[R08:問6]電気加熱の方式と熱の伝わり方に関する計算・空欄穴埋問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

次の文章は，電気加熱の方式と熱の伝わり方に関する記述である。文中の$ \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ $に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。

電気加熱の方式には，抵抗加熱，誘導加熱，誘電加熱などがある。このうち抵抗加熱は最も広く使われている。抵抗$ \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ $の発熱体に電流$ \ I \ \mathrm {[A]} \ $を$ \ 1 \ $時間流したときに発生する熱量は$ \ \fbox {　（１）　} \ \mathrm {[J]} \ $となる。

発生した熱の伝わり方には，伝導，対流，放射の三つがある。伝導は，物体内を高温側から低温側へ，物体を構成する物質の移動や混合を伴うことなく，熱が伝達する現象である。厚さ$ \ 10 \ \mathrm {cm} \ $，熱伝導率$ \ 0.04 \ \mathrm {W / (m\cdot K)} \ $の断熱材の壁がある。壁の外側の温度が$ \ 0 \ \mathrm {{}^{\circ }C } \ $，内側の温度が$ \ 25 \ \mathrm {{}^{\circ }C } \ $のとき，伝導によって壁の内側から外側へ流れる熱流は壁$ \ 1 \ \mathrm {m^{2}} \ $当たり$ \ \fbox {　（２）　} \ \mathrm {W} \ $となる。

また，水のような流体の加熱では，主に対流によって熱が伝達する。ステンレス製の鍋に$ \ 15 \ \mathrm {{}^{\circ }C } \ $の水$ \ 2 \ \mathrm {kg} \ $を入れ，電磁調理器を使って火力$ \ 1 \ \mathrm {kW} \ $で$ \ 10 \ $分間加熱する。加熱中に鍋の中の水の蒸発はないものとすると，水の平均温度は$ \ \fbox {　（３）　} \ \mathrm {{}^{\circ }C } \ $まで上昇する。ただし，水の比熱は$ \ 4.186\times 10^{3} \ \mathrm {J / (kg\cdot K)} \ $とし，水に伝わる熱の割合は$ \ 90 \ ％ \ $とする。

放射は電磁波を介した熱の伝達である。面積$ \ S_{1} \ $の面$ \ 1 \ $と面積$ \ S_{2} \ $の面$ \ 2 \ $とが接触することなく対向して置かれ，高温側の面$ \ 1 \ $の表面温度は$ \ T_{1} \ \mathrm {[K]} \ $に，低温側の面$ \ 2 \ $の表面温度は$ \ T_{2} \ \mathrm {[K]} \ $に保持されている。また，面$ \ 1 \ $と面$ \ 2 \ $の表面の全放射率$ \ \varepsilon \ $は両面において等しく，面$ \ 1 \ $から面$ \ 2 \ $への形態係数を$ \ F_{12} \ $とする。$ \ F_{12} \ $は$ \ S_{1} \ $，$ \ S_{2} \ $の大きさ，形状，相対位置などの幾何学的な関係のみで値が決まる。このとき，面$ \ 1 \ $から面$ \ 2 \ $へ伝わる熱は$ \ \fbox {　（４）　} \ $で表される。$ \ \fbox {　（４）　} \ $の中の定数$ \ \sigma \ $は$ \ \fbox {　（５）　} \ $である。

〔問6の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　RI^{2}　　　　　&（ロ）&　3 \ 600RI^{2}　　　　　&（ハ）&　プランク定数 \\[ 5pt ] &（ニ）&　10　　　　　&（ホ）&　86.7　　　　　&（ヘ）&　\varepsilon \sigma S_{1}F_{12}\left( {T_{1}}^{2}-{T_{2}}^{2}\right) \\[ 5pt ] &（ト）&　79.5　　　　　&（チ）&　0.1　　　　　&（リ）&　\varepsilon \sigma S_{1}F_{12}\left( {T_{1}}^{4}-{T_{2}}^{4}\right) \\[ 5pt ] &（ヌ）&　64.5　　　　　&（ル）&　ボルツマン定数　　　　　&（ヲ）&　ステファン・ボルツマン定数 \\[ 5pt ] &（ワ）&　1　　　　　&（カ）&　\varepsilon \sigma S_{1}F_{12}\left( {T_{1}}^{3}-{T_{2}}^{3}\right)　　　　　&（ヨ）&　60RI^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

電気加熱の方式と熱の伝わり方に関する問題です。
扱う公式は全て$ \ 3 \ $種で学習済みですので，完答できた受験生も多かったと予想される問題です。
ただし，桁数や時間，温度等の引っ掛けの要素も多い問題なので，慎重に解いていかないと足をすくわれる可能性があります。

1.水の温度上昇と必要なエネルギーの関係
水にエネルギー$ \ Q \ \mathrm {[J]} \ $を加えたとき，温度上昇値$ \ \Delta T \ \mathrm {[K]} \ $の間には，質量$ \ m \ \mathrm {[kg]} \ $，比熱容量$ \ c \ \mathrm {[J / \left( kg\cdot K\right) ]} \ $とすると
\[
\begin{eqnarray}
Q &=&mc \Delta T \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があります。

2.熱伝導
図1に示すように，ある温度差がある物体において，高温部から低温部に向かい熱が伝わる現象を熱伝導といいます。
物体の温度差を$ \ \theta =T_{1}-T_{2} \ \mathrm {[K]} \ $，熱抵抗を$ \ R \ \mathrm {[K / W]} \ $とすると，物体の熱流$ \ I \ \mathrm {[W]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
I &=& \frac {\theta }{R} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，これを熱力学のオームの法則といいます。
物体の熱伝導率が$ \ \lambda \ \mathrm {[W / (m\cdot K )]} \ $，断面積が$ \ S \ \mathrm {[m^{2}]} \ $，長さが$ \ l \ \mathrm {[m]} \ $であるとき，物体の熱抵抗$ \ R \ \mathrm {[K / W]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
R &=& \frac {l}{\lambda S} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められます。

3.熱対流
図2に示すように，液体や気体の流動により，熱が移動する現象を熱対流といいます。
物体間の温度差を$ \ \theta \ \mathrm {[K]} \ $，表面熱抵抗を$ \ R \ \mathrm {[K / W]} \ $とすると，物体の熱流$ \ I \ \mathrm {[W]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
I &=& \frac {\theta }{R} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，熱力学のオームの法則が成立します。熱伝達係数が$ \ h \ \mathrm {[W / (m ^{2}\cdot K )]} \ $，断面積が$ \ S \ \mathrm {[m^{2}]} \ $であるとき，表面熱抵抗$ \ R \ \mathrm {[K / W]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
R &=& \frac {1}{hS} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められます。

4.熱放射
図3のように，電磁波の放射により熱が伝わる現象を熱放射といいます。
面積$ \ A_{1} \ \mathrm {[m^{2}]} \ $，温度$ \ T_{1} \ \mathrm {[K]} \ $の高温面と，面積$ \ A_{2} \ \mathrm {[m^{2}]} \ $，温度$ \ T_{2} \ \mathrm {[K]} \ $の低温面があるとき，$ \ 1 \ $秒当たりに高温面から低温面に伝わるエネルギー$ \ \mathit {\Phi } \ \mathrm {[W]} \ $は，$ \ \varepsilon \ $を放射率，$ \ \sigma \ \mathrm {[W / \left( m^{2}\cdot K^{4}\right) ]} \ $をステファン・ボルツマン定数，$ \ F_{12} \ $を形態係数とすると，
\[
\begin{eqnarray}
\mathit {\Phi } &=& \varepsilon \sigma A_{1}F_{12}\left( T_{1}^{4}-T_{2}^{4}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められ，これをステファン・ボルツマンの法則といいます。

【解答】

(1)解答：ロ
抵抗での消費電力$ \ P_{1} \ \mathrm {[W]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{1}&=&RI^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，$ \ 1 \ $時間すなわち$ \ t_{1}=3 \ 600 \ \mathrm {[s]} \ $流したときに発生する熱量$ \ Q_{1} \ \mathrm {[J]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
Q_{1}&=&P_{1}t_{1} \\[ 5pt ] &=&RI^{2}\times 3 \ 600 \\[ 5pt ] &=&3 \ 600RI^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答：ニ
厚さ$ \ l=0.1 \ \mathrm {[m]} \ $，物体の熱伝導率$ \ \lambda =0.04 \ \mathrm {[W / (m\cdot K )]} \ $，断面積$ \ S=1 \ \mathrm {[m^{2}]} \ $なので，物体の熱抵抗$ \ R \ \mathrm {[K / W]} \ $は，ワンポイント解説「2.熱伝導」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
R &=& \frac {l}{\lambda S} \\[ 5pt ] &=& \frac {0.1}{0.04 \times 1} \\[ 5pt ] &=& 2.5 \ \mathrm {[K / W]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，物体の温度差$ \ \theta =25-0=25 \ \mathrm {[K]} \ $のときの熱流$ \ I \ \mathrm {[W]} \ $は，ワンポイント解説「2.熱伝導」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
I &=& \frac {\theta }{R} \\[ 5pt ] &=& \frac {25}{2.5} \\[ 5pt ] &=& 10 \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答：ト
$ \ P_{2}=1 \ \mathrm {[kW]} \ $で$ \ 10 \ $分間すなわち$ \ t_{2}= 600 \ \mathrm {[s]} \ $加熱したときに水に伝わる熱量$ \ Q_{2} \ \mathrm {[J]} \ $は，水に伝わる割合$ \ \alpha =0.9 \ $であるから，
\[
\begin{eqnarray}
Q_{2} &=& P_{2}\alpha t_{2} \\[ 5pt ] &=& 1\times 10^{3}\times 0.9 \times 600 \\[ 5pt ] &=& 540 \ 000 \ \mathrm {[J]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，これより温度変化$ \ \Delta T \ \mathrm {[{}^{\circ }C ]} \ $は，水の質量$ \ m=2 \ \mathrm {[kg]} \ $，水の比熱$ \ c=4.186\times 10^{3} \ \mathrm {[J / (kg\cdot K)]} \ $であるから，ワンポイント解説「1.水の温度上昇と必要なエネルギーの関係」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
Q_{2} &=& mc\Delta T \\[ 5pt ] \Delta T&=& \frac {Q_{2}}{mc} \\[ 5pt ] &=& \frac {540 \ 000}{2\times 4.186\times 10^{3}} \\[ 5pt ] &≒& 64.5 \ \mathrm {[{}^{\circ }C ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって，元々$ \ T_{1}=15 \ \mathrm {[{}^{\circ }C ]} \ $であったため，加熱後の水の平均温度$ \ T_{2} \ \mathrm {[{}^{\circ }C ]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
T_{2} &=& T_{1}+\Delta T \\[ 5pt ] &=& 15+64.5 \\[ 5pt ] &=& 79.5 \ \mathrm {[{}^{\circ }C ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：リ
題意より，解答候補は（ヘ）$ \ \varepsilon \sigma S_{1}F_{12}\left( {T_{1}}^{2}-{T_{2}}^{2}\right) \ $，（リ）$ \ \varepsilon \sigma S_{1}F_{12}\left( {T_{1}}^{4}-{T_{2}}^{4}\right) \ $，（カ）$ \ \varepsilon \sigma S_{1}F_{12}\left( {T_{1}}^{3}-{T_{2}}^{3}\right) \ $，になると思います。
ワンポイント解説「4.熱放射」の通り，面$ \ 1 \ $から面$ \ 2 \ $へ伝わる熱は$ \ \varepsilon \sigma \mathrm {S_{1}}F_{12}\left( {T_{1}}^{4}-{T_{2}}^{4}\right) \ $となります。

(5)解答：ヲ
題意より，解答候補は（ハ）プランク定数，（ル）ボルツマン定数，（ヲ）ステファン・ボルツマン定数，になると思います。
ワンポイント解説「4.熱放射」の通り，$ \ \varepsilon \sigma S_{1}F_{12}\left( {T_{1}}^{4}-{T_{2}}^{4}\right) \ $の定数$ \ \sigma \ $はステファン・ボルツマン定数といいます。