《機械・制御》〈変圧器〉[H27:問2]変圧器の特性に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆(やや難しい)

変圧器の特性に関して,次の問に答えよ。

(1) 定格容量\(S_{\mathrm {n}}=100 \ \mathrm {kV\cdot A}\),定格一次電圧\(V_{\mathrm {1n}}=6600 \ \mathrm {V}\),定格二次電圧\(V_{\mathrm {2n}}=210 \ \mathrm {V}\),定格周波数\(60 \ \mathrm {Hz}\)の単相変圧器がある。巻数比\(a\),定格一次電流\(I_{\mathrm {1n}} \ \mathrm {[A]}\)を求めよ。

(2) この変圧器の二次巻線端子を短絡し,一次巻線端子に定格周波数の電圧\(V_{\mathrm {1s}}=218 \ \mathrm {V}\)を印加したところ,二次側電流が定格電流となり,入力電力は,\(P_{\mathrm {1s}}=1200 \ \mathrm {W}\)であった。短絡インピーダンスの大きさ\([%]\)を求めよ。

(3) 図1は二次側の諸量を一次側に換算した変圧器の簡易等価回路である。上記(2)の条件から,図中の巻線の抵抗\(r=r_{1}+a^{2}r_{2} \ \mathrm {[\Omega ]}\)及び漏れリアクタンス\(x=x_{1}+a^{2}x_{2} \ \mathrm {[\Omega ]}\)を求めよ。ただし,励磁アドミタンスは無視する。

(4) 図1に示すように,二次巻線端子に力率\(\cos \theta \)の負荷\(\left( {\dot Z}_{\mathrm {L}}=\left| {\dot Z}_{\mathrm {L}}\right| ∠\theta \right)\)を接続して一次巻線電圧を\(V_{10}\)としたとき,負荷に定格電圧\(V_{\mathrm {2n}}\)が印加され定格電流\(I_{\mathrm {2n}}\)が流れた。図2は,このときの電圧電流ベクトル概略図の一部である。図2が答案用紙に印刷されているので,電圧\({\dot V}^{\prime }_{20}\left( ={\dot V}_{10} \right)\)及び電流\({\dot I}_{1}\),\({\dot I}_{\mathrm {g0}}\),\({\dot I}_{\mathrm {b0}}\)のベクトルを書き足して,ベクトル図を完成させよ。巻線抵抗\(r\)及び漏れリアクタンス\(x\)による電圧降下の成分も図中に明示せよ。

  

(5) 一次端子電圧を\(V_{\mathrm {10}}\)のままにして,無負荷としたときの二次端子電圧を\(V_{\mathrm {20}}\)とする。このとき,この変圧器の電圧の変動率\(\varepsilon \)を,次式で表す。
\[
\varepsilon =\frac {V_{\mathrm {20}}-V_{\mathrm {2n}}}{V_{\mathrm {2n}}}\times 100 [%] \] これは,次式で近似できることを示せ。
\[
\varepsilon ≒\left( q_{\mathrm {R}}\cos \theta +q_{\mathrm {X}}\sin \theta \right) \times 100 [%] \] ただし,\(\displaystyle R=\frac {r}{a^{2}}\),\(\displaystyle X=\frac {x}{a^{2}}\),\(\displaystyle q_{\mathrm {R}}=\frac {RI_{\mathrm {2n}}}{V_{\mathrm {2n}}}≪1\),\(\displaystyle q_{\mathrm {X}}=\frac {XI_{\mathrm {2n}}}{V_{\mathrm {2n}}}≪1\)とする。また,必要に応じて,展開式\(\displaystyle \sqrt {1+\delta }=1+\frac {1}{2}\delta -\frac {1}{8}\delta ^{2}+・・・,( \left| \delta \right| < 1)\)を用いよ。

【ワンポイント解説】

百分率インピーダンスを使いこなせること,複雑な計算があること等かなりの能力が求められ,一種に出題されてもよいレベルの問題であると思います。この年の機械制御は問題毎の難易度格差が大きく,本問を選択した方は苦戦したのではないかと思います。

1.百分率インピーダンスの定義
単相変圧器の定格容量\(P_{\mathrm {n}}\),定格電圧\(V_{\mathrm {n}}\),定格電流\(I_{\mathrm {n}}\)とした時,インピーダンス\(Z\)のパーセントインピーダンス\(%Z\)は,
\[
\begin{eqnarray}
%Z&=& \frac {ZI_{\mathrm {n}}}{V_{\mathrm {n}}} \times 100 \\[ 5pt ] &=& \frac {ZP_{\mathrm {n}}}{V^{2}_{\mathrm {n}}} \times 100 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

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  変圧器の電圧変動率

【解答】

(1)巻数比\(a\),定格一次電流\(I_{\mathrm {1n}} \ \mathrm {[A]}\)
巻数比\(a\)は,一次電圧と二次電圧の比と等しいので,
\[
\begin{eqnarray}
a&=& \frac {V_{\mathrm {1n}}}{V_{\mathrm {2n}}} \\[ 5pt ] &=& \frac {6600}{210} \\[ 5pt ] &≒&31.429 → 31.4
\end{eqnarray}
\] と求められる。また一次定格電流\(I_{\mathrm {1n}}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {1n}}&=& \frac {S_{\mathrm {n}}}{V_{\mathrm {1n}}} \\[ 5pt ] &=& \frac {100\times 10^{3}}{6600} \\[ 5pt ] &≒&15.152 → 15.2 \ \mathrm {[A]}
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)短絡インピーダンスの大きさ\([%]\)
短絡インピーダンスの大きさ\(Z_{\mathrm {s}}\)は題意より,
\[
Z_{\mathrm {s}}=\frac {V_{\mathrm {s}}}{I_{\mathrm {1n}}}
\] であるから,ワンポイント解説「1.百分率インピーダンスの定義」より,短絡インピーダンスの大きさ\(%Z_{\mathrm {s}}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
%Z_{\mathrm {s}}&=& \frac {Z_{\mathrm {s}}I_{\mathrm {1n}}}{V_{\mathrm {1n}}} \times 100 \\[ 5pt ] &=&\frac {\frac {V_{\mathrm {1s}}}{I_{\mathrm {1n}}}I_{\mathrm {1n}}}{V_{\mathrm {1n}}} \times 100 \\[ 5pt ] &=&\frac {V_{\mathrm {1s}}}{V_{\mathrm {1n}}} \times 100 \\[ 5pt ] &=&\frac {218}{6600} \times 100 \\[ 5pt ] &≒&3.3030 → 3.30 \ \mathrm {[%]}
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)巻線の抵抗\(r=r_{1}+a^{2}r_{2} \ \mathrm {[\Omega ]}\)及び漏れリアクタンス\(x=x_{1}+a^{2}x_{2} \ \mathrm {[\Omega ]}\)
(2)の条件における等価回路は図1-1のようになる。無負荷試験時の結果より,
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {1s}}&=& r I^{2}_{\mathrm {1n}} \\[ 5pt ] r&=&\frac {P_{\mathrm {1s}}}{I^{2}_{\mathrm {1n}}}\\[ 5pt ] &=&\frac {1200}{15.152^{2}} \\[ 5pt ] &≒&5.2269 → 5.23 \ \mathrm {[\Omega]}
\end{eqnarray}
\] となる。また,短絡インピーダンスの大きさ\(Z_{\mathrm {s}}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
Z_{\mathrm {s}}&=& \frac {218}{15.152} \\[ 5pt ] &≒&14.388 \ \mathrm {[\Omega]}
\end{eqnarray}
\] となるので,漏れリアクタンスの大きさは,
\[
\begin{eqnarray}
X&=&\sqrt {Z_{\mathrm {s}}^{2}-r^{2}} \\[ 5pt ] &=&\sqrt {14.388^{2}-5.23^{2}} \\[ 5pt ] &≒&13.404 → 13.4 \ \mathrm {[\Omega]}
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)電圧\({\dot V}^{\prime }_{20}\left( ={\dot V}_{10} \right)\)及び電流\({\dot I}_{1}\),\({\dot I}_{\mathrm {g0}}\),\({\dot I}_{\mathrm {b0}}\)のベクトルを書き足す
図2-2の通りとなる。
【作成手順】
 ① \({\dot I}^{\prime }_{\mathrm {2n}}\)に平行に\(r{\dot I}^{\prime }_{\mathrm {2n}}\)を描く。
 ① \({\dot I}^{\prime }_{\mathrm {2n}}\)に垂直に\(x{\dot I}^{\prime }_{\mathrm {2n}}\)を描く。
 ③ \({\dot V}^{\prime }_{\mathrm {20}}={\dot V}^{\prime }_{\mathrm {2n}}+r{\dot I}^{\prime }_{\mathrm {2n}}+x{\dot I}^{\prime }_{\mathrm {2n}}\)となるように\({\dot V}^{\prime }_{\mathrm {20}}\)を描く。
 ④ \({\dot V}^{\prime }_{\mathrm {20}}\)と平行に\({\dot I}_{\mathrm {g0}}\),垂直に\({\dot I}_{\mathrm {b0}}\)を,\({\dot I}_{\mathrm {g0}}+{\dot I}_{\mathrm {b0}}={\dot I}_{\mathrm {0}}\)となるように描く。

(5)近似式の証明
(4)のベクトル図より,二次側換算した等式は,
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {20}}&=&\sqrt {\left( V_{\mathrm {2n}}+RI_{\mathrm {2n}}\cos \theta +XI_{\mathrm {2n}}\sin \theta \right) ^{2} +\left( XI_{\mathrm {2n}}\cos \theta -RI_{\mathrm {2n}}\sin \theta \right) ^{2}} \\[ 5pt ] &=&V_{\mathrm {2n}}\sqrt {\left( 1+\frac {RI_{\mathrm {2n}}}{V_{\mathrm {2n}}}\cos \theta +\frac {XI_{\mathrm {2n}}}{V_{\mathrm {2n}}}\sin \theta \right) ^{2} +\left( \frac {XI_{\mathrm {2n}}}{V_{\mathrm {2n}}}\cos \theta -\frac {RI_{\mathrm {2n}}}{V_{\mathrm {2n}}}\sin \theta \right) ^{2}} \\[ 5pt ] &=&V_{\mathrm {2n}}\sqrt {\left( 1+q_{\mathrm {R}}\cos \theta +q_{\mathrm {X}}\sin \theta \right) ^{2} +\left( q_{\mathrm {X}}\cos \theta -q_{\mathrm {R}}\sin \theta \right) ^{2}} \\[ 5pt ] &=&V_{\mathrm {2n}}\sqrt {1+q_{\mathrm {R}}^{2}\cos ^{2}\theta +q_{\mathrm {X}}^{2}\sin ^{2}\theta +2q_{\mathrm {R}}\cos \theta +2q_{\mathrm {R}}q_{\mathrm {X}}\cos \theta \sin \theta +2q_{\mathrm {X}}\sin \theta +q_{\mathrm {X}}^{2}\cos ^{2}\theta -2q_{\mathrm {R}}q_{\mathrm {X}}\cos \theta \sin \theta +q_{\mathrm {R}}^{2}\sin ^{2}\theta } \\[ 5pt ] &=&V_{\mathrm {2n}}\sqrt {1+q_{\mathrm {R}}^{2}+q_{\mathrm {X}}^{2}+2q_{\mathrm {R}}\cos \theta +2q_{\mathrm {X}}\sin \theta } \\[ 5pt ] &≒&V_{\mathrm {2n}}\sqrt {1+2q_{\mathrm {R}}\cos \theta +2q_{\mathrm {X}}\sin \theta } \\[ 5pt ] &≒&V_{\mathrm {2n}}\left( 1+q_{\mathrm {R}}\cos \theta +q_{\mathrm {X}}\sin \theta \right)
\end{eqnarray}
\] となる。よって電圧変動率\(\varepsilon \)は,
\[
\begin{eqnarray}
\varepsilon&=&\frac {V_{\mathrm {20}}-V_{\mathrm {2n}}}{V_{\mathrm {2n}}}\times 100 \\[ 5pt ] &=&\frac {V_{\mathrm {2n}}\left( 1+q_{\mathrm {R}}\cos \theta +q_{\mathrm {X}}\sin \theta \right)-V_{\mathrm {2n}}}{V_{\mathrm {2n}}}\times 100 \\[ 5pt ] &=&\left( q_{\mathrm {R}}\cos \theta +q_{\mathrm {X}}\right)\times 100 [%] \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。



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