《理論》〈電子理論〉[H19:問7]半導体中のキャリヤの運動と電気伝導に関する計算問題

Contents

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

次の文章は，半導体中のキャリヤの運動と電気伝導に関する記述である。文中の$ \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ $に当てはまる語句又は式を解答群の中から選び，その記号をマークシートに記入しなさい。

半導体中のキャリヤに電界を作用させるとキャリヤは電界による力を受けてランダム運動しながらも，その方向に移動する。このようにドリフトしながら移動するキャリヤのドリフト速度は，電界がそれほど大きくない場合，電界に比例し，その比例定数$ \ \mu \ $を$ \ \fbox {　（１）　} \ $という。いま，正孔密度を$ \ p \ $，正孔の電荷量を$ \ q \ $，正孔の$ \ \fbox {　（１）　} \ $を改めて$ \ \mu _{p} \ $とおき，電界を$ \ E \ $とすれば，ドリフト正孔電流密度$ \ J_{p} \ $は$ \ \fbox {　（２）　} \ $となる。同様に電子密度を$ \ n \ $，電子の$ \ \fbox {　（１）　} \ $を$ \ \mu _{n} \ $，電子の電荷量を$ \ -q \ $とすれば，ドリフト電子電流密度$ \ J_{n} \ $は$ \ \fbox {　（３）　} \ $となる。電子は電界作用に対して正孔と逆方向に移動するが，負の電荷であるため，電流としての向きは正孔と同じである。電子と正孔によるドリフト電流密度を合計した電流密度$ \ J \ $は$ \ \fbox {　（４）　} \ $となる。これより導電率$ \ \gamma \ $は$ \ \fbox {　（５）　} \ $となる。

〔問7の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　ドリフト係数　　　　　&（ロ）&　q\left( \mu _{n}n+\mu _{p}p \right) E　　　　　&（ハ）&　qp\mu _{p}\sqrt {E} \\[ 5pt ] &（ニ）&　qp\mu _{p}E　　　　　&（ホ）&　q\sqrt {\mu _{n}n+\mu _{p}p}　　　　　&（ヘ）&　qn\mu _{n}E^{2} \\[ 5pt ] &（ト）&　q\left( \mu _{n}n+\mu _{p}p \right) \sqrt {E}　　　　　&（チ）&　移動度　　　　　&（リ）&　qp\mu _{p}E^{2} \\[ 5pt ] &（ヌ）&　q\left( \mu _{n}n+\mu _{p}p \right) 　　　　　&（ル）&　qn\mu _{n}\sqrt {E}　　　　　&（ヲ）&　qn\mu _{n}E \\[ 5pt ] &（ワ）&　拡散率　　　　　&（カ）&　q\left( \mu _{n}n+\mu _{p}p \right) E^{2}　　　　　&（ヨ）&　q\left( \frac {\mu _{n}n+\mu _{p}p}{2} \right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

半導体中のキャリヤの運動に関する問題です。
電子理論に精通している方であれば基本問題となりますが，電験での出題は数年に一度程度なので，対策ができていない受験生も多いかもしれません。
内容としては理解してしまえば難解ではないので，本問で理解するようにしましょう。

1.キャリヤの移動度$ \ \mu \ $
電界$ \ E \ \mathrm {[V / m]} \ $が加わっている電界中に正孔や電子等のキャリヤがあるとすると，キャリヤの平均速度は電界$ \ E \ \mathrm {[V / m]} \ $に比例した速度で動きます。その時のキャリヤの平均速度$ \ v \ \mathrm {[m / s]} \ $は，比例定数（移動度）を$ \ \mu \ \mathrm {[m^{2} / V\cdot s]} \ $とすると，
\[
\begin{eqnarray}
v &=&\mu E \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められます。

2.半導体中の電流$ \ I \ $と電流密度$ \ J \ $
断面積$ \ S \ \mathrm {[m^{2}]} \ $の半導体に一様に電流が流れるとします。
半導体中の電子の電荷を$ \ e \ \mathrm {[C]} \ $，電子濃度を$ \ n \ \mathrm {[m^{-3}]} \ $，平均速度を$ \ v \ \mathrm {[m/s]} \ $とすると，電流密度$ \ J \ \mathrm {[A/m^{2}]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
J&=&evn \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，電流$ \ I \ \mathrm {[A]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
I &=& JS \\[ 5pt ] &=& evnS \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

3.電流密度$ \ J \ $と電界$ \ E \ $の関係
導体内に電流が流れるとき，電流密度$ \ J \ \mathrm {[A/m^{2}]} \ $と電界$ \ E \ \mathrm {[V/m]} \ $には，導体の導電率を$ \ \sigma \ \mathrm {[S/m]} \ $とすると，
\[
\begin{eqnarray}
J &=& \sigma E \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があり，これをオームの法則の微分形といいます。
任意の条件による正確な導出は少し複雑ですが，簡易的に長さ$ \ l \ \mathrm {[m]} \ $，断面積$ \ S \ \mathrm {[m^{2}]} \ $の導体中を一様に電荷が流れているという前提で，オームの法則$ \ V=RI \ $から変形すると，
\[
\begin{eqnarray}
V &=& RI \\[ 5pt ] El &=& \frac {l}{\sigma S}\cdot JS \\[ 5pt ] E &=& \frac {1}{\sigma }\cdot J \\[ 5pt ] J &=& \sigma E \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と導出することができます。

【解答】

(1)解答：チ
題意より解答候補は，（イ）ドリフト係数，（チ）移動度，（ワ）拡散率，になると思います。
ワンポイント解説「1.キャリヤの移動度$ \ \mu \ $」の通り，キャリヤのドリフト速度が電界に比例するときの比例定数$ \ \mu \ $を移動度といいます。

(2)解答：ニ
(1)の通り，正孔の移動度$ \ \mu _{p} \ $，加える電界$ \ E \ $としたときのドリフト速度$ \ v_{p} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
v_{p}&=&\mu _{p}E \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，正孔密度$ \ p \ $，電荷量$ \ q \ $としたときのドリフト正孔電流密度$ \ J_{p} \ $は，ワンポイント解説「2.半導体中の電流$ \ I \ $と電流密度$ \ J \ $」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
J_{p}&=&qv_{p}p \\[ 5pt ] &=&qp\mu _{p}E \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答：ヲ
(2)と同様に，電子密度$ \ n \ $，移動度$ \ \mu _{n} \ $，電荷量$ \ -q \ $としたときのドリフト電子電流密度$ \ J_{n} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
J_{n}&=&qn\mu _{n}E \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：ロ
(2)及び(3)より，電子と正孔によるドリフト電流密度を合計した電流密度$ \ J \ $は，どちらも電流の向きが同じなので，
\[
\begin{eqnarray}
J&=&J_{n}+J_{p} \\[ 5pt ] &=&qn\mu _{n}E+qp\mu _{p}E \\[ 5pt ] &=&q\left( \mu _{n}n+\mu _{p}p \right) E \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答：ヌ
(4)解答式より，導電率$ \ \gamma \ $は，ワンポイント解説「3.電流密度$ \ J \ $と電界$ \ E \ $の関係」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
\gamma &=&\frac {J}{E} \\[ 5pt ] &=&\frac {q\left( \mu _{n}n+\mu _{p}p \right) E}{E} \\[ 5pt ] &=&q\left( \mu _{n}n+\mu _{p}p \right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。