《理論》〈電気及び電子計測〉[H26:問6]交流ブリッジの平衡条件に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆(やや易しい)

次の文章は,交流ブリッジの平衡条件に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選びなさい。

図において,交流電源の電圧を\( \ \dot V \ \),その角周波数を\( \ \omega \ \) ( \( \ \omega =2\pi f \ , \ f \ \)は周波数 )とする。また,\( \ R_{1} \ \),\( \ R_{2} \ \)及び\( \ R_{3} \ \)は抵抗,\( \ C_{1} \ \),\( \ C_{2} \ \)及び\( \ C_{3} \ \)は静電容量,\( \ Ⓓ \ \)は検出器である。

いま,検出器の指示が零となり,ブリッジが平衡しているとすれば次式が成立する。
\[
\begin{eqnarray}
\frac {R_{2}}{\mathrm {j}\omega C_{2}} &=& \left( R_{1}+\frac {1}{\mathrm {j}\omega C_{1}}\right) \times \fbox {  (1)  } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] したがって,上式より\( \ R_{1} \ \)は\( \ \fbox {  (2)  } \ \), \( \ C_{1} \ \)は\( \ \fbox {  (3)  } \ \)となる。

このような交流ブリッジは主にコンデンサの静電容量の測定に用いられ,\( \ \fbox {  (4)  } \ \)ブリッジと呼ばれる。また,コンデンサの\( \ \fbox {  (5)  } \ \)の測定にも用いられる。

〔問6の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&(イ)& \frac {C_{3}}{C_{2}}R_{2}   &(ロ)& \frac {R_{2}}{C_{2}}    &(ハ)& \frac {C_{2}}{C_{3}}R_{2} \\[ 5pt ] &(ニ)& \frac {\mathrm {j}\omega C_{3}R_{3}}{1+\mathrm {j}\omega C_{3}R_{3}}   &(ホ)& シェーリング    &(ヘ)& \frac {C_{2}}{R_{2}} \\[ 5pt ] &(ト)& 位相角   &(チ)& ケルビンダブル    &(リ)& 誘電正接(\mathrm {tan}\delta ) \\[ 5pt ] &(ヌ)& \frac {R_{3}}{R_{2}}C_{2}   &(ル)& \frac {R_{3}}{1-\mathrm {j}\omega C_{3}R_{3}}   &(ヲ)& \frac {R_{3}}{1+\mathrm {j}\omega C_{3}R_{3}} \\[ 5pt ] &(ワ)& 温度係数   &(カ)& \frac {R_{2}}{R_{3}}C_{2}   &(ヨ)& マクスウェル \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

交流ブリッジの平衡条件は非常に出題されやすい問題の一つです。平衡条件はそれほど難しい公式ではないため,確実に理解するようにしましょう。

1.交流ブリッジの平衡条件
図1の回路において,検出器\( \ Ⓓ \ \)に電流が流れない条件を,平衡条件と言い,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{1}{\dot Z}_{4} &=& {\dot Z}_{2}{\dot Z}_{3} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

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  静電容量測定用ブリッジ回路まとめ

【解答】

(1)解答:ヲ
\( \ R_{3} \ \)と\( \ C_{3} \ \)の合成インピーダンスは,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {R_{3} \cdot \frac {1}{\mathrm {j}\omega C_{3}}}{R_{3} +\frac {1}{\mathrm {j}\omega C_{3}}} &=& \frac {R_{3}}{1+\mathrm {j}\omega C_{3}R_{3}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから,ワンポイント解説「1.交流ブリッジの平衡条件」より,問題図の平衡条件は,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {R_{2}}{\mathrm {j}\omega C_{2}} &=& \left( R_{1}+\frac {1}{\mathrm {j}\omega C_{1}}\right) \times \frac {R_{3}}{1+\mathrm {j}\omega C_{3}R_{3}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答:イ
(1)の解答式を整理すると,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {R_{2}}{\mathrm {j}\omega C_{2}} &=& \left( R_{1}+\frac {1}{\mathrm {j}\omega C_{1}}\right) \times \frac {R_{3}}{1+\mathrm {j}\omega C_{3}R_{3}} \\[ 5pt ] \frac {R_{2}}{\mathrm {j}\omega C_{2}} &=& \frac {1+\mathrm {j}\omega C_{1}R_{1}}{\mathrm {j}\omega C_{1}} \times \frac {R_{3}}{1+\mathrm {j}\omega C_{3}R_{3}} \\[ 5pt ] \frac {R_{2}}{\mathrm {j}\omega C_{2}} &=& \frac {R_{3}+\mathrm {j}\omega C_{1}R_{1}R_{3}}{-\omega^{2} C_{1}C_{3}R_{3}+\mathrm {j}\omega C_{1}} \\[ 5pt ] -\omega^{2} C_{1}C_{3}R_{2}R_{3}+\mathrm {j}\omega C_{1}R_{2} &=& -\omega ^{2} C_{1}C_{2}R_{1}R_{3}+\mathrm {j}\omega C_{2}R_{3} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので,実数部を比較すると,
\[
\begin{eqnarray}
-\omega^{2} C_{1}C_{3}R_{2}R_{3}&=& -\omega ^{2} C_{1}C_{2}R_{1}R_{3} \\[ 5pt ] C_{3}R_{2}&=& C_{2}R_{1} \\[ 5pt ] R_{1} &=& \frac {C_{3}}{C_{2}}R_{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答:ヌ
(2)の虚数部を比較すると,
\[
\begin{eqnarray}
\omega C_{1}R_{2} &=& \omega C_{2}R_{3} \\[ 5pt ] C_{1}R_{2} &=& C_{2}R_{3} \\[ 5pt ] C_{1} &=& \frac {R_{3}}{R_{2}}C_{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答:ホ
このような交流ブリッジはシェーリングブリッジと呼ばれます。

(5)解答:リ
このような交流ブリッジは,誘電正接測定にも用いられます。



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