《理論》〈電子理論〉[H20:問8]負帰還増幅回路の入出力電圧の関係に関する計算問題

【問題】

【難易度】★☆☆☆☆（易しい）

次の文章は，負帰還増幅回路に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる式又は数値を解答群の中から選び，その記号をマークシートに記入しなさい。

図1は負帰還増幅回路を模式的に表した図である。また，図1の各ブロックは，それぞれ図2のような機能を持つものとする。ただし，図2において，\( \ A \ \)は電圧増幅度を，\( \ H \ \)は減衰率を表している。

まず，増幅器の入力電圧\( \ v_{4} \ \)を用いて負帰還増幅回路の出力電圧\( \ v_{2} \ \)を表すと
\[
\begin{eqnarray}
v_{2} &=& \ \fbox {　 （１） 　} \ \times v_{4} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，また，\( \ v_{2} \ \)を用いて減衰器の出力電圧\( \ v_{3} \ \)を表すと\( \ v_{3}=Hv_{2} \ \)である。

さらに，
\[
\begin{eqnarray}
v_{4} &=& \ \fbox {　 （２） 　} \ \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから，\( \ v_{2} \ \)は負帰還増幅回路の入力電圧\( \ v_{1} \ \)を用いて
\[
\begin{eqnarray}
v_{2} &=& \ \fbox {　 （３） 　} \ \times v_{1} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と表される。このときループ利得\( \ AH \ \)が\( \ 1 \ \)よりも十分大きいと仮定すると，
\[
\begin{eqnarray}
v_{2} &≒& \ \fbox {　 （４） 　} \ \times v_{1} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と近似することができる。また，\( \ v_{2} \ \)が有限の値のとき，増幅器の電圧増幅度\( \ A \ \)を大きくしていくと，\( \ v_{4} \ \)は\( \ \fbox {　 （５） 　} \ \)に近づいていく。

〔問8の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　\frac {A}{1+AH}　　　　　&（ロ）&　\frac {1}{A}　　　　　&（ハ）&　\frac {1}{H} \\[ 5pt ] &（ニ）&　Av_{1}　　　　　&（ホ）&　H　　　　　&（ヘ）&　Hv_{3} \\[ 5pt ] &（ト）&　\frac {1}{AH}　　　　　&（チ）&　\frac {H}{1+AH}　　　　　&（リ）&　-1 \\[ 5pt ] &（ヌ）&　v_{1}-v_{3}　　　　&（ル）&　A　　　　　&（ヲ）&　AH \\[ 5pt ] &（ワ）&　0　　　　　&（カ）&　1　　　　　&（ヨ）&　\frac {A}{1-AH} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

負帰還増幅回路に関する出題です。
出題頻度はそれほど多くありませんが，内容は単純な場合が多いので，できれば選択したい問題です。さらに二次試験の自動制御の伝達関数の考え方にも役立つ内容ですので，ぜひここで理解しておきましょう。

1.負帰還増幅回路の電圧増幅率
図3において，出力電圧\( \ v_{\mathrm {out}} \ \)を帰還回路で\( \ \beta \ \)倍したものを入力電圧\( \ v_{\mathrm {in}} \ \)から差し引き，さらにそれを増幅回路で\( \ A \ \)倍したものが出力電圧\( \ v_{\mathrm {out}} \ \)となるので，
\[
\begin{eqnarray}
\left( v_{\mathrm {in}}-\beta v_{\mathrm {out}} \right) A&=&v_{\mathrm {out}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。上式を整理すると，全体の増幅率\( \ \displaystyle \frac {v_{\mathrm {out}}}{v_{\mathrm {in}}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Av_{\mathrm {in}}-A\beta v_{\mathrm {out}} &=&v_{\mathrm {out}} \\[ 5pt ] v_{\mathrm {out}}+A\beta v_{\mathrm {out}} &=&Av_{\mathrm {in}} \\[ 5pt ] \left( 1+A\beta \right) v_{\mathrm {out}} &=&Av_{\mathrm {in}} \\[ 5pt ] \frac {v_{\mathrm {out}}}{v_{\mathrm {in}}}&=&\frac {A}{1+A\beta } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められます。さらに，\( \ A≫1 \ \)であるとすると，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {v_{\mathrm {out}}}{v_{\mathrm {in}}}&=&\frac {A}{1+A\beta } \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{\displaystyle \frac {1}{A}+\beta } \\[ 5pt ] &≃&\frac {1}{\beta } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

(1)解答：ル
図2の通り，増幅器においては\( \ v_{4} \ \)を\( \ A \ \)倍したものが出力\( \ v_{2} \ \)となるので，
\[
\begin{eqnarray}
v_{2}&=&Av_{4} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答：ヌ
図2の通り，\( \ v_{1} \ \)から\( \ v_{3} \ \)を引いたものが\( \ v_{4} \ \)となるので，
\[
\begin{eqnarray}
v_{4}&=&v_{1}-v_{3} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答：イ
(1)，(2)解答式及び\( \ v_{3}=Hv_{2} \ \)より，
\[
\begin{eqnarray}
v_{2}&=&Av_{4} \\[ 5pt ] &=&A\left( v_{1}-v_{3}\right) \\[ 5pt ] &=&A\left( v_{1}-Hv_{2}\right) \\[ 5pt ] &=&Av_{1}-AHv_{2} \\[ 5pt ] v_{2}+AHv_{2}&=&Av_{1} \\[ 5pt ] \left( 1+AH\right) v_{2}&=&Av_{1} \\[ 5pt ] v_{2}&=&\frac {A}{1+AH}\cdot v_{1} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：ハ
(3)解答式において，\( \ AH≫1 \ \)なので，
\[
\begin{eqnarray}
v_{2}&=&\frac {A}{1+AH}\cdot v_{1} \\[ 5pt ] &≒&\frac {A}{AH}\cdot v_{1} \\[ 5pt ] &≒&\frac {1}{H}\cdot v_{1} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答：ワ
(1)解答式より，
\[
\begin{eqnarray}
v_{4}&=&\frac {1}{A}v_{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから，\( \ A \ \)を大きくしていくと\( \ v_{4} \ \)は\( \ 0 \ \)に近づいていく。