《理論》〈電気回路〉[H30:問3]LC並列回路の過渡現象に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆(やや難しい)

次の文章は,回路の過渡現象に関する記述である。文中の\(\fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$}\)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。

図に示す,コンデンサ,抵抗,コイル,直流電圧源からなる回路を考える。時刻\( \ t<0 \ \)でスイッチ\( \ \mathrm {S} \ \)は開いており,各素子の電圧,電流は零とする。

\( t=0 \ \)でスイッチ\( \ \mathrm {S} \ \)を閉じると,\( \ t≧0 \ \)でコンデンサの電圧は,\( \ v_{\mathrm {C}}(t)=E\times \left( \fbox {  (1)  }\right) =E-v_{1}(t) \),コイルの電流は\(\displaystyle \ i_{2}(t)=\frac {E}{R}\times \left( \fbox {  (2)  }\right) \)となる。これらより,\( \ t≧0 \ \)で直流電圧源\( \ E \ \)を流れる電流は,
\[
\begin{eqnarray}
i(t)&=&i_{1}(t)+i_{2}(t)=\frac {v_{1}(t)}{R}+i_{2}(t)=\frac {E}{R}\times \left( \fbox {  (3)  }\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。特に\( \ \displaystyle \frac {1}{CR}=\frac {R}{L} \ \)のときは\(\fbox {  (3)  }\)は一定であり,\( \ t≧0 \ \)で,
\[
\begin{eqnarray}
i_{1}(t)+i_{2}(t)&=&\frac {E}{R}(一定値)  ・・・・・・・・・・・・・・・① \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] が成立する。

次に,\( \ \displaystyle \frac {1}{CR}=\frac {R}{L} \ \)のときに\( \ i_{1}(t)=i_{2}(t) \ \)となる時刻\( \ t \ \)を\( \ T (>0) \ \)で表すと,\(\displaystyle \ i_{1}(T)=\frac {E}{R}\times \fbox {  (4)  }\)及び①式より\(\displaystyle \ i_{1}(T)=i_{2}(T)=\frac {E}{2R} \ \)であるから,\(\displaystyle \fbox {  (4)  }=\frac {1}{2} \ \)となる。両辺の対数をとると,\(T=\fbox {  (5)  }\)が求められる。

〔問3の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&(イ)& 1-\mathrm {e}^{-\frac {1}{CR}t}   &(ロ)& 1+\mathrm {e}^{-\frac {1}{CR}t}   &(ハ)& 2-\mathrm {e}^{-\left( \frac {1}{CR}-\frac {R}{L}\right) t} \\[ 5pt ] &(ニ)& \mathrm {e}^{-\frac {1}{CR}T}   &(ホ)& 2-\mathrm {e}^{\left( \frac {1}{CR}-\frac {R}{L}\right) t}   &(ヘ)& 1+\mathrm {e}^{-\frac {R}{L}t} \\[ 5pt ] &(ト)& \mathrm {e}^{-\frac {1}{2CR}T}   &(チ)& \mathrm {e}^{-\frac {R}{L}t}-2    &(リ)& \ln CR \\[ 5pt ] &(ヌ)& 1-\mathrm {e}^{-\frac {R}{L}t}   &(ル)& 1+\mathrm {e}^{-\frac {1}{CR}t}-\mathrm {e}^{-\frac {R}{L}t}   &(ヲ)& CR \ln 2 \\[ 5pt ] &(ワ)& \mathrm {e}^{-\frac {1}{CR}t}-2   &(カ)& 2\ln CR   &(ヨ)& \mathrm {e}^{-\frac {2}{CR}T} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

電験二種ならではの過渡現象に関する問題です。最初はとっつきにくいですが,慣れてしまえばパターンが決まっているので,確実に得点源になります。本問の場合は抵抗とコンデンサの両方の導出を練習できますので,練習問題としては非常に良い問題と言えます。

1.過渡現象における\(RLC\)それぞれの電圧
線路に流れる電流を\(i\)とし,抵抗\(R\)の電圧\(V_{\mathrm{R}}\),リアクトル\(L\)の電圧\(V_{\mathrm{L}}\),リアクトル\(C\)の電圧\(V_{\mathrm{C}}\)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm{R}} &=& Ri \\[ 5pt ] V_{\mathrm{L}} &=& L\frac {di}{dt} \\[ 5pt ] V_{\mathrm{C}} &=& \frac {1}{C}\int i dt \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,電荷\(q\)との間に\(\displaystyle i=\frac {dq}{dt}\)の関係があるので,
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm{R}} &=& R\frac {dq}{dt} \\[ 5pt ] V_{\mathrm{L}} &=& L\frac {d^{2}q}{dt^{2}} \\[ 5pt ] V_{\mathrm{C}} &=& \frac {q}{C}
\end{eqnarray}
\] となります。

2.過渡現象における定常解と過渡解
ⅰ.定常解を\(i_{\mathrm {s}}\),過渡解を\(i_{\mathrm {t}}\)とすると,電流値\(i\)は\(i=i_{\mathrm {s}}+i_{\mathrm {t}}\)となります。
ⅱ.定常解は電流の時間変化のない状態すなわち\(\displaystyle \frac {di_{\mathrm {s}}}{dt}=0\)とした時の解です。
ⅲ.過渡解はスイッチを入れた直後の解すなわち\(L\)開放(\(E=0\)と同義)の時の解です。

3.自然対数の微分積分
①自然対数の微分
\[
\begin{eqnarray}
\frac {d}{dx} \left( \ln {x}\right) &=&\frac {1}{x} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] ②自然対数の積分
\[
\begin{eqnarray}
\int \frac {1}{x} dx &=&\ln {x} + C \left( Cは積分定数\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,
\[
\begin{eqnarray}
\ln {x}&=&-\alpha t +C \left( Cは積分定数\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となった場合,両辺とも対数を外すと,
\[
\begin{eqnarray}
x&=&A\mathrm {e}^{-\alpha t} \left( A=e^{C}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

(1)解答:イ
電源\( \ E \ \)とコンデンサ\( \ C \ \),抵抗\( \ R \ \)が作る閉回路の回路方程式は,\(t\)秒後にコンデンサに蓄えられる電荷を\(q_{1}(t)\)と置くと,
\[
\begin{eqnarray}
v_{1}(t) +v_{\mathrm {C}}(t) &=&E \\[ 5pt ] Ri_{1}(t) +\frac {1}{C}\int i_{1}(t) dt &=&E \\[ 5pt ] R\frac {dq_{1}}{dt} +\frac {q_{1}}{C} &=&E \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。

ワンポイント解説「2.過渡現象における定常解と過渡解」の通り,定常解を\(q_{\mathrm {1s}}\),過渡解を\(q_{\mathrm {1t}}\)と置くと,\(\displaystyle \frac {dq_{\mathrm {1s}}}{dt}=0\)であるから,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {q_{\mathrm {1s}}}{C} &=&E \\[ 5pt ] q_{\mathrm {1s}} &=&CE \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。一方,過渡解は\(E=0\)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
R\frac {dq_{\mathrm {1t}}}{dt} +\frac {q_{\mathrm {1t}}}{C} &=&0 \\[ 5pt ] R\frac {dq_{\mathrm {1t}}}{dt} &=&-\frac {q_{\mathrm {1t}}}{C} \\[ 5pt ] \frac {1}{q_{\mathrm {1t}}}dq_{\mathrm {1t}} &=&-\frac {1}{CR}dt \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,両辺積分をとると,
\[
\begin{eqnarray}
\int \frac {1}{q_{\mathrm {1t}}}dq_{\mathrm {1t}} &=&\int -\frac {1}{CR}dt \\[ 5pt ] \ln q_{\mathrm {1t}} &=& -\frac {1}{CR}t+C^{\prime }\left( C^{\prime }は積分定数\right) \\[ 5pt ] q_{\mathrm {1t}} &=& A\mathrm {e}^{-\frac {1}{CR}t}\left( Aは積分定数\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められるので,一般解は,
\[
\begin{eqnarray}
q_{1}(t) &=&q_{\mathrm {1s}}+q_{\mathrm {1t}} \\[ 5pt ] &=& CE+A\mathrm {e}^{-\frac {1}{CR}t} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。ここで,\(q_{1}(0)=0\)であるので,\(A=-CE\)となり,
\[
\begin{eqnarray}
q_{1}(t) &=& CE\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {1}{CR}t}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。したがって,コンデンサの電圧\( \ v_{\mathrm {C}}(t) \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
v_{\mathrm {C}}(t) &=& \frac {q_{1}(t)}{C} \\[ 5pt ] &=&E\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {1}{CR}t}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答:ヌ
電源\( \ E \ \)とコイル\( \ L \ \),抵抗\( \ R \ \)が作る閉回路の回路方程式は,\(t\)秒後にコイルに流れる電流を\(i_{2}(t)\)と置くと,
\[
\begin{eqnarray}
v_{2}(t) +L\frac {di_{2}}{dt} &=&E \\[ 5pt ] Ri_{2}(t) +L\frac {di_{2}}{dt} &=&E \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。

ワンポイント解説「2.過渡現象における定常解と過渡解」の通り,定常解を\(i_{\mathrm {2s}}\),過渡解を\(i_{\mathrm {2t}}\)と置くと,\(\displaystyle \frac {di_{\mathrm {2s}}}{dt}=0\)であるから,
\[
\begin{eqnarray}
Ri_{\mathrm {2s}} &=&E \\[ 5pt ] i_{\mathrm {2s}} &=&\frac {E}{R} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。一方,過渡解は\(E=0\)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
Ri_{\mathrm {2t}} +L\frac {di_{\mathrm {2t}}}{dt} &=&0 \\[ 5pt ] L\frac {di_{\mathrm {2t}}}{dt} &=&-Ri_{\mathrm {2t}} \\[ 5pt ] \frac {1}{i_{\mathrm {2t}}}di_{\mathrm {2t}} &=&-\frac {R}{L}dt \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,両辺積分をとると,
\[
\begin{eqnarray}
\int \frac {1}{i_{\mathrm {2t}}}di_{\mathrm {2t}} &=&\int -\frac {R}{L}dt \\[ 5pt ] \ln i_{\mathrm {2t}} &=& -\frac {R}{L}t+C^{\prime }\left( C^{\prime }は積分定数\right) \\[ 5pt ] i_{\mathrm {2t}} &=& A\mathrm {e}^{-\frac {R}{L}t}\left( Aは積分定数\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められるので,一般解は,
\[
\begin{eqnarray}
i_{2}(t) &=&i_{\mathrm {2s}}+i_{\mathrm {2t}} \\[ 5pt ] &=& \frac {E}{R}+A\mathrm {e}^{-\frac {R}{L}t} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。ここで,\(i_{2}(0)=0\)であるので,\(\displaystyle A=-\frac {E}{R}\)となり,
\[
\begin{eqnarray}
i_{2}(t) &=& \frac {E}{R}\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {R}{L}t}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答:ル
コンデンサ側の抵抗の電圧\(v_{1}(t)\)は,
\[
\begin{eqnarray}
v_{1}(t) &=& E-v_{\mathrm {C}}(t) \\[ 5pt ] &=& E-E\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {1}{CR}t}\right) \\[ 5pt ] &=& E\mathrm {e}^{-\frac {1}{CR}t} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから,直流電圧源に流れる電流\( \ i(t) \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
i(t) &=& i_{1}(t)+i_{2}(t) \\[ 5pt ] &=& \frac {v_{1}(t)}{R}+i_{2}(t) \\[ 5pt ] &=& \frac {E}{R}\mathrm {e}^{-\frac {1}{CR}t}+\frac {E}{R}\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {R}{L}t}\right) \\[ 5pt ] &=& \frac {E}{R}\left( 1+\mathrm {e}^{-\frac {1}{CR}t}-\mathrm {e}^{-\frac {R}{L}t}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答:ニ
(3)より,
\[
\begin{eqnarray}
i_{1}(T) &=& \frac {v_{1}(T)}{R} \\[ 5pt ] &=& \frac {E}{R}\mathrm {e}^{-\frac {1}{CR}T} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答:ヲ
題意より,
\[
\begin{eqnarray}
i_{1}(T) &=& \frac {E}{2R} \\[ 5pt ] \frac {E}{R}\mathrm {e}^{-\frac {1}{CR}T}&=& \frac {E}{2R} \\[ 5pt ] \mathrm {e}^{-\frac {1}{CR}T}&=& \frac {1}{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,両辺の対数を取ると,
\[
\begin{eqnarray}
-\frac {1}{CR}T&=& \ln \frac {1}{2} \\[ 5pt ] -\frac {1}{CR}T&=& -\ln 2 \\[ 5pt ] \frac {1}{CR}T&=& \ln 2 \\[ 5pt ] T&=& CR\ln 2 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。



記事下のシェアタイトル