《理論》〈電磁気〉[H23:問2]三相リアクトルに三相交流電源を接続した際の各相の電圧に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆(普通)

次の文章は,三相リアクトルに関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまるものを解答群の中から選びなさい。

図1のように,継鉄(横方向)部分の透磁率が無限大,脚(縦方向)部分の透磁率が\( \ \mu \ \),長さが\( \ l \ \),断面積が\( \ S \ \)である三相変圧器用三脚鉄心に,\( \ \mathrm {U} \ \),\( \ \mathrm {V} \ \),\( \ \mathrm {W} \ \)の三相巻線が施されている。巻数はすべて\( \ N \ \)回である。\( \ \mathrm {U} \ \)相巻線のみに電流\( \ I \ \)を流したとき,\( \ \mathrm {U} \ \),\( \ \mathrm {V} \ \),\( \ \mathrm {W} \ \)相鉄心に生じる磁界の強さをそれぞれ\( \ H_{1} \ \),\( \ H_{2} \ \),\( \ H_{3} \ \)とする。継鉄部分の磁界の強さは\( \ \fbox {  (1)  } \ \)と見なせる。\( \ \mathrm {U} \ \)相巻線と鎖交する磁束は\( \ 2 \ \)分され,それぞれが\( \ \mathrm {V} \ \),\( \ \mathrm {W} \ \)相巻線と逆方向に鎖交して戻ると考えられるので,\( \ H_{2} = H_{3} \ \)である。したがって,図1の破線で示した積分路について,アンペールの周回積分の法則を適用すると,
\[
\begin{eqnarray}
&& \ \fbox {  (2)  } \       ・・・・・・・・・・・・・・・ ① \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] が与えられる。\( \ \mathrm {U} \ \)相鉄心に生じる磁束密度を\( \ B_{1} \ \),\( \ \mathrm {V} \ \),\( \ \mathrm {W} \ \)相鉄心に生じる磁束密度を\( \ B_{2} \ \)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
B_{1}&=& \mu H_{1} \\[ 5pt ] B_{2}&=& \mu H_{2} \\[ 5pt ] B_{1}&=&2B_{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係が成り立つ。これらの関係から①式を\( \ B_{1} \ \)について解くと,
\[
\begin{eqnarray}
B_{1}&=& \ \fbox {  (3)  } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] が得られる。\( \ \mathrm {U} \ \)相鉄心の磁束は,\( \ \phi _{1}=B_{1}S \ \),\( \ \mathrm {U} \ \)相巻線との総鎖交磁束は\( \ \mathit {\Phi }_{1}=N\phi _{1} \ \)であるから,この巻線の自己インダクタンス\( \ L \ \)は
\[
\begin{eqnarray}
L&=& \ \fbox {  (4)  } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] である。

また,同様に\( \ 2 \ \)巻線間の相互インダクタンス\( \ M \ \)は
\[
\begin{eqnarray}
M&=&\frac {1}{2}L       ・・・・・・・・・・・・・・・ ② \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] である。

図2のように,このリアクトルを\( \ \mathrm {Y} \ \)結線とし,対称三相交流電源に接続した場合,各相の電圧をそれぞれ\( \ {\dot V}_{\mathrm {U}} \ \),\( \ {\dot V}_{\mathrm {V}} \ \),\( \ {\dot V}_{\mathrm {W}} \ \),各相の電流をそれぞれ\( \ {\dot I}_{\mathrm {U}} \ \),\( \ {\dot I}_{\mathrm {V}} \ \),\( \ {\dot I}_{\mathrm {W}} \ \)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
\begin{bmatrix}
{\dot V}_{\mathrm {U}} \\
{\dot V}_{\mathrm {V}} \\
{\dot V}_{\mathrm {W}}
\end{bmatrix}
&=&\mathrm {j}\omega
\begin{bmatrix}
L & M & M \\
M & L & M \\
M & M & L
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
{\dot I}_{\mathrm {U}} \\
{\dot I}_{\mathrm {V}} \\
{\dot I}_{\mathrm {W}}
\end{bmatrix} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係が成り立つ。ただし,巻線の抵抗は無視できるものとする。\( \ {\dot V}_{\mathrm {U}} \ \)についての関係式は,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {U}}&=&\mathrm {j}\omega \left( L{\dot I}_{\mathrm {U}}+M{\dot I}_{\mathrm {V}}+M{\dot I}_{\mathrm {W}}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり,②式より,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {U}}&=&\mathrm {j}\omega L\left( {\dot I}_{\mathrm {U}}+\frac {1}{2}{\dot I}_{\mathrm {V}}+\frac {1}{2}{\dot I}_{\mathrm {W}}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と変形できる。相間の位相差が\( \ \displaystyle \frac {2\pi }{3} \ \)であることに注意してベクトル合成すると,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {U}}&=& \ \fbox {  (5)  } \ \mathrm {j}\omega L{\dot I}_{\mathrm {U}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。

〔問2の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&(イ)& H_{1}l+H_{2}l=N^{2}I    &(ロ)& \frac {3\mu NI}{2l}    &(ハ)& \frac {2\mu NS}{3l} \\[ 5pt ] &(ニ)& H_{1}    &(ホ)& \frac {2\mu N^{2}S}{3l}    &(ヘ)& \infty \\[ 5pt ] &(ト)& \frac {1}{\sqrt{3}}    &(チ)& H_{1}l+H_{2}l=NI    &(リ)& \frac {\mu N^{2}S}{l} \\[ 5pt ] &(ヌ)& \frac {2\mu NI}{3l}    &(ル)& \frac {1}{\sqrt{2}}    &(ヲ)& 0 \\[ 5pt ] &(ワ)& \frac {\mu NI}{l}    &(カ)& \frac {1}{2}   &(ヨ)& H_{1}l=NI \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

三相リアクトルに関する問題で,問題文が長く受験生を混乱させるような内容となっていますが,しっかりと基本公式を理解していれば解ける問題です。
試験本番でも見た目に騙されない様,あまり焦らず落ち着いて解くようにしましょう。

1.アンペールの周回積分の法則
図3の示すような,電流\( \ I \ \)が流れている環状ソレノイドの中心に発生する磁界の大きさ\( \ H \ \)には,アンペールの周回積分の法則が適用され,
\[
\begin{eqnarray}
NI&=&\int H \mathrm {d}l \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] が成立します。ソレノイド中心部の磁界が等しいとすれば,
\[
\begin{eqnarray}
NI&=&Hl \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.磁束密度\( \ B \ \)と磁界の強さ\( \ H \ \)の関係
透磁率が\( \ \mu \ \)の時,磁束密度\( \ B \ \)と磁界の大きさ\( \ H \ \)の関係は,
\[
\begin{eqnarray}
B&=&\mu H \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

3.ファラデーの電磁誘導の法則と自己インダクタンス\( \ L \ \)
図4において,巻数\( \ N \ \)のコイルを貫通する磁束\( \ \phi \ \)があるとき,ファラデーの電磁誘導の法則より,コイルに発生する誘導起電力\( \ e \ \)は,磁束の時間変化に比例し,
\[
\begin{eqnarray}
e&=&−N\frac {\mathrm {d}\phi }{\mathrm {d}t} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められます。これをファラデーの電磁誘導の法則といいます。このとき,電流変化によりコイル内の磁束が変化したと考えれば,
\[
\begin{eqnarray}
e&=&−L\frac {\mathrm {d}I }{\mathrm {d}t} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] という関係も成り立ち,\( \ L \ \)を自己インダクタンスと言います。これらの関係から,
\[
\begin{eqnarray}
−N\frac {\mathrm {d}\phi }{\mathrm {d}t}&=&−L\frac {\mathrm {d}I }{\mathrm {d}t} \\[ 5pt ] N\phi &=&LI \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があります。

【解答】

(1)解答:ヲ
ワンポイント解説「2.磁束密度\( \ B \ \)と磁界の強さ\( \ H \ \)の関係」より,透磁率が\( \ \mu \ \)の時,磁界の大きさ\( \ H \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
H&=&\frac {B}{\mu } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり,継鉄部分の透磁率\( \ \mu \ \)が無限大であることから,
\[
\begin{eqnarray}
H&≒&0 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となることがわかる。

(2)解答:チ
アンペールの周回積分の法則を図1に適用すると,
\[
\begin{eqnarray}
NI&=&\int H \mathrm {d}l \\[ 5pt ] &=& H_{1}l+H_{2}l \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。 

(3)解答:ヌ
(2)の解答式に,\( \ \displaystyle H_{1}=\frac {B_{1}}{\mu } \ \),\( \ \displaystyle H_{2}=\frac {B_{2}}{\mu }=\frac {B_{1}}{2\mu } \ \)を代入して整理すると,
\[
\begin{eqnarray}
NI&=& \frac {B_{1}}{\mu }\cdot l+\frac {B_{1}}{2\mu }\cdot l \\[ 5pt ] &=& \frac {3B_{1}l}{2\mu } \\[ 5pt ] B_{1}&=& \frac {2\mu NI}{3l} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答:ホ
題意より,\( \ \mathrm {U} \ \)相巻線との総鎖交磁束は,
\[
\begin{eqnarray}
\mathit {\Phi }_{1}&=&N\phi _{1} \\[ 5pt ] &=&NB_{1}S \\[ 5pt ] &=& \frac {2\mu N^{2}IS}{3l}\\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので,ワンポイント解説「3.ファラデーの電磁誘導の法則と自己インダクタンス\( \ L \ \)」の通り,自己インダクタンス\( \ L \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
LI&=&N\phi _{1} \\[ 5pt ] &=&\frac {2\mu N^{2}IS}{3l} \\[ 5pt ] L&=& \frac {2\mu N^{2}S}{3l}\\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答:カ
\( \ \mathrm {U} \ \)相電圧\( \ {\dot V}_{\mathrm {U}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {U}}&=&\mathrm {j}\omega L\left( {\dot I}_{\mathrm {U}}+\frac {1}{2}{\dot I}_{\mathrm {V}}+\frac {1}{2}{\dot I}_{\mathrm {W}}\right) \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{2}\mathrm {j}\omega L\left( 2{\dot I}_{\mathrm {U}}+{\dot I}_{\mathrm {V}}+{\dot I}_{\mathrm {W}}\right) \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{2}\mathrm {j}\omega L\left\{ {\dot I}_{\mathrm {U}}+\left( {\dot I}_{\mathrm {U}}+{\dot I}_{\mathrm {V}}+{\dot I}_{\mathrm {W}}\right) \right\} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と整理され,対称三相交流電源においては,\( \ {\dot I}_{\mathrm {U}}+{\dot I}_{\mathrm {V}}+{\dot I}_{\mathrm {W}}=0 \ \)であるから,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {U}}&=&\frac {1}{2}\mathrm {j}\omega L{\dot I}_{\mathrm {U}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。



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