《理論》〈電磁気〉[H24:問1]磁気回路のオームの法則に関する計算問題

Contents

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★★★★☆（やや難しい）

次の文章は，磁気回路に関する記述である。文中の$ \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ $に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選びなさい。

図に示すように，断面が$ \ 1 \ $辺$ \ 20 \ \mathrm {[mm]} \ $の正方形で，内半径が$ \ 100 \ \mathrm {[mm]} \ $，外半径が$ \ 120 \ \mathrm {[mm]} \ $の環状鉄心があり，中心に$ \ 1 \ \mathrm {[kA]} \ $の電流が流れているとする。真空の透磁率を$ \ \mu _{0}=4\pi \times 10^{-7} \ \mathrm {[H/m]} \ $，鉄の比透磁率を$ \ 800 \ $とするとき，環状鉄心中の磁束を求める。

環状鉄心の磁路長として，半径$ \ 110 \ \mathrm {[mm]} \ $の位置の円周の長さを考えると，環状鉄心の磁気抵抗$ \ R_{\mathrm {m}} \ $は$ \ \fbox {　（１）　} \ \mathrm {[A/Wb]} \ $である。よって，環状鉄心中の磁束$ \ \mathit {\Phi } \ $は$ \ \fbox {　（２）　} \ \mathrm {[Wb]} \ $と求まる。このとき，環状鉄心中の磁束密度$ \ B \ $は$ \ \fbox {　（３）　} \ \mathrm {[T]} \ $である。

一方，アンペールの周回積分の法則を用いると，半径$ \ r \ $の位置の磁界の大きさ$ \ H \ $は電流を$ \ I \ $として，次式で与えられる。
\[
\begin{eqnarray}
H&=&\fbox {　（４）　} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] これを用いて環状鉄心中の磁束$ \ \mathit {\Phi } \ $を，半径$ \ 100 \ \mathrm {[mm]} \ $から$ \ 120 \ \mathrm {[mm]} \ $の位置の磁束密度の積分値として求めると，次式となる。
\[
\begin{eqnarray}
\mathit {\Phi }&=&\fbox {　（５）　}\times \ln 1.2 \ \mathrm {[Wb]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

〔問1の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　4.63\times 10^{2}　　　&（ロ）&　2.33\times 10^{-7}　　　&（ハ）&　\frac {I}{2\pi r} \\[ 5pt ] &（ニ）&　1.72\times 10^{9}　　　&（ホ）&　3.18　　　&（ヘ）&　3.20\times 10^{-3} \\[ 5pt ] &（ト）&　1.82\times 10^{-3}　　&（チ）&　2.16　　　　&（リ）&　5.82\times 10^{-4} \\[ 5pt ] &（ヌ）&　\frac {\mu _{0}I}{2\pi r}　　　&（ル）&　1.72\times 10^{6}　　　&（ヲ）&　1.60\times 10^{-1} \\[ 5pt ] &（ワ）&　1.45　　　&（カ）&　1.10\times 10^{12}　　　&（ヨ）&　2\pi r \mu _{0}I \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

磁気回路に関する問題です。２種は磁気回路の問題が比較的出題されやすく，解き方もパターン化されているものが多いので，きちんと理解していれば十分に得点源となる分野です。

1.アンペールの周回積分の法則
図1のように無限長直線電流$ \ I_{\mathrm {y}} \ $が流れているとき，電線から距離$ \ r \ $の位置での磁界の強さ$ \ H \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
H&=&\frac {I_{\mathrm {y}}}{2\pi r} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.磁気回路のオームの法則
中心長さ$ \ l \ $の環状鉄心に巻き数$ \ N \ $のコイルが巻かれ，そこに電流$ \ I \ $が流れている時，鉄心内の磁界の強さ$ \ H \ $は，アンペールの周回積分の法則より，
\[
\begin{eqnarray}
NI&=&Hl \\[ 5pt ] H&=&\frac {NI}{l} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから，鉄心内の磁束密度$ \ B \ $は，鉄心内の透磁率$ \ \mu \ $とすると，
\[
\begin{eqnarray}
B&=&\mu H \\[ 5pt ] &=&\frac {\mu NI}{l} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。鉄心内の磁束$ \ \phi \ $は，鉄心の断面積$ \ S \ $とすると，
\[
\begin{eqnarray}
\phi &=&BS \\[ 5pt ] &=&\frac {\mu NIS}{l} \\[ 5pt ] &=&\frac {NI}{\displaystyle \frac {l}{\mu S}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，起磁力$ \ F=NI \ $，磁気抵抗$ \ R_{\mathrm {m}}=\displaystyle \frac {l}{\mu S} \ $とすると，
\[
\begin{eqnarray}
\phi &=&\frac {F}{R_{\mathrm {m}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，磁気回路のオームの法則が成立します。

【解答】

(1)解答：ル
環状鉄心の平均磁路長$ \ l \ $は，$ \ 110 \ \mathrm {[mm]} \ $の位置の円周の長さであるから，
\[
\begin{eqnarray}
l &=&2\pi r \\[ 5pt ] &=&2\pi \times 110\times 10^{-3} \\[ 5pt ] &≒&0.69115 \ \mathrm {[m]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。ワンポイント解説「2.磁気回路のオームの法則」の通り，磁気抵抗$ \ R_{\mathrm {m}} \ $は，$ \ \mu =\mu _{\mathrm {s}}\mu _{0} \ $であることに注意すると，
\[
\begin{eqnarray}
R_{\mathrm {m}} &=&\frac {l}{\mu _{\mathrm {s}}\mu _{0} S} \\[ 5pt ] &=&\frac {0.69115}{800\times 4\pi \times 10^{-7}\times 20\times 10^{-3}\times 20\times 10^{-3}} \\[ 5pt ] &≒&1718750　→　1.72\times 10^{6} \ \mathrm {[A/Wb]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答：リ
ワンポイント解説「2.磁気回路のオームの法則」より，環状鉄心中の磁束$ \ \mathit {\Phi } \ $は，巻数は$ \ 1 \ $であるので，
\[
\begin{eqnarray}
\mathit {\Phi } &=&\frac {I}{R_{\mathrm {m}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {1\times 10^{3}}{1718750} \\[ 5pt ] &≒&5.8182\times 10^{-4}　→　5.82\times 10^{-4} \ \mathrm {[Wb]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答：ワ
鉄心の磁束密度$ \ B \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
B &=&\frac {\mathit {\Phi }}{S} \\[ 5pt ] &=&\frac {5.8182\times 10^{-4}}{20\times 10^{-3}\times 20\times 10^{-3}} \\[ 5pt ] &≒&1.4546　→　1.45 \ \mathrm {[T]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：ハ
ワンポイント解説「1.アンペールの周回積分の法則」の通り，半径$ \ r \ $の位置の磁界の大きさ$ \ H \ $は
\[
\begin{eqnarray}
H&=&\frac {I}{2\pi r} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答：ヘ
$ \ B=\mu _{\mathrm {s}}\mu _{0}H \ $であるから，
\[
\begin{eqnarray}
B&=&\frac {\mu _{\mathrm {s}}\mu _{0}I}{2\pi r} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，鉄心中微小区間$ \ \mathrm {d}S \ $の磁束$ \ \mathrm {d}\mathit {\Phi } \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {d}\mathit {\Phi }&=&B\mathrm {d}S \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，鉄心の一辺の長さを$ \ a=20\times 10^{-3} \ \mathrm {[m]} \ $と置くと，$ \ \mathrm {d}S=a\mathrm {d}r \ $となるので，
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {d}\mathit {\Phi }&=&Ba\mathrm {d}r \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，両辺を積分すると，
\[
\begin{eqnarray}
\mathit {\Phi }&=&\int _{100\times 10^{-3}}^{120\times 10^{-3}}Ba\mathrm {d}r \\[ 5pt ] &=&\int _{100\times 10^{-3}}^{120\times 10^{-3}}\frac {\mu _{\mathrm {s}}\mu _{0}I}{2\pi r}a\mathrm {d}r \\[ 5pt ] &=&\frac {\mu _{\mathrm {s}}\mu _{0}Ia}{2\pi}\int _{100\times 10^{-3}}^{120\times 10^{-3}}\frac {1}{r}\mathrm {d}r \\[ 5pt ] &=&\frac {\mu _{\mathrm {s}}\mu _{0}Ia}{2\pi}\left[ \ln r\right] _{100\times 10^{-3}}^{120\times 10^{-3}} \\[ 5pt ] &=&\frac {800\times 4\pi \times 10^{-7}\times 1\times 10^{3} \times 20\times 10^{-3}}{2\pi}\times \ln \frac {120\times 10^{-3}}{100\times 10^{-3}} \\[ 5pt ] &=&3.2\times 10^{-3}\times \ln 1.2 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。