【問題】
【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）
次の文章は，減算回路に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。ただし，演算増幅器は理想的であるとし，各抵抗の抵抗値は図に示す変数で表されるとする。
図に示す減算回路の出力電圧\( \ V_{\mathrm {out}} \ \)を重ねの理を用いて求める。まず，\( \ V_{2}=0 \ \)とし，\( \ V_{1} \ \)のみが加えられた場合を考える。このときの出力電圧を\( \ V_{\mathrm {out}}^{\prime } \ \)とする。\( \ V_{2}=0 \ \)であるから\( \ V_{+}=0 \ \)となり，非反転入力端子は接地とみなせる。このとき回路は反転増幅回路として動作するから，\( \ V_{\mathrm {out}}^{\prime }= \ \fbox { （１） } \ \)となる。
次に，\( \ V_{1}=0 \ \)とした場合を考える。このときの出力電圧を\( \ V_{\mathrm {out}}^{\prime \prime } \ \)とする。この回路は，\( \ V_{2} \ \)を\( \ R_{3} \ \)と\( \ R_{4} \ \)で分圧した電圧を非反転増幅回路に入力しているとみなせる。よって\( \ V_{\mathrm {out}}^{\prime \prime }= \ \fbox { （２） } \ \)となる。重ねの理より，回路に\( \ V_{1} \ \)と\( \ V_{2} \ \)がともに加えられたときの\( \ V_{\mathrm {out}} \ \)は\( \ V_{\mathrm {out}}= \ \fbox { （３） } \ \)となる。
\( \ V_{1}=V_{2} \ \)が入力されたときに\( \ V_{\mathrm {out}}= 0 \ \)となるためには，各抵抗が\( \ \fbox { （４） } \ \)を満たせばよい。\( \ \fbox { （４） } \ \)を満たすとき，出力電圧\( \ V_{\mathrm {out}} \ \)を\( \ R_{3} \ \)と\( \ R_{4} \ \)を用いずに表すと，\( \ V_{\mathrm {out}}= \ \fbox { （５） } \ \)となる。
〔問6の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）& -\frac {R_{2}}{R_{1}}\frac {R_{4}}{R_{3}+R_{4}}V_{2} &（ロ）& \frac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}}V_{1} \\[ 5pt ]
&（ハ）& -\frac {R_{1}}{R_{2}}\left( V_{1}-V_{2}\right) &（ニ）& -\frac {R_{2}}{R_{1}}V_{1} \\[ 5pt ]
&（ホ）& \frac {R_{1}+R_{2}}{R_{2}}\frac {R_{4}}{R_{3}+R_{4}}=1 &（ヘ）& -\frac {R_{1}}{R_{2}}V_{1} \\[ 5pt ]
&（ト）& \frac {R_{2}}{R_{1}}=\frac {R_{3}}{R_{4}} &（チ）& R_{1}R_{2}=R_{3}R_{4} \\[ 5pt ]
&（リ）& -\frac {R_{2}}{R_{1}}\left( V_{1}-V_{2}\right) &（ヌ）& -\frac {R_{2}}{R_{1}}\left( V_{1}-\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{2}}\frac {R_{4}}{R_{3}+R_{4}}V_{2}\right) \\[ 5pt ]
&（ル）& -\frac {R_{2}}{R_{1}}\left( V_{1}-\frac {R_{4}}{R_{3}+R_{4}}V_{2}\right) &（ヲ）& \frac {R_{2}}{R_{1}}\left( V_{1}-V_{2}\right) \\[ 5pt ]
&（ワ）& -\frac {R_{2}}{R_{1}}\left( V_{1}-\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\frac {R_{3}+R_{4}}{R_{3}}V_{2}\right) &（カ）& \frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\frac {R_{3}+R_{4}}{R_{3}}V_{2} \\[ 5pt ]
&（ヨ）& \frac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}}\frac {R_{4}}{R_{3}+R_{4}}V_{2} && \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【ワンポイント解説】
演算増幅器を用いた減算回路に関する問題です。
(4)のゴールの解答が見極めにくいため少し迷うかもしれませんが，演算増幅器の特徴を理解していればあとは回路演算で解ける問題です。
ぜひ完答を目指したい問題となります。
1.理想的な演算増幅器の特徴
１．電圧増幅率が無限大である。したがって，無限大でない有限数が出力される時，入力端子間の電圧は\( \ 0 \ \mathrm {V} \ \)（バーチャルショート）となる。
２．入力インピーダンスが無限大である。したがって入力端子に電流は流れない。
３．出力インピーダンスがゼロである。
【解答】
(1)解答：ニ
演算増幅器の入力端子間の電圧は\( \ 0 \ \mathrm {V} \ \)なので，図2に示す通り反転入力端子の電圧\( \ V_{-}=0 \ \)となるから，\( \ R_{1} \ \)を流れる電流\( \ I^{\prime } \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I^{\prime } &=& \frac {V_{1}-V_{-}}{R_{1}} \\[ 5pt ]
&=& \frac {V_{1}-0}{R_{1}} \\[ 5pt ]
&=& \frac {V_{1}}{R_{1}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，演算増幅器の入力端子に電流は流れないので\( \ I^{\prime } \ \)はすべて\( \ R_{2} \ \)に流れるから，出力電圧\( \ V_{\mathrm {out}}^{\prime } \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {out}}^{\prime } &=& V_{-}-R_{2}I^{\prime } \\[ 5pt ]
&=& 0-R_{2}\frac {V_{1}}{R_{1}} \\[ 5pt ]
&=& -\frac {R_{2}}{R_{1}}V_{1} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(2)解答：ヨ
各部の電圧電流を図3のようにおく。
図3の\( \ R_{3} \ \)と\( \ R_{4} \ \)に分圧の法則を適用すると、\( \ V_{+} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
V_{+}&=& \frac {R_{4}}{R_{3}+R_{4}}V_{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，反転入力端子の電圧も\( \ \displaystyle V_{-}=\frac {R_{4}}{R_{3}+R_{4}}V_{2} \ \)となるから，\( \ R_{1} \ \)を流れる電流\( \ I^{\prime \prime } \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I^{\prime \prime }&=& \frac {V_{-}-V_{1}}{R_{1}} \\[ 5pt ]
&=& \frac {\displaystyle \frac {R_{4}}{R_{3}+R_{4}}V_{2}-0}{R_{1}} \\[ 5pt ]
&=& \frac {R_{4}}{R_{1}\left( R_{3}+R_{4}\right) }V_{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。演算増幅器の入力端子に電流は流れないので\( \ I^{\prime \prime } \ \)はすべて\( \ R_{2} \ \)から流れてくるから，出力電圧\( \ V_{\mathrm {out}}^{\prime \prime } \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {out}}^{\prime \prime } &=& V_{-}+R_{2}I^{\prime \prime } \\[ 5pt ]
&=& \frac {R_{4}}{R_{3}+R_{4}}V_{2}+R_{2}\frac {R_{4}}{R_{1}\left( R_{3}+R_{4}\right) }V_{2} \\[ 5pt ]
&=& \frac {R_{1}R_{4}}{R_{1}\left( R_{3}+R_{4}\right) }V_{2}+\frac {R_{2}R_{4}}{R_{1}\left( R_{3}+R_{4}\right) }V_{2} \\[ 5pt ]
&=& \left( R_{1}+R_{2}\right) \frac {R_{4}}{R_{1}\left( R_{3}+R_{4}\right) }V_{2} \\[ 5pt ]
&=& \frac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}}\frac {R_{4}}{R_{3}+R_{4}}V_{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(3)解答：ヌ
(1)(2)解答式より，回路に\( \ V_{1} \ \)と\( \ V_{2} \ \)がともに加えられたときの\( \ V_{\mathrm {out}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {out}} &=& V_{\mathrm {out}}^{\prime }+V_{\mathrm {out}}^{\prime \prime } \\[ 5pt ]
&=& -\frac {R_{2}}{R_{1}}V_{1}+\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}}\frac {R_{4}}{R_{3}+R_{4}}V_{2} \\[ 5pt ]
&=& -\frac {R_{2}}{R_{1}}\left( V_{1}-\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{2}}\frac {R_{4}}{R_{3}+R_{4}}V_{2}\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(4)解答：ホ
(3)解答式より，\( \ V_{1}=V_{2} \ \)が入力されたときに\( \ V_{\mathrm {out}}= 0 \ \)となる条件は，
\[
\begin{eqnarray}
0 &=& -\frac {R_{2}}{R_{1}}\left( V_{1}-\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{2}}\frac {R_{4}}{R_{3}+R_{4}}V_{1}\right) \\[ 5pt ]
&=& V_{1}-\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{2}}\frac {R_{4}}{R_{3}+R_{4}}V_{1} \\[ 5pt ]
&=& 1-\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{2}}\frac {R_{4}}{R_{3}+R_{4}} \\[ 5pt ]
\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{2}}\frac {R_{4}}{R_{3}+R_{4}}&=& 1 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(5)解答：リ
(4)解答式を(3)解答式に代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {out}} &=& -\frac {R_{2}}{R_{1}}\left( V_{1}-\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{2}}\frac {R_{4}}{R_{3}+R_{4}}V_{2}\right) \\[ 5pt ]
&=& -\frac {R_{2}}{R_{1}}\left( V_{1}-V_{2}\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
【令和８年度版２種一次試験】
