【問題】
【難易度】★★★☆☆（普通）
次の文章は，半導体\( \ \mathrm {pn} \ \)接合で形成されるダイオードに関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。なお，電子及び正孔の電荷の絶対値を\( \ e \ \)とし，半導体の誘電率は一様に\( \ \varepsilon \ \)とする。
\( \ \mathrm {n} \ \)層と\( \ \mathrm {p} \ \)層とを接合させ，図のように電圧源\( \ V \ \)を接続した。電子及び正孔の拡散と再結合により，接合部には，電子も正孔もほとんど存在しない\( \ \fbox { （１） } \ \)と呼ばれる領域が生じる。図のように，\( \ x \ \)軸を定め，\( \ \fbox { （１） } \ \)領域全体の幅を\( \ W \ \)とし，\( \ \mathrm {n} \ \)層側の\( \ \fbox { （１） } \ \)領域の幅を\( \ W_{\mathrm {n}} \ \)とする。まず電圧\( \ V=0 \ \)とし，\( \ \mathrm {n} \ \)層側の領域\( \ \left( 0≦x≦W_{\mathrm {n}} \right) \ \)について考える。この領域では電子がなくなっているため，電子を供出した不純物であるドナーが陽イオンとなり，電界\( \ E \ \)が生じる。\( \ \mathrm {n} \ \)層の不純物濃度が一様に\( \ N_{\mathrm {D}} \ \)であると仮定すると，ガウスの法則から，\( \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}E}{\mathrm {d}x}= \ \fbox { （２） } \ \)が成り立つ。その結果，\( \ E \ \)は\( \ x \ \)の\( \ \fbox { （３） } \ \)次関数として表される。
同様に\( \ \mathrm {p} \ \)層側\( \ \left( W_{\mathrm {n}} \lt x ≦W \right) \ \)でも，正孔がなくなることにより電界が生じる。これらの電界により，\( \ \fbox { （１） } \ \)の両端には電位差が生じる。この電位差は電子及び正孔の流れを妨げる障壁としてはたらき，これを拡散電位と呼んでいる。拡散電位により，\( \ \mathrm {p} \ \)層側の領域\( \ \left( W \lt x \right) \ \)の電位は，\( \ \mathrm {n} \ \)層側の領域\( \ \left( x \lt 0 \right) \ \)の電位に対して\( \ \fbox { （４） } \ \)なる。
電圧\( \ V \ \)を正にすると，拡散電位は低くなり，拡散電位の障壁を超える運動エネルギーを持った電子及び正孔による電流が流れる。半導体中の電子や正孔の濃度が運動エネルギーに対してボルツマン分布を持つと近似できる場合には，電流は\( \ V \ \)の増加に対して\( \ \fbox { （５） } \ \)関数的に増加する。
〔問7の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）& 一 &（ロ）& 二 &（ハ）& 三 \\[ 5pt ]
&（ニ）& 高く &（ホ）& 対数 &（ヘ）& \frac {eN_{\mathrm {D}}}{\varepsilon } \\[ 5pt ]
&（ト）& 蓄積層 &（チ）& e\varepsilon N_{\mathrm {D}} &（リ）& 指数 \\[ 5pt ]
&（ヌ）& 三角 &（ル）& 空乏層 &（ヲ）& 反転層 \\[ 5pt ]
&（ワ）& 等しく &（カ）& \frac {N_{\mathrm {D}}}{e\varepsilon } &（ヨ）& 低く \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【ワンポイント解説】
\( \ \mathrm {pn} \ \)接合で形成されるダイオードの特性に関する問題です。
\( \ 3 \ \)種で学習した\( \ \mathrm {pn} \ \)接合の内容を少し深堀りした内容となっています。平成22年問7に類題が出題されているので，合わせて学習しておくと良いでしょう。
1.\( \ \mathrm {pn} \ \)接合ダイオードにおける電荷の分布
図1のように\( \ \mathrm {p} \ \)形半導体と\( \ \mathrm {n} \ \)形半導体で\( \ \mathrm {pn} \ \)接合すると，\( \ \mathrm {p} \ \)形半導体の正孔が\( \ \mathrm {n} \ \)形半導体に移動し，\( \ \mathrm {n} \ \)形半導体中の電子と再結合し消滅します。すると，\( \ \mathrm {n} \ \)形半導体中に正の電荷を持つ不純物がドーピングされることになります。
同様に\( \ \mathrm {n} \ \)形半導体の自由電子が\( \ \mathrm {p} \ \)形半導体に移動し，\( \ \mathrm {p} \ \)形半導体中の正孔と再結合し消滅します。すると，\( \ \mathrm {p} \ \)形半導体中に負の電荷を持つ不純物がドーピングされることになります。
したがって，これを繰り返すと図1の下のように\( \ \mathrm {n} \ \)形半導体が\( \ + \ \)で\( \ \mathrm {p} \ \)形半導体が\( \ – \ \)となる空乏層ができ，その間には電界が発生することになります。
2.\( \ \mathrm {pn} \ \)接合における順方向の電圧と電流の特性
\( \ \mathrm {pn} \ \)接合における電圧と電流の特性は図2のようになり，一般に順方向の電圧\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)と電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)の間には，
\[
\begin{eqnarray}
I &=&I_{\mathrm {s}}\left( \mathrm {e}^{\frac {eV}{kT}}-1\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる関係があり，これをボルツマン分布近似といいます。ただし，\( \ I_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[A]} \ \)は逆方向飽和電流，\( \ k \ \mathrm {[J / K]} \ \)はボルツマン定数，\( \ T \ \mathrm {[K]} \ \)は絶対温度，\( \ e=1.602\times 10^{-19} \ \mathrm {[C]} \ \)は電子の電荷です。
3.ポアソン方程式（参考）
電磁気における性質を表すマクスウェルの方程式として，
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {div} \boldsymbol D &=&\rho &⇔& \nabla \cdot \boldsymbol D &=&\rho \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
があり，これを変形していくと，\( \ \boldsymbol D=\varepsilon _{0}\boldsymbol E \ \)から，
\[
\begin{eqnarray}
\nabla \cdot \boldsymbol E &=&\frac {\rho }{\varepsilon _{0}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。ここで，電界\( \ E \ \)は電位\( \ V \ \)の傾きであり，
\[
\begin{eqnarray}
\boldsymbol E &=& -\mathrm {grad} \ V \\[ 5pt ]
&=& -\nabla V \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の関係があるので，
\[
\begin{eqnarray}
-\nabla ^{2} V &=&\frac {\rho }{\varepsilon _{0}} \\[ 5pt ]
\nabla ^{2} V &=&-\frac {\rho }{\varepsilon _{0}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，これをポアソン方程式といいます。もし，空間の電荷が零であれば\( \ \rho =0 \ \)であるため，
\[
\begin{eqnarray}
\nabla ^{2} V &=&0 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，これをラプラス方程式といいます。
\( \ \nabla \ \)は数学で\( \ \displaystyle \nabla =\frac { \partial }{ \partial x }\boldsymbol i+\frac { \partial }{ \partial y }\boldsymbol j+\frac { \partial }{ \partial z }\boldsymbol k \ \)で定義される演算子です。
（\( \ \boldsymbol i \ \)，\( \ \boldsymbol j \ \)，\( \ \boldsymbol k \ \)は\( \ x \ \)軸，\( \ y \ \)軸，\( \ z \ \)軸の単位ベクトルです）
【解答】
(1)解答：ル
題意より，解答候補は（ト）蓄積層，（ル）空乏層，（ヲ）反転層，になると思います。
ワンポイント解説「1.\( \ \mathrm {pn} \ \)接合ダイオードにおける電荷の分布」の通り，\( \ \mathrm {pn} \ \)接合部には，電子も正孔もほとんど存在しない空乏層ができます。
(2)解答：ヘ
題意より，解答候補は（ヘ）\( \ \displaystyle \frac {eN_{\mathrm {D}}}{\varepsilon } \ \)，（チ）\( \ \displaystyle e\varepsilon N_{\mathrm {D}} \ \)，（カ）\( \ \displaystyle \frac {N_{\mathrm {D}}}{e\varepsilon } \ \)，になると思います。
ワンポイント解説「3.ポアソン方程式」の通り，一次元の電界に対しては，電荷密度\( \ \rho =eN_{\mathrm {D}} \ \)なので，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}E}{\mathrm {d}x} &=&\frac {\rho }{\varepsilon } \\[ 5pt ]
&=&\frac {eN_{\mathrm {D}}}{\varepsilon } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
が成立します。
(3)解答：イ
題意より，解答候補は（イ）一，（ロ）二，（ハ）三，になると思います。
(2)解答式を変形し積分すると，
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {d}E &=&\frac {\rho }{\varepsilon }\mathrm {d}x \\[ 5pt ]
\int \mathrm {d}E &=&\int \frac {\rho }{\varepsilon }\mathrm {d}x \\[ 5pt ]
E &=& \frac {\rho }{\varepsilon }x+C ( \ C \ は積分定数 \ ) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，一次関数として表されることになります。
(4)解答：ヨ
題意より，解答候補は（ニ）高く，（ワ）等しく，（ヨ）低く，になると思います。
ワンポイント解説「1.\( \ \mathrm {pn} \ \)接合ダイオードにおける電荷の分布」の通り，空乏層の電界は\( \ \mathrm {n} \ \)層から\( \ \mathrm {p} \ \)に向かう電界となり，\( \ \mathrm {p} \ \)層側の電位は，\( \ \mathrm {n} \ \)層側の電位により低くなります。
(5)解答：リ
題意より，解答候補は（ホ）対数，（リ）指数，（ヌ）三角，になると思います。
ワンポイント解説「2.\( \ \mathrm {pn} \ \)接合における順方向の電圧と電流の特性」の通り，電圧\( \ V \ \)を正にすると，半導体中の電子や正孔の濃度が運動エネルギーに対してボルツマン分布を持つと近似できる場合には，電流は\( \ V \ \)の増加に対して指数関数的に増加することになります。
【令和８年度版２種一次試験】
