《機械・制御》〈誘導機〉[H18:問1]三相巻線形誘導電動機のトルクの比例推移に関する計算問題

【問題】

【難易度】★☆☆☆☆（やや易しい）

\( \ 6 \ \)極，定格周波数\( \ 60 \ \mathrm {[Hz]} \ \)，回転子巻線が星形結線の三相巻線形誘導電動機がある。回転子巻線を短絡し，定格電圧，定格周波数の電源にこの電動機を接続して全負荷トルクで運転すると回転速度は\( \ 1 \ 140 \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)であり，スリップリングを介して回転子巻線の各相に\( \ 0.225 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の外部抵抗を挿入して同じ負荷トルクで運転すると回転速度は\( \ 600 \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)であった。この電動機について，次の問に答えよ。ただし，外部抵抗は星形結線で，スリップリングの抵抗は無視できるものとする。

(1)　回転速度が\( \ 600 \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)のときの滑り\( \ s_{1} \ \)と回転速度が\( \ 1 \ 140 \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)のときの滑り\( \ s_{f} \ \)の比\( \ \displaystyle \frac {s_{1}}{s_{f}} \ \)を求めよ。

(2)　電動機の回転子巻線のー相分の抵抗\( \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)はいくらか。

(3)　電動機を全負荷トルクで始動するために，回転子巻線の各相に挿入すべき外部抵抗の値\( \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)はいくらか。

(4)　回転子巻線の各相に\( \ 0.1 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の外部抵抗を挿入して，全負荷トルクでこの電動機を運転したときの回転速度\( \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)はいくらか。

【ワンポイント解説】

三相巻線形誘導電動機のトルクの比例推移を活用する計算問題です。
\( \ 3 \ \)種でも出題される難易度の問題なので，多くの受験生が選択し，完答した問題と考えられます。
計算量もそれほど多くないため，計算ミスには十分に注意して取り組んで下さい。

1.三相誘導電動機の同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \)
三相誘導電動機の極数が\( \ p \ \)，電源の周波数が\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)の時，同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
N_{\mathrm {s}} &=&\frac {120f}{p} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.誘導機の滑り\( \ s \ \)
誘導機の同期速度が\( \ N_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)，回転子の回転速度が\( \ N \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)である時，誘導機の滑り\( \ s \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
s &=&\frac {N_{\mathrm {s}}-N}{N_{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と定義されます。これを整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
sN_{\mathrm {s}} &=&N_{\mathrm {s}}-N \\[ 5pt ] N &=&N_{\mathrm {s}}-sN_{\mathrm {s}} \\[ 5pt ] &=&\left( 1-s \right) N_{\mathrm {s}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と同期速度から回転速度が導出できます。

3.二次入力\( \ P_{2} \ \)と出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \)と二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \)の関係
誘導電動機の\( \ \mathrm {L} \ \)形等価回路は図1のようになります。図1において，\( \ {\dot V}_{1} \ \mathrm {[V]} \ \)は一次側端子電圧，\( \ {\dot I}_{1} \ \mathrm {[A]} \ \)は一次電流，\( \ {\dot I}_{2}^{\prime } \ \mathrm {[A]} \ \)は二次電流の一次換算，\( \ {\dot I}_{0} \ \mathrm {[A]} \ \)は励磁電流，\( \ r_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は一次巻線抵抗，\( \ r_{2}^{\prime } \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は二次巻線抵抗の一次換算，\( \ x_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は一次漏れリアクタンス，\( \ x_{2}^{\prime } \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は二次漏れリアクタンスの一次換算，\( \ s \ \)は滑りとなります。
図1より，出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \mathrm {[W]} \ \)，二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \mathrm {[W]} \ \)，二次入力\( \ P_{2} \ \mathrm {[W]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {o}} &=& 3\frac {1-s}{s}r_{2}^{\prime }{I_{2}^{\prime }}^{2} \\[ 5pt ] P_{\mathrm {c2}} &=& 3r_{2}^{\prime }{I_{2}^{\prime }}^{2} \\[ 5pt ] P_{2} &=& P_{\mathrm {o}}+P_{\mathrm {c2}} =3\frac {r_{2}^{\prime }}{s}{I_{2}^{\prime }}^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，誘導電動機の二次入力\( \ P_{2} \ \mathrm {[W]} \ \)，出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \mathrm {[W]} \ \)，二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \mathrm {[W]} \ \)には，
\[
\begin{eqnarray}
P_{2}：P_{\mathrm {o}}：P_{\mathrm {c2}} &=& 1：(1-s)：s \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があることが分かります。

4.巻線形誘導電動機のトルクの比例推移
図1より，二次電流の一次換算値の大きさ\( \ I_{2}^{\prime } \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{2}^{\prime } &=& \frac {V_{1}}{\sqrt {\left( r_{1}+\displaystyle \frac {r_{2}^{\prime }}{s}\right) ^{2}+\left( x_{1}+x_{2}^{\prime }\right) ^{2}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるため，三相誘導電動機のトルク\( \ T \ \mathrm {[N\cdot m]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
T&=&\frac {P_{\mathrm {o}}}{\omega } \\[ 5pt ] &=&\frac {P_{2}\left( 1-s\right) }{\omega _{\mathrm {s}}\left( 1-s\right) } \\[ 5pt ] &=&\frac {P_{2}}{\omega _{\mathrm {s}} } \\[ 5pt ] &=&\frac {\displaystyle 3\frac {r_{2}^{\prime }}{s}{I_{2}^{\prime }}^{2}}{\omega _{\mathrm {s}} } \\[ 5pt ] &=& \frac {1}{\omega _{\mathrm {s}}}\frac {3V_{1}^{2}\displaystyle \frac {r_{2}^{\prime }}{s}}{\left( r_{1}+\displaystyle \frac {r_{2}^{\prime }}{s}\right) ^{2}+\left( x_{1}+x_{2}^{\prime }\right) ^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。\( \ 1≫s \ \)の時，\( \ r_{2}^{\prime } \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)以外の抵抗やリアクタンスは無視できるので，
\[
\begin{eqnarray}
T &≃& \frac {3V_{1}^{2}s}{\omega _{\mathrm {s}}r_{2}^{\prime }} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，トルクに対する変数は可変抵抗（外部抵抗が挿入可能）である二次抵抗\( \ r_{2}^{\prime } \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)と滑り\( \ s \ \)のみであり，トルク\( \ T \ \mathrm {[N\cdot m]} \ \)を一定とすると，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {r_{2}^{\prime }}{s} &=& 一定 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があります。

【解答】

(1)回転速度が\( \ 600 \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)と\( \ 1 \ 140 \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)のときの滑りの比\( \ \displaystyle \frac {s_{1}}{s_{f}} \ \)
極数\( \ p=6 \ \)，定格周波数\( \ f=60 \ \mathrm {[Hz]} \ \)であるから，同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)は，ワンポイント解説「1.三相誘導電動機の同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
N_{\mathrm {s}} &=&\frac {120\times 60}{6} \\[ 5pt ] &=&1 \ 200 \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，回転速度\( \ N_{1}=600 \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)のときの滑り\( \ s_{1} \ \)及び回転速度が\( \ N_{f}=1 \ 140 \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)のときの滑り\( \ s_{f} \ \)は，ワンポイント解説「2.誘導機の滑り\( \ s \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
s_{1} &=&\frac {N_{\mathrm {s}}-N_{1}}{N_{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {1 \ 200-600}{1 \ 200} \\[ 5pt ] &=&0.5 \\[ 5pt ] s_{f} &=&\frac {N_{\mathrm {s}}-N_{f}}{N_{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {1 \ 200-1 \ 140}{1 \ 200} \\[ 5pt ] &=&0.05 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。したがって，滑りの比\( \ \displaystyle \frac {s_{1}}{s_{f}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {s_{1}}{s_{f}} &=&\frac {0.5}{0.05} \\[ 5pt ] &=&10 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)電動機の回転子巻線のー相分の抵抗\( \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)
外部抵抗\( \ R_{1}=0.225 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)を挿入すると，滑りが\( \ s_{f}=0.05 \ \)から\( \ s_{1}=0.5 \ \)となったので，回転子巻線の一相分の抵抗\( \ r_{2} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，ワンポイント解説「4.巻線形誘導電動機のトルクの比例推移」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {r_{2}}{s_{f}} &=&\frac {r_{2}+R_{1}}{s_{1}} \\[ 5pt ] \frac {r_{2}}{0.05} &=&\frac {r_{2}+0.225}{0.5} \\[ 5pt ] 0.5r_{2} &=&0.05\left( r_{2}+0.225\right) \\[ 5pt ] &=&0.05r_{2}+0.011 \ 25 \\[ 5pt ] 0.45r_{2}&=&0.011 \ 25 \\[ 5pt ] r_{2}&=&0.025 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)電動機を全負荷トルクで始動するために，回転子巻線の各相に挿入すべき外部抵抗の値\( \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)
ワンポイント解説「2.誘導機の滑り\( \ s \ \)」の通り，始動時（回転速度\( \ 0 \ \)）の滑りは\( \ s_{0}=1 \ \)であるため，全負荷トルクで始動するために，回転子巻線の各相に挿入すべき外部抵抗の値\( \ R_{0} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，ワンポイント解説「4.巻線形誘導電動機のトルクの比例推移」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {r_{2}}{s_{f}} &=&\frac {r_{2}+R_{0}}{s_{0}} \\[ 5pt ] \frac {0.025}{0.05} &=&\frac {0.025+R_{0}}{1} \\[ 5pt ] 0.5 &=&0.025+R_{0} \\[ 5pt ] R_{0}&=&0.475 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)回転子巻線の各相に\( \ 0.1 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の外部抵抗を挿入して，全負荷トルクでこの電動機を運転したときの回転速度\( \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)
回転子巻線の各相に\( \ R_{2}=0.1 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の外部抵抗を挿入したときの滑り\( \ s_{2} \ \)は，ワンポイント解説「4.巻線形誘導電動機のトルクの比例推移」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {r_{2}}{s_{f}} &=&\frac {r_{2}+R_{2}}{s_{2}} \\[ 5pt ] \frac {0.025}{0.05} &=&\frac {0.025+0.1}{s_{2}} \\[ 5pt ] 0.5 &=&\frac {0.125}{s_{2}} \\[ 5pt ] s_{2}&=&\frac {0.125}{0.5} \\[ 5pt ] &=&0.25 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，このときの回転速度\( \ N_{2} \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)は，ワンポイント解説「2.誘導機の滑り\( \ s \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
N_{2}&=&\left( 1-s_{2} \right) N_{\mathrm {s}} \\[ 5pt ] &=&\left( 1-0.25 \right) \times 1 \ 200 \\[ 5pt ] &=&900 \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。