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【問題】
【難易度】★★★☆☆（普通）
図のような，\( \ \mathrm {A} \ \)点及び\( \ \mathrm {B} \ \)点に負荷を有する三相\( \ 3 \ \)線式高圧配電線がある。電源側\( \ \mathrm {S} \ \)点の線間電圧を\( \ 6 \ 600 \ \mathrm {V} \ \)とするとき，次の\( \ \mathrm {(a)} \ \)及び\( \ \mathrm {(b)} \ \)の問に答えよ。
ただし，配電線\( \ 1 \ \)線当たりの抵抗及びリアクタンスはそれぞれ\( \ 0.3 \ \mathrm {\Omega / km} \ \)とする。
\( \ \mathrm {(a)} \ \) \( \ \mathrm {S-A} \ \)間に流れる電流の有効成分の値\( \ \mathrm {[A]} \ \)として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) \( \ 160 \ \) (2) \( \ 240 \ \) (3) \( \ 220 \ \) (4) \( \ 200 \ \) (5) \( \ 140 \ \)
\( \ \mathrm {(b)} \ \) \( \ \mathrm {B} \ \)点における線間電圧の値\( \ \mathrm {[V]} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) \( \ 6 \ 020 \ \) (2) \( \ 5 \ 770 \ \) (3) \( \ 6 \ 460 \ \) (4) \( \ 6 \ 130 \ \) (5) \( \ 6 \ 260 \ \)
【ワンポイント解説】
力率の異なる負荷を接続したときの線路電流と電圧降下を考える問題で，負荷の力率が異なるので，ベクトル図をきちんと描けるかが最大のポイントとなる問題です。
令和7年度下期は問13や問16で似たような知識を必要とする問題が出題されているので，力率や電圧降下の演算が得意な方が有利であったかと考えられます。
本問は平成13年問12からの再出題となります。
1.抵抗，コイル，コンデンサの電圧\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)と電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)の関係
抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，コイル\( \ L \ \mathrm {[H]} \ \)，コンデンサ\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)があり，電源の角周波数\( \ \omega \ \mathrm {[rad / s]} \ \)及び周波数\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)が与えられているとき，それぞれのインピーダンスは，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {R}}&=&R&& \\[ 5pt ]
{\dot Z}_{\mathrm {L}}&=&\mathrm {j}\omega L&=&\mathrm {j}2\pi f L \\[ 5pt ]
{\dot Z}_{\mathrm {C}}&=&\frac {1}{\mathrm {j}\omega C}&=&\frac {1}{\mathrm {j}2\pi f C} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で求められ，それぞれの電圧と電流の関係は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {R}}&=&R\dot I \\[ 5pt ]
{\dot V}_{\mathrm {L}}&=&\mathrm {j}\omega L \dot I \\[ 5pt ]
{\dot V}_{\mathrm {C}}&=&\frac {\dot I }{\mathrm {j}\omega C} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。この関係をベクトル図に表すと，図1～図3となります。
2.有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)と無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)
抵抗で消費される電力を有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)，リアクタンスで消費もしくは供給される電力を無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)と呼び，図4のようにベクトル図を描きます。さらに，有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)と無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)のベクトル和は皮相電力\( \ S \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)と呼ばれ，
\[
\begin{eqnarray}
S&=&\sqrt {P^{2}+Q^{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の関係があります。図4において，力率は\( \ \cos \theta \ \)で定義され，
\[
\begin{eqnarray}
\cos \theta &=&\frac {P}{S} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
また，線路に電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)が流れているとき，皮相電力\( \ S \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)，有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)，無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)は，インピーダンスを\( \ Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，抵抗を\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，リアクタンスを\( \ X \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
S &=&ZI^{2} \\[ 5pt ]
P &=&RI^{2} \\[ 5pt ]
Q &=&XI^{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるため，\( \ Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ X \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)に関しても電力と同様な図5のような関係を描くことができます。
3.三相\( \ 3 \ \)線式送電線の電圧降下の近似式
三相回路においては，一相分の等価回路及びベクトル図は図6及び図7のように描くことができ，送電端電圧と受電端電圧の位相差\( \ \delta \ \mathrm {[rad]} \ \)が無視できるぐらい小さいとしたときの電圧降下\( \ \varepsilon \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {V_{\mathrm {s}}}{\sqrt {3}}&≃&\frac {V_{\mathrm {r}}}{\sqrt {3}}+RI\cos \theta +XI\sin \theta \\[ 5pt ]
\frac {V_{\mathrm {s}}}{\sqrt {3}}-\frac {V_{\mathrm {r}}}{\sqrt {3}}&=&RI\cos \theta +XI\sin \theta \\[ 5pt ]
V_{\mathrm {s}}-V_{\mathrm {r}}&=&\sqrt {3}\left( RI\cos \theta +XI\sin \theta \right) \\[ 5pt ]
\varepsilon &=&\sqrt {3}I\left( R\cos \theta +X\sin \theta \right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められます。
【解答】
(a)解答：(3)
\( \ \mathrm {A} \ \)点の負荷の負荷電流\( \ I_{\mathrm {A}}=200 \ \mathrm {[A]} \ \)，力率\( \ \cos \theta _{\mathrm {A}}=0.8 \ \)，\( \ \mathrm {B} \ \)点の負荷の負荷電流\( \ I_{\mathrm {B}}=100 \ \mathrm {[A]} \ \)，力率\( \ \cos \theta _{\mathrm {B}}=0.6 \ \)とすると，ベクトル図は図8のようになる。
図8より，\( \ \mathrm {S-A} \ \)間に流れる電流の有効成分\( \ I_{\mathrm {R}} \ \mathrm {[A]} \ \)は，両方の負荷の合計なので，
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {R}}&=&I_{\mathrm {A}}\cos \theta _{\mathrm {A}}+I_{\mathrm {B}}\cos \theta _{\mathrm {B}} \\[ 5pt ]
&=&200\times 0.8+100\times 0.6 \\[ 5pt ]
&=&220 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(b)解答：(1)
各負荷の無効率\( \ \sin \theta _{\mathrm {A}} \ \)及び\( \ \sin \theta _{\mathrm {B}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\sin \theta _{\mathrm {A}}&=&\sqrt {1-\cos ^{2} \theta _{\mathrm {A}}} \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {1-0.8 ^{2}} \\[ 5pt ]
&=&0.6 \\[ 5pt ]
\sin \theta _{\mathrm {B}}&=&\sqrt {1-\cos ^{2} \theta _{\mathrm {B}}} \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {1-0.6 ^{2}} \\[ 5pt ]
&=&0.8 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，\( \ \mathrm {S-A} \ \)間及び\( \ \mathrm {A-B} \ \)間の抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)及びリアクタンス\( \ X \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
R&=&0.3\times 2 \\[ 5pt ]
&=&0.6 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ]
X&=&0.3\times 2 \\[ 5pt ]
&=&0.6 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，図を描くと図9のようになる。\( \ I_{\mathrm {A}}=200 \ \mathrm {[A]} \ \)と\( \ I_{\mathrm {B}}=100 \ \mathrm {[A]} \ \)による電圧降下は分けて考えれば良いので，\( \ \mathrm {S} \ \)点から\( \ \mathrm {B} \ \)点までの電圧降下\( \ v \ \mathrm {[V]} \ \)は，ワンポイント解説「3.三相\( \ 3 \ \)線式送電線の電圧降下の近似式」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
v&=&\sqrt {3}I_{\mathrm {A}}\left( R\cos \theta _{\mathrm {A}}+X\sin \theta _{\mathrm {A}}\right) +\sqrt {3}I_{\mathrm {B}}\left( 2R\cos \theta _{\mathrm {B}}+2X\sin \theta _{\mathrm {B}}\right) \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {3}\times 200\times \left( 0.6\times 0.8+0.6\times 0.6\right) +\sqrt {3}\times 100\times \left( 2\times 0.6\times 0.6+2\times 0.6\times 0.8\right) \\[ 5pt ]
&≒&291.0 +291.0 \\[ 5pt ]
&=&582.0 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。したがって，\( \ \mathrm {B} \ \)点における線間電圧\( \ V_{\mathrm {B}} \ \mathrm {[V]} \ \)は，\( \ \mathrm {S} \ \)点の電圧\( \ V_{\mathrm {S}}=6 \ 600 \ \mathrm {[V]} \ \)なので，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {B}}&=&V_{\mathrm {S}}-v \\[ 5pt ]
&=&6 \ 600-582.0 \\[ 5pt ]
&=&6 \ 018 → 6 \ 020 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
愛知県出身 愛称たけちゃん
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