《電力》〈水力〉[R3:問2]連続の定理及びベルヌーイの定理に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆（やや難しい）

図で，水圧管内を水が充満して流れている。断面\( \ \mathrm {A} \ \)では，内径\( \ 2.2 \ \mathrm {m} \ \)，流速\( \ 3 \ \mathrm {m / s} \ \)，圧力\( \ 24 \ \mathrm {kPa} \ \)である。このとき，断面\( \ \mathrm {A} \ \)との落差が\( \ 30 \ \mathrm {m} \ \)，内径\( \ 2 \ \mathrm {m} \ \)の断面\( \ \mathrm {B} \ \)における流速\( \ \mathrm {[m / s]} \ \)と水圧\( \ \mathrm {[kPa]} \ \)の最も近い値の組合せとして，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

ただし，重力加速度は\( \ 9.8 \ \mathrm {m / s^{2}} \ \)，水の密度は\( \ 1 \ 000 \ \mathrm {kg / m^{3}} \ \)，円周率は\( \ 3.14 \ \)とする。

\[
\begin{array}{ccc}
& 流速 \ \mathrm {[m / s]} & 水圧 \ \mathrm {[kPa]} \\
\hline
(1) & 　3.0　 & 　318　 \\
\hline
(2) & 　3.0　 & 　316　 \\
\hline
(3) & 　3.6　 & 　316　 \\
\hline
(4) & 　3.6　 & 　310　 \\
\hline
(5) & 　4.0　 & 　300　 \\
\hline
\end{array}
\]

【ワンポイント解説】

水力発電所の流速と水圧に関する問題です。
ベルヌーイの定理を暗記していることと，やや高度な計算を必要とする問題です。
計算はできるだけ整理して電卓を使用すると間違いが少なくなりますので，本ページの解説を参考に取り組むようにして下さい。

1.断面積\( \ A \ \mathrm {[m^{2}]} \ \)と流速\( \ v \ \mathrm {[m / s ]} \ \)と流量\( \ Q \ \mathrm {[m^{3} / s ]} \ \)の関係
断面積\( \ A \ \mathrm {[m^{2}]} \ \)の配管内を流速\( \ v \ \mathrm {[m / s ]} \ \)で水が流れている時，配管内を流れる水の流量\( \ Q \ \mathrm {[m^{3} / s ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Q&=&Av \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.ベルヌーイの定理
位置水頭が\( \ h \ \)，圧力水頭が\( \ \displaystyle \frac {p}{\rho g} \ \)，速度水頭が\( \ \displaystyle \frac {v^{2}}{2g} \ \)で表されるとき，これらの総和はエネルギー保存則によりどの場所でも等しくなります。
\[
\begin{eqnarray}
h+\frac {p}{\rho g}+\frac {v^{2}}{2g}&=&一定 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【解答】

解答：(3)
断面\( \ \mathrm {A} \ \)の断面積\( \ S_{\mathrm {A}} \ \mathrm {[m^{2}]} \ \)は，内径が\( \ 2.2 \ \mathrm {m} \ \)であるから，
\[
\begin{eqnarray}
S_{\mathrm {A}}&=&\pi \left( \frac {2.2}{2}\right) ^{2} \\[ 5pt ] &≒&3.801 \ \mathrm {[m^{2}]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，同様に，断面\( \ \mathrm {B} \ \)の断面積\( \ S_{\mathrm {B}} \ \mathrm {[m^{2}]} \ \)は，内径が\( \ 2 \ \mathrm {m} \ \)であるから，
\[
\begin{eqnarray}
S_{\mathrm {B}}&=&\pi \left( \frac {2}{2}\right) ^{2} \\[ 5pt ] &≒&3.142 \ \mathrm {[m^{2}]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] である。断面\( \ \mathrm {A} \ \)及び断面\( \ \mathrm {B} \ \)での流量が等しい（連続の定理）ことから，断面\( \ \mathrm {A} \ \)での流速\( \ v_{\mathrm {A}}=3 \ \mathrm {[m / s ]} \ \)，断面\( \ \mathrm {B} \ \)での流速\( \ v_{\mathrm {B}} \ \mathrm {[m / s ]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
S_{\mathrm {A}}v_{\mathrm {A}}&=&S_{\mathrm {B}}v_{\mathrm {B}} \\[ 5pt ] 3.801\times 3&=&3.142v_{\mathrm {B}} \\[ 5pt ] v_{\mathrm {B}}&≒&3.629　→　3.6 \ \mathrm {[m / s ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。断面\( \ \mathrm {B} \ \)を基準の高さとすると，ワンポイント解説「2.ベルヌーイの定理」より，
\[
\begin{eqnarray}
h_{\mathrm {A}}+\frac {p_{\mathrm {A}}}{\rho g}+\frac {v_{\mathrm {A}}^{2}}{2g}&=&h_{\mathrm {B}}+\frac {p_{\mathrm {B}}}{\rho g}+\frac {v_{\mathrm {B}}^{2}}{2g} \\[ 5pt ] 30+\frac {24\times 10^{3}}{1 \ 000 \times 9.8}+\frac {3^{2}}{2\times 9.8}&=&0+\frac {p_{\mathrm {B}}}{1 \ 000 \times 9.8}+\frac {3.629^{2}}{2\times 9.8} \\[ 5pt ] \frac {p_{\mathrm {B}}}{1 \ 000 \times 9.8}&=&30+\frac {24\times 10^{3}}{1 \ 000 \times 9.8}+\frac {3^{2}}{2\times 9.8}-\frac {3.629^{2}}{2\times 9.8} \\[ 5pt ] p_{\mathrm {B}}&=&\left( 1 \ 000 \times 9.8\right)\times \left( 30+\frac {24\times 10^{3}}{1 \ 000 \times 9.8}+\frac {3^{2}}{2\times 9.8}-\frac {3.629^{2}}{2\times 9.8}\right) \\[ 5pt ] &=&30\times 1 \ 000 \times 9.8+24\times 10^{3}+\frac {3^{2}}{2}\times 1000-\frac {3.629^{2}}{2}\times 1000 \\[ 5pt ] &≒&294 \ 000+24 \ 000+4 \ 500-6 \ 585 \\[ 5pt ] &≒&316 \ 000 \ \mathrm {[Pa]}　→　316 \ \mathrm {[kPa]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。