《機械》〈情報伝送及び処理〉[H21:問14]論理演算及び2進数と16進数の変換に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

$\ 2 \ $進数$\ A \ $，$\ B \ $が，$\ A=\left( 1100 \ 0011 \right) _{2} \ $，$\ B=\left( 1010 \ 0101 \right) _{2} \ $であるとき，$\ A \ $と$\ B \ $のビットごとの論理演算を考える。$\ A \ $と$\ B \ $の論理積$\ \left( \mathrm {AND} \right) \ $を$\ 16 \ $進数で表すと$\ \fbox {　 （ア） 　} \ $，$\ A \ $と$\ B \ $の論理和$\ \left( \mathrm {OR} \right) \ $を$\ 16 \ $進数で表すと$\ \fbox {　 （イ） 　} \ $，$\ A \ $と$\ B \ $の排他的論理和$\ \left( \mathrm {EX-OR} \right) \ $を$\ 16 \ $進数で表すと$\ \fbox {　 （ウ） 　} \ $，$\ A \ $と$\ B \ $の否定的論理積$\ \left( \mathrm {NAND} \right) \ $を$\ 16 \ $進数で表すと$\ \fbox {　 （エ） 　} \ $となる。

上記の記述中の空白箇所(ア)，(イ)，(ウ)及び(エ)に当てはまる数値として，正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。

$$\begin{array}{ccccc} & （ア） & （イ） & （ウ） & （エ） \\ \hline (1) & 　\left( 81 \right) _{16}　 & 　\left( \mathrm {E}7 \right) _{16}　 & 　\left( 66 \right) _{16}　 & 　\left( 18 \right) _{16}　 \\ \hline (2) & 　\left( 81 \right) _{16}　 & 　\left( \mathrm {E}7 \right) _{16}　 & 　\left( 66 \right) _{16}　 & 　\left( 7\mathrm {E} \right) _{16}　 \\ \hline (3) & 　\left( 81 \right) _{16}　 & 　\left( \mathrm {E}7 \right) _{16}　 & 　\left( 99 \right) _{16}　 & 　\left( 18 \right) _{16}　 \\ \hline (4) & 　\left( \mathrm {E}7 \right) _{16}　 & 　\left( 81 \right) _{16}　 & 　\left( 66 \right) _{16}　 & 　\left( 7\mathrm {E} \right) _{16}　 \\ \hline (5) & 　\left( \mathrm {E}7 \right) _{16}　 & 　\left( 81 \right) _{16}　 & 　\left( 99 \right) _{16}　 & 　\left( 18 \right) _{16}　 \\ \hline \end{array}$$

【ワンポイント解説】

論理回路の演算と進数の変換の両方の知識を問う問題です。
非常に出題頻度の高い分野となるため，確実に理解し，できれば素早く解けるようになりましょう。このままの再出題も十分想定される問題かと思います。

1.主な論理回路の真理値表
基本的な論理回路と図記号は覚える必要がありますので，以下の真理値表を覚えておきましょう。

①$\ \mathrm {AND} \ $回路
論理積といい，すべての入力が$\ 1 \ $の時のみ$\ 1 \ $が出力される回路で，真理値表と図記号は以下の通りです。

$$\begin{array}{cc|c} 　\mathrm {A}　 & 　\mathrm {B}　 & 　出力　 \\ \hline 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array}$$

②$\ \mathrm {OR} \ $回路
論理和といい，入力が一つでも$\ 1 \ $の時$\ 1 \ $が出力される回路で，真理値表と図記号は以下の通りです。

$$\begin{array}{cc|c} 　\mathrm {A}　 & 　\mathrm {B}　 & 　出力　 \\ \hline 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array}$$

③$\ \mathrm {NOT} \ $回路
論理否定といい，入力を反転する回路で，真理値表と図記号は以下の通りです。

$$\begin{array}{c|c} 　\mathrm {A}　 & 　出力　 \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{array}$$

④$\ \mathrm {NAND} \ $回路
$\ \mathrm {NOT}+\mathrm {AND} \ $で$\ \mathrm {AND} \ $の$\ \mathrm {NOT} \ $を出力，すなわちすべての入力が$\ 1 \ $の時のみ$\ 0 \ $が出力される回路で，真理値表と図記号は以下の通りです。

$$\begin{array}{cc|c} 　\mathrm {A}　 & 　\mathrm {B}　 & 　出力　 \\ \hline 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ \end{array}$$

⑤$\ \mathrm {NOR} \ $回路
$\ \mathrm {NOT}+\mathrm {OR} \ $で$\ \mathrm {OR} \ $の$\ \mathrm {NOT} \ $を出力，すなわち入力が一つでも$\ 1 \ $の時$\ 0 \ $が出力される回路で，真理値表と図記号は以下の通りです。

$$\begin{array}{cc|c} 　\mathrm {A}　 & 　\mathrm {B}　 & 　出力　 \\ \hline 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ \end{array}$$

⑥$\ \mathrm {XOR} \ $回路
排他的論理和$\ \left( \mathrm {exclusive \ or} \right) \ $といい，入力が異なるとき$\ 1 \ $，入力が同じ時$\ 0 \ $が出力される回路で，真理値表と図記号は以下の通りです。

$$\begin{array}{cc|c} 　\mathrm {A}　 & 　\mathrm {B}　 & 　出力　 \\ \hline 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ \end{array}$$

2.主な進数の対応表
コンピュータ等のディジタル信号は主に$\ 2 \ $進数が使用されるため，電験でも基数変換は出題されます。
電験で出題される$\ 2 \ $進数，$\ 8 \ $進数，$\ 10 \ $進数，$\ 16 \ $進数の対応表は下表の通りとなります。表を覚えるのではなくルールを理解するようにしましょう。

$$\begin{array}{|r|r|r|r|} \hline 　2 \ 進数　 &　8 \ 進数　 &　10 \ 進数　 &　16 \ 進数　 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 10 & 2 & 2 & 2 \\ \hline 11 & 3 & 3 & 3 \\ \hline 100 & 4 & 4 & 4 \\ \hline 101 & 5 & 5 & 5 \\ \hline 110 & 6 & 6 & 6 \\ \hline 111 & 7 & 7 & 7 \\ \hline 1000 & 10 & 8 & 8 \\ \hline 1001 & 11 & 9 & 9 \\ \hline 1010 & 12 & 10 & \mathrm {A} \\ \hline 1011 & 13 & 11 & \mathrm {B} \\ \hline 1100 & 14 & 12 & \mathrm {C} \\ \hline 1101 & 15 & 13 & \mathrm {D} \\ \hline 1110 & 16 & 14 & \mathrm {E} \\ \hline 1111 & 17 & 15 & \mathrm {F} \\ \hline 10000 & 20 & 16 & 10 \\ \hline \end{array}$$

3.$\ 10 \ $進数から$\ 2 \ $進数への変換
$\ 10 \ $進数から$\ 2 \ $進数への変換は，$\ 2 \ $で割った余りを下から順に並べると求められます。
具体的に$\ 10 \ $進数の$\ \left( 30\right) _{10} \ $を$\ 2 \ $進数へ変換すると，

$$\begin{array}{cccc} 2) & 30 & & & \\ \hline 2) & 15 & \cdots & 0 \\ \hline 2) & 7 & \cdots & 1 \\ \hline 2) & 3 & \cdots & 1 \\ \hline 2) & 1 & \cdots & 1 \\ \hline & 0 & \cdots & 1 \\ \end{array}$$ ゆえに，
$$\begin{eqnarray} \left( 30\right) _{10} &=&\left( 11110\right) _{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となります。$\ 8 \ $進数や$\ 16 \ $進数への変換も同様に行うことができます。

4.$\ 2 \ $進数から$\ 10 \ $進数への変換
$\ 2 \ $進数を$\ 10 \ $進数にするためには各桁に$\ 2^{x}(x=0,1,2・・・) \ $乗をかけて導出できます。
例えば，$\ 2 \ $進数の$\ \left( 101010\right) _{2} \ $を$\ 10 \ $進数へ変換すると，

$$\begin{eqnarray} \left( 101010\right) _{2}&=&1\times 2^{5}+0\times 2^{4}+1\times 2^{3}+0\times 2^{2}+1\times 2^{1}+0\times 2^{0} \\[ 5pt ] &=&32+0+8+0+2+0 \\[ 5pt ] &=&42 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ と求められます。$\ 8 \ $進数や$\ 16 \ $進数も同様に求められます。

5.$\ 2 \ $進数から$\ 16 \ $進数への変換
$\ 2 \ $進数を$\ 16 \ $進数にするためには，$\ 4 \ $桁ごとに$\ 16 \ $進数に変換していきます。
例えば，$\ 2 \ $進数の$\ \left( 11011010\right) _{2} \ $を$\ 16 \ $進数へ変換すると，

$$\begin{eqnarray} \left( 1101\right) _{2}&=&\left( \mathrm {D}\right) _{16} \\[ 5pt ] \left( 1010\right) _{2}&=&\left( \mathrm {A}\right) _{16} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となるので，
$$\begin{eqnarray} \left( 11011010\right) _{2}&=&\left( \mathrm {DA}\right) _{16} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ と求められます。$\ 16 \ $進数から$\ 2 \ $進数への変換も逆の操作により求めることができます。

【解答】

解答：(2)
(ア)
$\ A \ $と$\ B \ $の論理積$\ A\cdot B \ $は，ワンポイント解説「1.主な論理回路の真理値表」の通り，

$$\begin{eqnarray} A\cdot B&=&\left( 1000 \ 0001 \right) _{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ であるから，これを$\ 16 \ $進数に変換すると，ワンポイント解説「2.主な進数の対応表」及び「5.$\ 2 \ $進数から$\ 16 \ $進数への変換」の通り，
$$\begin{eqnarray} A\cdot B&=&\left( 81 \right) _{16} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ と求められる。

(イ)
$\ A \ $と$\ B \ $の論理和$\ A+B \ $は，ワンポイント解説「1.主な論理回路の真理値表」の通り，

$$\begin{eqnarray} A+B&=&\left( 1110 \ 0111 \right) _{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ であるから，これを$\ 16 \ $進数に変換すると，ワンポイント解説「2.主な進数の対応表」及び「5.$\ 2 \ $進数から$\ 16 \ $進数への変換」の通り，
$$\begin{eqnarray} A+B&=&\left( \mathrm {E} 7 \right) _{16} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ と求められる。

(ウ)
$\ A \ $と$\ B \ $の排他的論理和$\ A⊕B \ $は，ワンポイント解説「1.主な論理回路の真理値表」の通り，

$$\begin{eqnarray} A⊕B&=&\left( 0110 \ 0110 \right) _{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ であるから，これを$\ 16 \ $進数に変換すると，ワンポイント解説「2.主な進数の対応表」及び「5.$\ 2 \ $進数から$\ 16 \ $進数への変換」の通り，
$$\begin{eqnarray} A⊕B&=&\left( 66 \right) _{16} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ と求められる。

(エ)
$\ A \ $と$\ B \ $の否定的論理積$\ \overline {A\cdot B} \ $は，ワンポイント解説「1.主な論理回路の真理値表」の通り，

$$\begin{eqnarray} \overline {A\cdot B}&=&\left( 0111 \ 1110 \right) _{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ であるから，これを$\ 16 \ $進数に変換すると，ワンポイント解説「2.主な進数の対応表」及び「5.$\ 2 \ $進数から$\ 16 \ $進数への変換」の通り，
$$\begin{eqnarray} A\cdot B&=&\left( 7\mathrm {E} \right) _{16} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ と求められる。