《法規》〈電気施設管理〉[H18:問12]負荷を追加しコンデンサを設置した際の電力演算に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

定格容量\( \ 500 \ \mathrm {[kV\cdot A]} \ \)の三相変圧器に\( \ 400 \ \mathrm {[kW]} \ \)（遅れ力率\( \ 0.8 \ \)）の平衡三相負荷が接続されている。これに新たに\( \ 60 \ \mathrm {[kW]} \ \)（遅れ力率\( \ 0.6 \ \)）の平衡三相負荷を追加接続する場合について，次の(a)及び(b)に答えよ。

(a)　コンデンサを設置していない状態で，新たに負荷を追加した場合の合成負荷の力率として，最も近いのは次のうちどれか。

　(1)　\( \ 0.65 \ \)　　(2)　\( \ 0.71 \ \)　　(3)　\( \ 0.73 \ \)　　(4)　\( \ 0.75 \ \)　　(5)　\( \ 0.77 \ \)

(b)　新たに負荷を追加した場合，変圧器が過負荷運転とならないために設置するコンデンサ設備の必要最小の定格設備容量\( \ \mathrm {[kvar]} \ \)の値として，最も適切なのは次のうちどれか。

　(1)　\( \ 50 \ \)　　(2)　\( \ 100 \ \)　　(3)　\( \ 150 \ \)　　(4)　\( \ 200 \ \) 　　(5)　\( \ 300 \ \)

【ワンポイント解説】

負荷とコンデンサを接続したときの電力演算に関する問題です。
ベクトル図を丁寧に描くことで計算間違いのミスが減りますので，ぜひ本番でもベクトル図を描いて解くようにして下さい。
法規の\( \ \mathrm {B} \ \)問題は配点も高いので，完答できるように準備しましょう。

1.抵抗，コイル，コンデンサの電圧\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)と電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)の関係
抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，コイル\( \ L \ \mathrm {[H]} \ \)，コンデンサ\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)があり，電源の角周波数\( \ \omega \ \mathrm {[rad / s]} \ \)及び周波数\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)が与えられているとき，それぞれのインピーダンスは，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {R}}&=&R&& \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {L}}&=&\mathrm {j}\omega L&=&\mathrm {j}2\pi f L \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {C}}&=&\frac {1}{\mathrm {j}\omega C}&=&\frac {1}{\mathrm {j}2\pi f C} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められ，それぞれの電圧と電流の関係は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {R}}&=&R\dot I \\[ 5pt ] {\dot V}_{\mathrm {L}}&=&\mathrm {j}\omega L \dot I \\[ 5pt ] {\dot V}_{\mathrm {C}}&=&\frac {\dot I }{\mathrm {j}\omega C} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。この関係をベクトル図に表すと，図1～図3となります。

2.有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)と無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)
抵抗で消費される電力を有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)，リアクタンスで消費もしくは供給される電力を無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)と呼び，図4のようにベクトル図を描きます。さらに，有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)と無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)のベクトル和は皮相電力\( \ S \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)と呼ばれ，
\[
\begin{eqnarray}
S&=&\sqrt {P^{2}+Q^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があります。図4において，力率は\( \ \cos \theta \ \)で定義され，
\[
\begin{eqnarray}
\cos \theta &=&\frac {P}{S} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

また，線路に電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)が流れているとき，皮相電力\( \ S \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)，有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)，無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)は，インピーダンスを\( \ Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，抵抗を\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，リアクタンスを\( \ X \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
S &=&ZI^{2} \\[ 5pt ] P &=&RI^{2} \\[ 5pt ] Q &=&XI^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるため，\( \ Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ X \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)に関しても電力と同様な図5のような関係を描くことができます。

【解答】

(a)解答：(5)
\( \ P_{1}=400 \ \mathrm {[kW]} \ \left( \cos \theta _{1}=0.8 \right) \ \)に新たに\( \ P_{2}=60 \ \mathrm {[kW]} \ \left( \cos \theta _{2}=0.6 \right) \ \)の負荷を追加したときのベクトル図は図6のようになる。
それぞれの負荷の無効電力\( \ Q_{1} \ \mathrm {[kvar]} \ \)及び\( \ Q_{2} \ \mathrm {[kvar]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Q_{1} &=&P_{1}\tan \theta _{1} \\[ 5pt ] &=&P_{1}\frac {\sin \theta _{1}}{\cos \theta _{1}} \\[ 5pt ] &=&P_{1}\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta _{1}}}{\cos \theta _{1}} \\[ 5pt ] &=&400 \times \frac {\sqrt {1-0.8^{2}}}{0.8} \\[ 5pt ] &=&300 \ \mathrm {[kvar]} \\[ 5pt ] Q_{2} &=&P_{2}\tan \theta _{2} \\[ 5pt ] &=&P_{2}\frac {\sin \theta _{2}}{\cos \theta _{2}} \\[ 5pt ] &=&P_{2}\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta _{2}}}{\cos \theta _{2}} \\[ 5pt ] &=&60 \times \frac {\sqrt {1-0.6^{2}}}{0.6} \\[ 5pt ] &=&80 \ \mathrm {[kvar]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，合成の皮相電力\( \ S \ \mathrm {[kV\cdot A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
S &=&\sqrt {\left( P_{1}+P_{2}\right) ^{2}+\left( Q_{1}+Q_{2}\right) ^{2}} \\[ 5pt ] &=&\sqrt {\left( 400+60\right) ^{2}+\left( 300+80\right) ^{2}} \\[ 5pt ] &≒&596.7 \ \mathrm {[kV\cdot A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって，合成負荷の力率\( \ \cos \theta \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\cos \theta &=&\frac {P_{1}+P_{2}}{S} \\[ 5pt ] &=&\frac {400+60}{596.7} \\[ 5pt ] &≒&0.771 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(b)解答：(4)
容量\( \ Q_{\mathrm {C}} \ \mathrm {[kvar]} \ \)のコンデンサを接続した後，変圧器の定格容量\( \ S_{\mathrm {n}}=500 \ \mathrm {[kV\cdot A]} \ \)以下にしなければならないので，コンデンサ設備接続後のベクトル図は図7のようになる。図7に示す三角形に三平方の定理を適用し，\( \ Q_{\mathrm {C}} \ \mathrm {[kvar]} \ \)を求めると，
\[
\begin{eqnarray}
{S_{\mathrm {n}}}^{2} &=&\left( P_{1}+P_{2}\right) ^{2}+\left( Q_{1}+Q_{2}-Q_{\mathrm {C}}\right) ^{2} \\[ 5pt ] \left( Q_{1}+Q_{2}-Q_{\mathrm {C}}\right) ^{2}&=&{S_{\mathrm {n}}}^{2}-\left( P_{1}+P_{2}\right) ^{2} \\[ 5pt ] Q_{1}+Q_{2}-Q_{\mathrm {C}}&=&\sqrt {{S_{\mathrm {n}}}^{2}-\left( P_{1}+P_{2}\right) ^{2}} \\[ 5pt ] Q_{\mathrm {C}}&=&Q_{1}+Q_{2}-\sqrt {{S_{\mathrm {n}}}^{2}-\left( P_{1}+P_{2}\right) ^{2}} \\[ 5pt ] &=&300+80-\sqrt {500^{2}-\left( 400+60\right) ^{2}} \\[ 5pt ] &≒&184 \ \mathrm {[kvar]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，選択肢のうち過負荷運転とならないために設置するコンデンサ設備の必要最小の定格設備容量は\( \ 200 \ \mathrm {[kvar]} \ \)と求められる。