【問題】
【難易度】★★★★☆（やや難しい）
次の文章は直流回路の電圧源と電流に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。
図1のように電圧源\( \ E \ \)に網目抵抗回路が接続されている。枝\( \ \mathrm {bc} \ \)の電流\( \ I_{2} \ \)を求めたい。ただし，網目抵抗回路の点線より左側の抵抗の値は未知とする。
図1の電流\( \ I_{2} \ \)を求めるために，図2のように図1の電圧源\( \ E \ \)を短絡除去して枝\( \ \mathrm {bc} \ \)に挿入した。線形回路では相反性により，電圧源を挿入する枝と電流を計測する枝を交換しても，電流の計測値は符号を除けば等しくなる。電圧源\( \ E \ \)の向きに注意すると，図1の枝\( \ \mathrm {bc} \ \)の電流\( \ I_{2} \ \)と図2の枝\( \ \mathrm {ae} \ \)の電流\( \ I_{0} \ \)の間では等式\( \ \fbox { （１） } \ \)が成立する。
図2の回路は，もし点線より左側の抵抗の枝をすべて開放除去すると，図3の平衡ブリッジ回路となり，節点\( \ \mathrm {a} \ \)，\( \ \mathrm {e} \ \)と節点\( \ \mathrm {i} \ \)は同電位となる。これら三つの節点が同電位であるため，回路復元すると，図2の点線より左側の抵抗の枝電流はすべて零となることが分かる。ゆえに，図2の電流\( \ {I_{0}}^{\prime } \ \)と\( \ {I_{1}}^{\prime } \ \)の関係は\( \ \fbox { （２） } \ \)であり，抵抗\( \ \lambda R_{3} \left( \lambda \gt 0 \right) \ \)から節点\( \ \mathrm {e} \ \)に流れ込む電流も\( \ {I_{1}}^{\prime } \ \)となる。\( \ {I_{1}}^{\prime } \ \)と\( \ {I_{2}}^{\prime } \ \)で図2の経路\( \ \mathrm {a-b-c-d-e} \ \)と\( \ \mathrm {a-b-i-d-e} \ \)の電圧降下の式を表すと，それぞれ以下となる。
\[
\begin{eqnarray}
&&\lambda \left( \ \fbox { （３） } \ \right) {I_{1}}^{\prime }+2R_{2}{I_{2}}^{\prime }-E=0 &·············· ①& \\[ 5pt ]
&&\lambda \left( \ \fbox { （３） } \ \right) {I_{1}}^{\prime }+\left( \ \fbox { （３） } \ \right) \left( {I_{1}}^{\prime }-{I_{2}}^{\prime }\right)=0 &·············· ②& \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
\( \ \lambda =1 \ \)のときの図1の\( \ I_{2} \ \)は，①式と②式を解くと，\( \ \fbox { （１） } \ \)と\( \ \fbox { （２） } \ \)より\( \ I_{2}= \ \fbox { （４） } \ \times E \ \)である。
最後に，図2の枝\( \ \mathrm {bc} \ \)の電圧源\( \ E \ \)を短絡除去して点線より左側の抵抗の枝に挿入した。いずれの枝に挿入したとしても，枝\( \ \mathrm {ab} \ \)と枝\( \ \mathrm {bc} \ \)の新たな電流をそれぞれ\( \ {I_{1}}^{\prime \prime } \ \)，\( \ {I_{2}}^{\prime \prime } \ \)とすると，相反性により\( \ {I_{2}}^{\prime \prime }= \ \fbox { （５） } \ \)となる。\( \ {I_{2}}^{\prime \prime } \ \)は回路の等価変換で導くこともできる。テブナンの定理を用いると，その等価回路は図4の平衡ブリッジ回路となる。
〔問1の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）& R_{1}+R_{3} &（ロ）& \frac {1}{R_{1}+2R_{2}+R_{3}} &（ハ）& R_{2}+R_{3} \\[ 5pt ]
&（ニ）& R_{1}+R_{2} &（ホ）& \frac {1}{R_{1}+R_{3}} &（ヘ）& I_{2}=-{I_{0}}^{\prime } \\[ 5pt ]
&（ト）& I_{2}={I_{0}}^{\prime } &（チ）& -\frac {E}{R_{1}+R_{3}} &（リ）& \frac {E}{2R_{2}} \\[ 5pt ]
&（ヌ）& \frac {1}{R_{1}+4R_{2}+R_{3}} &（ル）& 0 &（ヲ）& I_{2}=2{I_{0}}^{\prime } \\[ 5pt ]
&（ワ）& {I_{0}}^{\prime }={I_{1}}^{\prime } &（カ）& {I_{0}}^{\prime }=2{I_{1}}^{\prime } &（ヨ）& {I_{0}}^{\prime }=-{I_{1}}^{\prime } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【ワンポイント解説】
相反定理を用いた直流回路の演算に関する問題です。
相反定理を知っているかどうかが全てとも言える問題ですが，(2)～(4)は問題文が大きなヒントになっているため，しっかりと読解できれば正答できた内容かと思います。直流回路としては難問ですが，その中でいかに部分点を取っていくかは電験を合格する上では重要となります。
1.相反定理
図5に示す通り，端子\( \ \mathrm {ab} \ \)及び端子\( \ \mathrm {cd} \ \)が接続された電源を含まない回路網があるとします。
端子\( \ \mathrm {ab} \ \)に電源\( \ E_{1} \ \mathrm {[V]} \ \)を接続したときの端子\( \ \mathrm {cd} \ \)に流れる短絡電流が\( \ I_{2} \ \mathrm {[A]} \ \)であり，端子\( \ \mathrm {cd} \ \)に電源\( \ E_{2} \ \mathrm {[V]} \ \)を接続したときの端子\( \ \mathrm {ab} \ \)に流れる短絡電流が\( \ I_{1} \ \mathrm {[A]} \ \)であるとき，
\[
\begin{eqnarray}
E_{1}I_{1}&=&E_{2}I_{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
が成り立ち，これを相反定理といいます。また，\( \ E_{1}=E_{2} \ \)である場合，
\[
\begin{eqnarray}
I_{1}&=&I_{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
【解答】
(1)解答：ト
図1及び図2の回路網には電圧源\( \ E \ \)以外の電源はないので，ワンポイント解説「1.相反定理」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
EI_{2}&=&E{I_{0}}^{\prime } \\[ 5pt ]
I_{2}&=&{I_{0}}^{\prime } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(2)解答：ワ
題意の通り，図2の点線より左側の抵抗の枝電流はすべて零となることから，図2-1に示す通りの回路になる。図2-1より，電流\( \ {I_{0}}^{\prime } \ \)と\( \ {I_{1}}^{\prime } \ \)の関係は\( \ {I_{0}}^{\prime }={I_{1}}^{\prime } \ \)と求められる。
(3)解答：イ
図2-1より，\( \ \lambda R_{3} \ \)に流れる電流の大きさは\( \ {I_{0}}^{\prime }={I_{1}}^{\prime } \ \)であるから，経路\( \ \mathrm {a-b-c-d-e} \ \)の電圧降下の式は，
\[
\begin{eqnarray}
\lambda R_{1}{I_{1}}^{\prime }+R_{2}{I_{2}}^{\prime }-E+R_{2}{I_{2}}^{\prime }+\lambda R_{3}{I_{1}}^{\prime }&=&0 \\[ 5pt ]
\lambda \left( R_{1}+R_{3} \right) {I_{1}}^{\prime }+2R_{2}{I_{2}}^{\prime }-E&=&0 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，図2-1より，\( \ R_{1} \ \)及び\( \ R_{3} \ \)に流れる電流は\( \ {I_{1}}^{\prime }-{I_{2}}^{\prime } \ \)であるから，経路\( \ \mathrm {a-b-i-d-e} \ \)の電圧降下の式は，
\[
\begin{eqnarray}
\lambda R_{1}{I_{1}}^{\prime }+R_{1}\left( {I_{1}}^{\prime }-{I_{2}}^{\prime }\right) +R_{3}\left( {I_{1}}^{\prime }-{I_{2}}^{\prime }\right) +\lambda R_{3}{I_{1}}^{\prime }&=&0 \\[ 5pt ]
\lambda \left( R_{1}+R_{3} \right) {I_{1}}^{\prime }+\left( R_{1}+R_{3} \right) \left( {I_{1}}^{\prime }-{I_{2}}^{\prime }\right) &=&0 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(4)解答：ヌ
\( \ \lambda =1 \ \)のとき，②より，
\[
\begin{eqnarray}
\left( R_{1}+R_{3} \right) {I_{1}}^{\prime }+\left( R_{1}+R_{3} \right) \left( {I_{1}}^{\prime }-{I_{2}}^{\prime }\right) &=&0 \\[ 5pt ]
\left( R_{1}+R_{3} \right) \left( {I_{1}}^{\prime }+{I_{1}}^{\prime }-{I_{2}}^{\prime }\right) &=&0 \\[ 5pt ]
2{I_{1}}^{\prime }-{I_{2}}^{\prime } &=&0 \\[ 5pt ]
{I_{2}}^{\prime } &=&2{I_{1}}^{\prime } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であるから，これと\( \ \lambda =1 \ \)を①に代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
\left( R_{1}+R_{3} \right) {I_{1}}^{\prime }+4R_{2}{I_{1}}^{\prime }-E&=&0 \\[ 5pt ]
\left( R_{1}+4R_{2}+R_{3} \right) {I_{1}}^{\prime }-E&=&0 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，(1)及び(2)解答式より，\( \ I_{2}={I_{0}}^{\prime }={I_{1}}^{\prime } \ \)であるから，
\[
\begin{eqnarray}
\left( R_{1}+4R_{2}+R_{3} \right) I_{2}-E&=&0 \\[ 5pt ]
\left( R_{1}+4R_{2}+R_{3} \right) I_{2}&=&E \\[ 5pt ]
I_{2}&=&\frac {1}{R_{1}+4R_{2}+R_{3}}E \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(5)解答：ル
(2)の通り，図2の点線より左側の抵抗の枝電流はすべて零であることから，左側の抵抗のいずれの枝に電圧源\( \ E \ \)を挿入してもワンポイント解説「1.相反定理」の通り，\( \ {I_{2}}^{\prime \prime }= 0 \)と求められる。
愛知県出身 愛称たけちゃん