【問題】
【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）
三相同期発電機の並行運転に関し，次の問に答えよ。
(1) 複数台の三相同期発電機を共通母線に接続し，並行運転するための必要条件について述べよ。
(2) \( \ 2 \ \)台の円筒界磁形三相同期発電機\( \ \text{A} \ \)，\( \ \text{B} \ \)が励磁を定格状態に保って並行運転されている。定格\( \ 7 \ 000 \ \text{ [kV・A]} \ \)，\( \ 6 \ 600 \ \text{ [V]} \ \)，力率\( \ 0.9 \ \)（遅れ），短絡比\( \ 0.8 \ \)の\( \ \text{A} \ \)機と，定格\( \ 10 \ 000 \ \text{ [kV・A]} \ \)，\( \ 6 \ 600 \ \text{ [V]} \ \)，力率\( \ 0.9 \ \)（遅れ），短絡比\( \ 1.0 \ \)の\( \ \text{B} \ \)機を母線電圧\( \ 6 \ 600 \ \text{ [V]} \ \)において，負荷に電力を供給しているとき，次の値を求めよ。ただし，鉄心の磁気飽和及び電機子抵抗は無視できるものとする。
\( \ \mathrm {a.} \ \) 両機の同期リアクタンス\( \ X_A \ \)，\( \ X_B \ \mathrm{ [\Omega]} \ \)
\( \ \mathrm {b.} \ \) 両機の無負荷誘導起電力（相電圧）\( \ E_A \ \)，\( \ E_B \ \text{ [V]} \ \)
(3) 上記(2)において，母線電圧を\( \ 6 \ 600 \ \text {[V]} \ \)に保ち，徐々に負荷電力を増加させ，両機とも出力（電力\( \ \text{[kW]} \ \)）が定格を超えない範囲で，負荷に供給する電力が最大となった。このときの\( \ E_A \ \)，\( \ E_B \ \)と母線の相電圧との内部相差角を\( \ \delta \ \)とするときの\( \ \sin \delta \ \)及びそのときの負荷電力\( \ \text{[kW]} \ \)を求めよ。ただし，同期化電流のため\( \ E_A \ \)，\( \ E_B \ \)は同相になるものとする。
【ワンポイント解説】
同期機の並行運転に関する問題です。
三平方の定理を用いるため計算量はやや多めですが，解法自体は易しいのでぜひ完答を目指したい問題です。
問題量も適切なので，合否を分ける問題と言えるかと思います。
1.同期発電機の並列条件
同期発電機の並列条件と調整方法は以下の５つです。電圧，周波数，位相の一致が必須であることを覚えておきましょう。
①電圧の大きさが等しいこと → 励磁電流を調整する。
②周波数が等しいこと → 原動機の回転数を調整する。
③位相が等しいこと → 同期検定器を使用し，位相が合った所で並列する。
④電圧の波形が等しいこと → 回転子の回転速度を一定にする。
⑤相回転が等しいこと → 発電機点検後に相回転方向を確認しておく。
2.同期発電機の等価回路
同期発電機の一相分等価回路は誘導起電力（相電圧）\( \ {\dot E}_{0} \ \mathrm {[V]} \ \)，端子電圧（相電圧）\( \ \dot E \ \mathrm {[V]} \ \)，同期リアクタンス\( \ x_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，電機子巻線抵抗\( \ r_{\mathrm {a}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)とすると，図1のようになります。
通常，電機子巻線抵抗\( \ r_{\mathrm {a}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は十分に小さいと考え，無視して考えることが一般的です。
また，等価回路よりベクトル図は図2のようになります。ただし，\( \ \theta \ \)は力率角，\( \ \delta \ \)は負荷角です。
3.同期発電機の出力
同期発電機のベクトル図は誘導起電力（相電圧）\( \ {\dot E}_{0} \ \mathrm {[V]} \ \)，端子電圧（相電圧）\( \ \dot E \ \mathrm {[V]} \ \)，同期リアクタンス\( \ x_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，力率角\( \ \theta \ \)，負荷角\( \ \delta \ \)とすると図3のようになり，このベクトル図において，①線を求める式より，
\[
\begin{eqnarray}
E_{0}\sin \delta &=&x_{\mathrm {s}}I \cos \theta \\[ 5pt ]
I \cos \theta &=&\frac {E_{0}\sin \delta }{x_{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であり，三相同期発電機の出力は\( \ P=3EI\cos \theta \ \mathrm {[W]} \ \)で求められるので，これに上式を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
P &=&3EI\cos \theta \\[ 5pt ]
&=&\frac {3E_{0}E\sin \delta }{x_{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。この\( \ 2 \ \)式はどちらも公式として覚えておきましょう。
4.同期発電機の無負荷飽和曲線と三相短絡曲線
同期発電機は図4のような無負荷飽和曲線と三相短絡曲線の特性があります。図中の\( \ V_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[V]} \ \)は定格電圧，\( \ I_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[A]} \ \)は定格電流，三相短絡曲線は曲線ですが，ほぼ比例の直線と近似できます。
この時，\( \ I_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[A]} \ \)は定格電圧時の三相短絡電流であり，短絡比\( \ K \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
K &=& \frac {I_{\mathrm {s}}}{I_{\mathrm {n}}}=\frac {I_{\mathrm {f1}}}{I_{\mathrm {f2}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
5.単位法におけるインピーダンスと短絡比の関係
同期発電機の単位法における同期インピーダンスが\( \ Z \ \mathrm {[p.u.]} \ \)，短絡比が\( \ K \ \)であるとき，その関係は，
\[
\begin{eqnarray}
K&=&\frac {1}{Z} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の関係があります。
※単位法の定義式等を用いて\( \ \displaystyle I_{\mathrm {s}}=\frac {V_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}Z} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)から上式を求めることはできますが，試験時では暗記しておいた方が良いと思います。
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {s}}&=&\frac {\displaystyle \frac {V_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}}}{Z \ \mathrm {[\Omega ]}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {V_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}Z \ \mathrm {[\Omega ]}} \\[ 5pt ]
\frac {I_{\mathrm {s}}}{I_{\mathrm {n}}}&=&\frac {V_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}Z \ \mathrm {[\Omega ]}I_{\mathrm {n}}} \\[ 5pt ]
K&=&\frac {1}{Z} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【解答】
(1)三相同期発電機を並行運転するための必要条件
(ポイント)
・ワンポイント解説「1.同期発電機の並列条件」の通りです。
(試験センター解答例)
共通の母線に接続された各発電機の誘導起電力の
① 周波数が等しいこと
② 波形があまり違わないこと（正弦波に近いこと）
③ 大きさと位相角が等しいこと
が必要である。以上を列挙し，その主な理由などが記述されていること。
(2)\( \ \mathrm {a.} \ \)両機の同期リアクタンス\( \ X_A \ \)，\( \ X_B \ \mathrm{ [\Omega]} \ \)
それぞれの短絡比が\( \ K_{A}=0.8 \ \)，\( \ K_{B}=1.0 \ \)なので，単位法における同期リアクタンス\( \ X_A \ \mathrm { [p.u. ]} \ \)，\( \ X_B \ \mathrm { [p.u. ]} \ \)は，ワンポイント解説「5.単位法におけるインピーダンスと短絡比の関係」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
X_A&=&\frac {1}{K_{A}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {1}{0.8} \\[ 5pt ]
&=&1.25 \ \mathrm { [p.u. ]} \\[ 5pt ]
X_B&=&\frac {1}{K_{B}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {1}{1.0} \\[ 5pt ]
&=&1.0 \ \mathrm { [p.u. ]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，それぞれの同期リアクタンス\( \ X_A \ \mathrm { [\Omega ]} \ \)，\( \ X_B \ \mathrm { [\Omega ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
X_A \ \mathrm { [p.u. ]} &=&\frac {X_A \ \mathrm {[\Omega ]}P_{nA}}{V_{nA}^{2}} \\[ 5pt ]
X_A \ \mathrm { [\Omega ]} &=&\frac {V_{nA}^{2}X_A \ \mathrm { [p.u. ]}}{P_{nA}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {6 \ 600^{2}\times 1.25}{7 \ 000\times 10^{3}} \\[ 5pt ]
&≒&7.778 \ 6 → 7.78 \ \mathrm { [\Omega ]} \\[ 5pt ]
X_B \ \mathrm { [p.u. ]} &=&\frac {X_B \ \mathrm {[\Omega ]}P_{nB}}{V_{nB}^{2}} \\[ 5pt ]
X_B \ \mathrm { [\Omega ]} &=&\frac {V_{nB}^{2}X_B \ \mathrm { [p.u. ]}}{P_{nB}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {6 \ 600^{2}\times 1.0}{10 \ 000\times 10^{3}} \\[ 5pt ]
&=&4.356 → 4.36 \ \mathrm { [\Omega ]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(2)\( \ \mathrm {b.} \ \)両機の無負荷誘導起電力（相電圧）\( \ E_A \ \)，\( \ E_B \ \text{ [V]} \ \)
それぞれの定格電流\( \ I_{nA} \ \mathrm {[A]} \ \)及び\( \ I_{nB} \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{nA} &=&\frac {P_{nA}}{\sqrt {3}V_{nA}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {7 \ 000\times 10^{3}}{\sqrt {3}\times 6 \ 600} \\[ 5pt ]
&≒&612.34 \ \mathrm { [A]} \\[ 5pt ]
I_{nB} &=&\frac {P_{nB}}{\sqrt {3}V_{nB}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {10 \ 000\times 10^{3}}{\sqrt {3}\times 6 \ 600} \\[ 5pt ]
&≒&874.77 \ \mathrm { [A]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，各負荷の\( \ \sin \theta _{A} \ \)及び\( \ \sin \theta _{B} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\sin \theta _{A} &=&\sqrt {1-\cos ^{2}\theta _{A}} \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {1-0.9 ^{2}} \\[ 5pt ]
&≒&0.435 \ 89 \\[ 5pt ]
\sin \theta _{B} &=&\sqrt {1-\cos ^{2}\theta _{B}} \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {1-0.9 ^{2}} \\[ 5pt ]
&≒&0.435 \ 89 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。よって，\( \ \text{A} \ \)機を例にベクトル図を描くと図5のようになるので，図5に示す直角三角形に三平方の定理を適用すると，無負荷誘導起電力（相電圧）\( \ E_{A} \ \text {[V]} \ \)及び\( \ E_{B} \ \text {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
E_{A} &=&\sqrt {\left( \frac {V_{nA}}{\sqrt {3}} +X_{A}I_{nA}\sin \theta _{A} \right) ^{2}+\left( X_{A}I_{nA}\cos \theta _{A} \right) } \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {\left( \frac {6 \ 600}{\sqrt {3}} +7.778 \ 6\times 612.34 \times 0.435 \ 89 \right) ^{2}+\left( 7.778 \ 6\times 612.34 \times 0.9 \right) ^{2}} \\[ 5pt ]
&≒&\sqrt {5 \ 886.7 ^{2}+4 \ 286.8 ^{2}} \\[ 5pt ]
&≒&7 \ 282.2 → 7 \ 280 \ \text {[V]} \\[ 5pt ]
E_{B} &=&\sqrt {\left( \frac {V_{nB}}{\sqrt {3}} +X_{B}I_{nB}\sin \theta _{B} \right) ^{2}+\left( X_{B}I_{nB}\cos \theta _{B} \right) } \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {\left( \frac {6 \ 600}{\sqrt {3}} +4.356\times 874.77 \times 0.435 \ 89 \right) ^{2}+\left( 4.356\times 874.77 \times 0.9 \right) ^{2}} \\[ 5pt ]
&≒&\sqrt {5 \ 471.5 ^{2}+3 \ 429.4 ^{2}} \\[ 5pt ]
&≒&6 \ 457.4 → 6 \ 460 \ \text {[V]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(3)内部相差角を\( \ \delta \ \)とするときの\( \ \sin \delta \ \)と負荷電力\( \ \text{[kW]} \ \)
題意より，\( \ \text{A} \ \)機もしくは\( \ \text{B} \ \)機のどちらかが定格出力であることがわかる。
\( \ \text{A} \ \)機が定格出力であるとすると\( \ \sin \delta \ \)は，ワンポイント解説「3.同期発電機の出力」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
P_{nA} &=&\frac {\displaystyle 3E_{A}\frac {V_{nA}}{\sqrt {3}} \sin \delta }{X_{A}} \\[ 5pt ]
7 \ 000\times 10^{3} \times 0.9 &=&\frac {\displaystyle 3\times 7 \ 282.2\times \frac {6 \ 600}{\sqrt {3}} \sin \delta }{7.778 \ 6} \\[ 5pt ]
6 \ 300\times 10^{3} &≒&10 \ 702 \ 000 \sin \delta \\[ 5pt ]
\sin \delta &≒&0.588 \ 68 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，そのときの\( \ \text{B} \ \)機出力\( \ P_{B} \ \text {[kW]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{B} &=&\frac {\displaystyle 3E_{B}\frac {V_{nB}}{\sqrt {3}} \sin \delta }{X_{B}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\displaystyle 3\times 6 \ 457.4\times \frac {6 \ 600}{\sqrt {3}} \times 0.588 \ 68 }{4.356} \\[ 5pt ]
&≒&9 \ 975 \ 900 \ \text {[W]} → 9 \ 975.9 \ \text {[kW]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，\( \ \text{B} \ \)機の定格出力\( \ 10 \ 000\times 0.9 =9 \ 000 \ \text {[kW]} \ \)より大きいので不適であることがわかる。
\( \ \text{B} \ \)機が定格出力であるとすると\( \ \sin \delta \ \)は，ワンポイント解説「3.同期発電機の出力」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
P_{nB} &=&\frac {\displaystyle 3E_{B}\frac {V_{nB}}{\sqrt {3}} \sin \delta }{X_{B}} \\[ 5pt ]
10 \ 000\times 10^{3} \times 0.9 &=&\frac {\displaystyle 3\times 6 \ 457.4\times \frac {6 \ 600}{\sqrt {3}} \sin \delta }{4.356} \\[ 5pt ]
9 \ 000\times 10^{3} &≒&16 \ 946 \ 000 \sin \delta \\[ 5pt ]
\sin \delta &≒&0.531 \ 10 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，そのときの\( \ \text{A} \ \)機出力\( \ P_{A} \ \text {[kW]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{A} &=&\frac {\displaystyle 3E_{A}\frac {V_{nA}}{\sqrt {3}} \sin \delta }{X_{A}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\displaystyle 3\times 7 \ 282.2\times \frac {6 \ 600}{\sqrt {3}} \times 0.531 \ 10 }{7.778 \ 6} \\[ 5pt ]
&≒&5 \ 683 \ 800 \ \text {[W]} → 5 \ 683.8 \ \text {[kW]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，\( \ \text{A} \ \)機の定格出力\( \ 7 \ 000\times 0.9 =6 \ 300 \ \text {[kW]} \ \)を超えないので適切となる。
以上から，\( \ \sin \delta =0.531 \ \)であり，そのときの負荷電力\( \ P_{L} \ \text {[kW]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{L} &=&P_{A}+P_{nB} \\[ 5pt ]
&=&5 \ 683.8+9 \ 000 \\[ 5pt ]
&≒&14 \ 700 \ \text {[kW]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
愛知県出身 愛称たけちゃん