《理論》〈電気回路〉[H28:問3] 直流回路の合成抵抗に関する計算問題

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
- 2.1 【関連する「電気の神髄」記事】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

次の文章は，直流回路の合成抵抗に関する記述である。文中の$ \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ $に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。

図1に示す回路の合成抵抗を求めたい。まず，節点$ \ \mathrm {a-b-c} \ $からなる$ \ \mathrm {\Delta } \ $接続部分に「$ \ \mathrm {\Delta – Y} \ $変換」を施すと，図1の$ \ \mathrm {a-d} \ $間の抵抗は図2のように表すことができる。
図2の$ \ R_{\mathrm {a}} \ $，$ \ R_{\mathrm {b}} \ $，$ \ R_{\mathrm {c}} \ $は，$ \ R_{\mathrm {x}} \ $を用いて$ \ R_{\mathrm {a}}= \ \fbox {　（１）　} \ [\Omega ] \ $，$ \ R_{\mathrm {b}}= \ \fbox {　（２）　} \ [\Omega ] \ $，$ \ R_{\mathrm {c}}= \ \fbox {　（３）　} \ [\Omega ] \ $となる。
したがって，回路全体の合成抵抗$ \ R_{\mathrm {ad}} \ $は，$ \ R_{\mathrm {ad}}= \ \fbox {　（４）　} \ [\Omega ] \ $と表され，$ \ R_{\mathrm {x}}= \ \fbox {　（５）　} \ [\Omega ] \ $において最大となる。

〔問3の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　\frac {R_{\mathrm {x}}+6}{2}　　　　　&（ロ）&　\frac {R_{\mathrm {x}}+2}{2}　　　　　　&（ハ）&　\frac {-R_{\mathrm {x}}^{2}+2R_{\mathrm {x}}}{4}　 \\[ 5pt ] &（ニ）&　\frac {-R_{\mathrm {x}}+2}{2}　　　　　&（ホ）&　0.5　　　　　&（ヘ）&　1.2 \\[ 5pt ] &（ト）&　\frac {-R_{\mathrm {x}}+3}{4}　　　　　&（チ）&　\frac {R_{\mathrm {x}}^{2}}{2}　　　　　&（リ）&　2 \\[ 5pt ] &（ヌ）&　\frac {-5R_{\mathrm {x}}^{2}+12R_{\mathrm {x}}+12}{16}　　　　　&（ル）&　\frac {R_{\mathrm {x}}+2}{4}　　　　　&（ヲ）&　\frac {R_{\mathrm {x}}^{2}}{R_{\mathrm {x}}+1} \\[ 5pt ] &（ワ）&　\frac {-R_{\mathrm {x}}+6}{2}　　　　　&（カ）&　\frac {11R_{\mathrm {x}}^{2}+44R_{\mathrm {x}}+12}{4}　　　　　&（ヨ）&　\frac {11R_{\mathrm {x}}^{2}+12R_{\mathrm {x}}+12}{4}
\end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

不平衡回路の$ \ \mathrm {\Delta – Y} \ $変換は電験一種では毎年のように出題されます。なかなか覚えにくい公式ですが，電験一種試験前には確実にマスターしておいて下さい。本問の場合は$ \ \mathrm {\Delta – Y} \ $変換を知っているかどうかで10点の差がついてしまいます。

1.不平衡負荷の$ \ \mathrm {\Delta – Y} \ $変換と$ \ \mathrm {Y – \Delta} \ $変換
a.$ \ \mathrm {\Delta – Y} \ $変換
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {a}} &=& \frac {{\dot Z}_{\mathrm {ab}}{\dot Z}_{\mathrm {ca}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {b}} &=& \frac {{\dot Z}_{\mathrm {bc}}{\dot Z}_{\mathrm {ab}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {c}} &=& \frac {{\dot Z}_{\mathrm {ca}}{\dot Z}_{\mathrm {bc}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}}
\end{eqnarray}
\] b.$ \ \mathrm {Y – \Delta} \ $変換
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {ab}} &=& \frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {bc}} &=& \frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {ca}} &=& \frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {b}}}
\end{eqnarray}
\]

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　　Y⇔Δ回路のインピーダンス変換式

【解答】

(1)解答：ハ
ワンポイント解説「1.不平衡負荷の$ \ \mathrm {\Delta – Y} \ $変換と$ \ \mathrm {Y – \Delta} \ $変換」より，回路$ \ \mathrm {a-b-c} \ $に「$ \ \mathrm {\Delta – Y} \ $変換」を適用すると，
\[
\begin{eqnarray}
{R}_{\mathrm {a}} &=& \frac {{R}_{\mathrm {x}}\left( 2-R_{\mathrm {x}}\right) }{{R}_{\mathrm {x}}+2+\left( 2-R_{\mathrm {x}}\right) } \\[ 5pt ] &=& \frac {-R_{\mathrm {x}}^{2}+2R_{\mathrm {x}}}{4}
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答：ワ
$ \ R_{\mathrm {b}} \ $は，(1)と同様に「$ \ \mathrm {\Delta – Y} \ $変換」をして，抵抗$ \ 3-R_{\mathrm {x}} \ $を合成したものであるから，
\[
\begin{eqnarray}
{R}_{\mathrm {b}} &=& \frac {{R}_{\mathrm {x}}\cdot 2 }{{R}_{\mathrm {x}}+2+\left( 2-R_{\mathrm {x}}\right) }+3-R_{\mathrm {x}} \\[ 5pt ] &=& \frac {R_{\mathrm {x}}}{2}+3-R_{\mathrm {x}} \\[ 5pt ] &=& \frac {-R_{\mathrm {x}}+6}{2}
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答：ロ
$ \ R_{\mathrm {c}} \ $は，(1)，(2)と同様に「$ \ \mathrm {\Delta – Y} \ $変換」をして，抵抗$ \ R_{\mathrm {x}} \ $を合成したものであるから，
\[
\begin{eqnarray}
{R}_{\mathrm {c}} &=& \frac {2\left( 2-R_{\mathrm {x}}\right) }{{R}_{\mathrm {x}}+2+\left( 2-R_{\mathrm {x}}\right) }+R_{\mathrm {x}} \\[ 5pt ] &=& \frac {-R_{\mathrm {x}}+2}{2}+R_{\mathrm {x}} \\[ 5pt ] &=& \frac {R_{\mathrm {x}}+2}{2}
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：ヌ
図2より，回路全体の合成抵抗$ \ R_{\mathrm {ad}} \ $は，
\[
R_{\mathrm {ad}}=R_{\mathrm {a}}+\frac {R_{\mathrm {b}}R_{\mathrm {c}}}{R_{\mathrm {b}}+R_{\mathrm {c}}}
\] であるから，(1)～(3)より$ \ R_{\mathrm {a}} \ $，$ \ R_{\mathrm {b}} \ $，$ \ R_{\mathrm {c}} \ $にそれぞれ解答式を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
R_{\mathrm {ad}} &=& R_{\mathrm {a}}+\frac {R_{\mathrm {b}}R_{\mathrm {c}}}{R_{\mathrm {b}}+R_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ] &=& \frac {-R_{\mathrm {x}}^{2}+2R_{\mathrm {x}}}{4}+\frac {\displaystyle \frac {-R_{\mathrm {x}}+6}{2}\cdot \frac {R_{\mathrm {x}}+2}{2}}{\displaystyle \frac {-R_{\mathrm {x}}+6}{2}+\frac {R_{\mathrm {x}}+2}{2}} \\[ 5pt ] &=& \frac {-R_{\mathrm {x}}^{2}+2R_{\mathrm {x}}}{4}+\frac {-R_{\mathrm {x}}^{2}+4R_{\mathrm {x}}+12}{16} \\[ 5pt ] &=& \frac {-5R_{\mathrm {x}}^{2}+12R_{\mathrm {x}}+12}{16}
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答：ヘ
$ \ R_{\mathrm {ad}} \ $が最大値となるためには，$ \ \displaystyle \frac {\mathrm {d} R_{\mathrm {ad}}}{\mathrm {d} R_{\mathrm {x}}}=0 \ $とならなければならない。よって，(4)の解答式の両辺を微分して，$ \ \displaystyle \frac {\mathrm {d} R_{\mathrm {ad}}}{\mathrm {d} R_{\mathrm {x}}}=0 \ $となる$ \ R_{\mathrm {x}} \ $を求めると，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d} R_{\mathrm {ad}}}{\mathrm {d} R_{\mathrm {x}}} = \frac {1}{16}\left( -10R_{\mathrm {x}}+12\right) &=& 0\\[ 5pt ] ∴　　R_{\mathrm {x}}&=& 1.2
\end{eqnarray}
\] と求められる。

※ブリッジの平衡条件と一致しています。