【問題】
【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）
次の微分方程式で表されるシステムについて，次の問に答えよ。ただし，上付添字\(\mathrm {T}\)は転置を表し，\(\boldsymbol I\)は単位行列を表す。
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}x_{1}(t)}{\mathrm {d}t} &=& -4x_{1}(t)-6x_{2}(t)-2u(t) \\[ 5pt ]
\frac {\mathrm {d}x_{2}(t)}{\mathrm {d}t} &=& 3x_{1}(t)+5x_{2}(t)+3u(t) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
(1) 制御入力を\(u(t)\)，状態変数を\(\displaystyle x(t)=\left[ x_{1}(t) x_{2}(t) \right] \ ^{\mathrm {T}}\)として，このシステムを次に示す状態方程式の形で表すとき，\(\boldsymbol A\)及び\(\boldsymbol b\)を求めよ。
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}x(t)}{\mathrm {d}t} &=& \boldsymbol A x(t)+\boldsymbol b u(t) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
(2) 制御入力を零としたときのシステムの安定性を特性方程式の根を計算することで判別せよ。
(3) システムの可制御性を可制御性行列を用いて判別せよ。
(4) 制御入力\(u(t)\)を次の状態フィードバック
\[
u(t)=-\boldsymbol f x(t)， \boldsymbol f =\left( f_{1} f_{2}\right)
\]
で与える。フィードバック制御系の特性多項式\(\mathrm {det}\left[ s \boldsymbol I -( \boldsymbol A -\boldsymbol b \boldsymbol f ) \right]\)を\(f_{1}\)及び\(f_{2}\)を用いて表せ。
(5) フィードバック制御系の特性根を\(-2±j\)に配置するための\(f_{1}\)及び\(f_{2}\)を求めよ。
【ワンポイント解説】
一種ではよく出題される現代制御理論に関する問題です。ある程度パターン化されているので，類題が出題される可能性が高いです。
1.行列の安定性
行列の固有値の実数部が正となるものが一つ以上ある場合，実数部が0となるものが二つ以上ある場合，二対以上の共役な純虚数が存在する場合，不安定となります。
行列\(\boldsymbol A =\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\)の固有値は，単位行列\(\boldsymbol I =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)とすると，\(\left| s\boldsymbol I-\boldsymbol A \right|=0\)の解です。具体的には，
\[
\begin{eqnarray}
\left| s\boldsymbol I-\boldsymbol A \right| &=& 0 \\[ 5pt ]
\left| s\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \right| &=& 0 \\[ 5pt ]
\begin{vmatrix} s-a & -b \\ -c & s-d \end{vmatrix} &=& 0\\[ 5pt ]
\left( s-a \right) \left( s-d \right) -bc &=& 0 \\[ 5pt ]
s^{2}-\left( a+d \right) s+ad-bc &=& 0
\end{eqnarray}
\]
の\(s\)の解となります。
2.行列の可制御性
\[
\frac {\mathrm {d} \boldsymbol x\left( t \right) }{\mathrm {d}t} =\boldsymbol A\boldsymbol x\left( t\right)+\boldsymbol b u\left( t\right)
\]
が与えられているとき，可制御性行列\(\boldsymbol U_{c}=\begin{pmatrix} \boldsymbol b & \boldsymbol A \boldsymbol b \end{pmatrix}\)の\(\mathrm {rank} \ \boldsymbol U_{c}=n\)または\(\det \boldsymbol U_{c}≠0\)のとき可制御となります。
【解答】
(1)\(\boldsymbol A\)及び\(\boldsymbol b\)を求める
問題で与えられた式と比較すれば，
\[
\begin{eqnarray}
\begin{pmatrix} \displaystyle \frac {\mathrm {d}x_{1}(t)}{\mathrm {d}t} \\ \displaystyle \frac {\mathrm {d}x_{2}(t)}{\mathrm {d}t} \end{pmatrix} &=&\begin{pmatrix} -4 & -6 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} u(t) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，
\[
\begin{eqnarray}
\boldsymbol A &=& \begin{pmatrix} -4 & -6 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \\[ 5pt ]
\boldsymbol b &=& \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(2)システムの安定性を特性方程式の根を計算することで判別する
ワンポイント解説「1.行列の安定性」の通り特性方程式の根を計算すると，
\[
\begin{eqnarray}
\left| s\boldsymbol I-\boldsymbol A \right| &=& 0 \\[ 5pt ]
\left| \begin{pmatrix} s & 0 \\ 0 & s \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -4 & -6 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \right| &=& 0 \\[ 5pt ]
\begin{vmatrix} s+4 & 6 \\ -3 & s-5 \end{vmatrix} &=& 0\\[ 5pt ]
\left( s+4 \right) \left( s-5 \right) +18 &=& 0 \\[ 5pt ]
s^{2}-s-2 &=& 0 \\[ 5pt ]
(s+1)(s-2) &=& 0 \\[ 5pt ]
s &=& -1，2 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，固有値が正となるものがあるので，システムは不安定となる。
(3)システムの可制御性を可制御性行列を用いて判別する
\[
\begin{eqnarray}
\boldsymbol A \boldsymbol b &=& \begin{pmatrix} -4 & -6 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} \\[ 5pt ]
&=& \begin{pmatrix} -10 \\ 9 \end{pmatrix} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，ワンポイント解説「2.行列の可制御性」の通り可制御性行列を求めると，
\[
\begin{eqnarray}
\boldsymbol U_{c} &=& \begin{pmatrix} \boldsymbol b & \boldsymbol A \boldsymbol b \end{pmatrix} \\[ 5pt ]
&=& \begin{pmatrix} -2 & -10 \\ 3 & 9 \end{pmatrix} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {det} \boldsymbol U_{c} &=& \begin{vmatrix} -2 & -10 \\ 3 & 9\end{vmatrix} \\[ 5pt ]
&=& -18+30 \\[ 5pt ]
&=& 12 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，可制御である。
(4)フィードバック制御系の特性多項式\(\mathrm {det}\left[ s \boldsymbol I -( \boldsymbol A -\boldsymbol b \boldsymbol f ) \right]\)を\(f_{1}\)及び\(f_{2}\)を用いて表す
\[
\begin{eqnarray}
s \boldsymbol I -( \boldsymbol A -\boldsymbol b \boldsymbol f ) &=& \begin{bmatrix} s & 0 \\ 0 & s \end{bmatrix}-\left( \begin{bmatrix} -4 & -6 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} -\begin{bmatrix} -2 \\ 3 \end{bmatrix} \left[ f_{1} \ f_{2} \right] \right) \\[ 5pt ]
&=& \begin{bmatrix} s & 0 \\ 0 & s \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} -4+2f_{1} & -6+2f_{2} \\ 3-3f_{1} & 5-3f_{2} \end{bmatrix} \\[ 5pt ]
&=& \begin{bmatrix} s+4-2f_{1} & 6-2f_{2} \\ -3+3f_{1} & s-5+3f_{2} \end{bmatrix} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {det}\left[ s \boldsymbol I -( \boldsymbol A -\boldsymbol b \boldsymbol f ) \right] &=& \left( s+4-2f_{1}\right) \left( s-5+3f_{2}\right) – \left( 6-2f_{2}\right) \left( -3+3f_{1}\right) \\[ 5pt ]
&=& s^{2}+\left( -2f_{1}+3f_{2}-1\right) s -8f_{1}+6f_{2}-2 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(5)フィードバック制御系の特性根を\(-2±\mathrm {j}\)に配置するための\(f_{1}\)及び\(f_{2}\)
\(\mathrm {det}\left[ s \boldsymbol I -( \boldsymbol A -\boldsymbol b \boldsymbol f ) \right] =0\)の根が\(s=-2±\mathrm {j}\)となるため，
\[
\begin{eqnarray}
\left( s+2+\mathrm {j} \right) \left( s+2-\mathrm {j} \right) &=& \left( s+2\right) ^{2} +1 \\[ 5pt ]
&=& s^{2}+4 s +5 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の各係数が(4)の解答と等しくなければならない。よって，
\[
\begin{eqnarray}
-2f_{1}+3f_{2}-1 &=& 4 \\[ 5pt ]
-8f_{1}+6f_{2}-2 &=& 5 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，これを解くと，
\[
f_{1} = \frac {3}{4}，f_{2} = \frac {13}{6}
\]
と求められる。
愛知県出身 愛称たけちゃん