【問題】
【難易度】★★★☆☆（普通）
次の文章は，直流回路に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選びなさい。
図に示す電圧源\( \ E_{1} \ \)，\( \ E_{2} \ \)，\( \ E_{3} \ \)及び抵抗\( \ R_{1} \ \)，\( \ R_{2} \ \)，\( \ R_{3} \ \)，\( \ R_{4} \ \)，\( \ R_{5} \ \)，\( \ R_{6} \ \)を接続した回路において，網目電流(閉路電流)\( \ I_{1} \ \)，\( \ I_{2} \ \)，\( \ I_{3} \ \)を図のようにとると，これらに関する網目方程式は次式のように表される。
\[
\begin{pmatrix}
\fbox { （１） } & -R_{5} & R_{6} \\
-R_{5} & R_{2}+R_{4}+R_{5} & \fbox { （２） } \\
R_{6} & \fbox { （２） } & \fbox { （３） }
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I_{1} \\
I_{2} \\
I_{3}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
E_{1}-E_{2}+E_{3} \\
E_{2} \\
E_{3}
\end{pmatrix}
\]
次に，\( \ R_{1}=R_{2}=R_{3}=R_{4}=R_{5}=R_{6}=R \ \)として，このときの電流\( \ I_{1} \ \)及び\( \ R_{4} \ \)に流れる電流\( \ I_{4} \ \)を\( \ E_{1} \ \)，\( \ E_{2} \ \)，\( \ E_{3} \ \)及び\( \ R \ \)を用いて表せば，\( \ I_{1}= \ \fbox { （４） } \ \)，\( \ I_{4}= \ \fbox { （５） } \ \)となる。
〔問3の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）& R_{3}+R_{4}+R_{6} &（ロ）& R_{1}+R_{5}+R_{6} &（ハ）& \frac {E_{2}-E_{3}}{4R} \\[ 5pt ]
&（ニ）& \frac {4E_{1}-E_{2}-E_{3}}{8R} &（ホ）& \frac {2E_{1}-E_{2}+E_{3}}{8R} &（ヘ）& R_{1}-R_{5}+R_{6} \\[ 5pt ]
&（ト）& \frac {E_{1}-E_{2}+E_{3}}{4R} &（チ）& R_{3}+R_{4} &（リ）& -R_{4} \\[ 5pt ]
&（ヌ）& -R_{1}+R_{5}+R_{6} &（ル）& \frac {2E_{1}-E_{2}+E_{3}}{4R} &（ヲ）& R_{4} \\[ 5pt ]
&（ワ）& R_{3}-R_{4}+R_{6} &（カ）& \frac {E_{2}+E_{3}}{4R} &（ヨ）& R_{3}+R_{4}-R_{6}
\end{eqnarray}
\]
【ワンポイント解説】
３×３の逆行列が導出できるかが肝となる問題です。逆行列の求め方が分からない場合は，連立方程式を解けば何とか導き出せると思います。
1.逆行列の導出（掃出法）
２×２の行列では逆行列の公式がありますが，それ以上の行列では自分で計算して導出する必要があります。
\(\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{pmatrix}\)の逆行列は，
\[
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & 1 & 0 & 0 \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & 0 & 1 & 0 \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\]
と置いて，行の足し算引き算等を繰り返して，
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & b_{11} & b_{12} & b_{13} \\
0 & 1 & 0 & b_{21} & b_{22} & b_{23} \\
0 & 0 & 1 & b_{31} & b_{32} & b_{33}
\end{pmatrix}
\]
のように変換した時の\(
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} & b_{13} \\
b_{21} & b_{22} & b_{23} \\
b_{31} & b_{32} & b_{33}
\end{pmatrix}
\)
が逆行列となります。
【解答】
(1)解答：ロ
問題図の\( \ I_{1} \ \)で示されているループの回路方程式は，
\[
\begin{eqnarray}
E_{1}-R_{1}I_{1}-R_{5}\left( I_{1}-I_{2}\right) -E_{2}-R_{6}\left( I_{1}+I_{3}\right) +E_{3} &=& 0 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
\left( R_{1}+R_{5}+R_{6}\right) I_{1} -R_{5}I_{2}+R_{6}I_{3} &=& E_{1}-E_{2}+E_{3} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。問題の行列の一行目の式と比較すると，(1)は\( \ R_{1}+R_{5}+R_{6} \ \)となる。
(2)解答：ヲ
問題図の\( \ I_{2} \ \)で示されているループの回路方程式は，
\[
\begin{eqnarray}
E_{2}-R_{5}\left( I_{2}-I_{1}\right) -R_{2}I_{2}-R_{4}\left( I_{2}+I_{3}\right) &=& 0 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
-R_{5}I_{1} +\left( R_{2}+R_{4}+R_{5}\right) I_{2}+R_{4}I_{3} &=& E_{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。問題の行列の二行目の式と比較すると，(2)は\(R_{4}\)となる。
(3)解答：イ
問題図の\( \ I_{3} \ \)で示されているループの回路方程式は，
\[
\begin{eqnarray}
E_{3}-R_{3}I_{3}-R_{4}\left( I_{2}+I_{3}\right) – R_{6}\left( I_{1}+ I_{3}\right) &=& 0 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
R_{6}I_{1} +R_{4}I_{2}+\left( R_{3}+R_{4}+R_{6}\right) I_{3} &=& E_{3} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。問題の行列の三行目の式と比較すると，(3)は\( \ R_{3}+R_{4}+R_{6} \ \)となる。
(4)解答：ル
題意より，\( \ R_{1}=R_{2}=R_{3}=R_{4}=R_{5}=R_{6}=R \ \)であるので，網目方程式は以下の通りとなる。
\[
\begin{pmatrix}
3R & -R & R \\
-R & 3R & R \\
R & R & 3R
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I_{1} \\
I_{2} \\
I_{3}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
E_{1}-E_{2}+E_{3} \\
E_{2} \\
E_{3}
\end{pmatrix}
\]
となる。これより，
\[
\begin{pmatrix}
I_{1} \\
I_{2} \\
I_{3}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3R & -R & R \\
-R & 3R & R \\
R & R & 3R
\end{pmatrix}
^{-1}
\begin{pmatrix}
E_{1}-E_{2}+E_{3} \\
E_{2} \\
E_{3}
\end{pmatrix}
\]
の関係が成立するので，ワンポイント解説「1.逆行列の導出（掃出法）」により，\( \ \begin{pmatrix}
3R & -R & R \\
-R & 3R & R \\
R & R & 3R
\end{pmatrix} \ \)の逆行列を求める。
\[
\begin{pmatrix}
3R & -R & R & 1 & 0 & 0 \\
-R & 3R & R & 0 & 1 & 0 \\
R & R & 3R & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\]
１行目-２行目を１行目，２行目+３行目を２行目にすると，
\[
\begin{pmatrix}
4R & -4R & 0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 4R & 4R & 0 & 1 & 1 \\
R & R & 3R & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\]
となる。３行目×４-１行目を３行目にすると，
\[
\begin{pmatrix}
4R & -4R & 0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 4R & 4R & 0 & 1 & 1 \\
0 & 8R & 12R & -1 & 1 & 4
\end{pmatrix}
\]
となる。２行目×３-３行目を２行目，３行目-２行目×２を３行目とすると，
\[
\begin{pmatrix}
4R & -4R & 0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 4R & 0 & 1 & 2 & -1 \\
0 & 0 & 4R & -1 & -1 & 2
\end{pmatrix}
\]
となる。１行目+２行目を１行目にすると，
\[
\begin{pmatrix}
4R & 0 & 0 & 2 & 1 & -1 \\
0 & 4R & 0 & 1 & 2 & -1 \\
0 & 0 & 4R & -1 & -1 & 2
\end{pmatrix}
\]
となる。全体を\( \ 4R \ \)で割ると，
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \frac {1}{2R} & \frac {1}{4R} & -\frac {1}{4R} \\
0 & 1 & 0 & \frac {1}{4R} & \frac {1}{2R} & -\frac {1}{4R} \\
0 & 0 & 1 & -\frac {1}{4R} & -\frac {1}{4R} & \frac {1}{2R}
\end{pmatrix}
\]
となるので，
\[
\begin{eqnarray}
\begin{pmatrix}
I_{1} \\
I_{2} \\
I_{3}
\end{pmatrix}
&=&
\begin{pmatrix}
3R & -R & R \\
-R & 3R & R \\
R & R & 3R
\end{pmatrix}
^{-1}
\begin{pmatrix}
E_{1}-E_{2}+E_{3} \\
E_{2} \\
E_{3}
\end{pmatrix} \\[ 5pt ]
&=&
\begin{pmatrix}
\frac {1}{2R} & \frac {1}{4R} & -\frac {1}{4R} \\
\frac {1}{4R} & \frac {1}{2R} & -\frac {1}{4R} \\
-\frac {1}{4R} & -\frac {1}{4R} & \frac {1}{2R}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
E_{1}-E_{2}+E_{3} \\
E_{2} \\
E_{3}
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
\]
となる。よって，\( \ I_{1} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{1} &=& \frac {1}{2R}\left( E_{1}-E_{2}+E_{3}\right) +\frac {1}{4R}\cdot E_{2}-\frac {1}{4R}\cdot E_{3} \\[ 5pt ]
&=&\frac {2E_{1}-E_{2}+E_{3}}{4R}
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(5)解答：カ
(4)の逆行列の結果より，
\[
\begin{eqnarray}
I_{4} &=& I_{2}+I_{3} \\[ 5pt ]
&=& \frac {1}{4R}\left( E_{1}-E_{2}+E_{3}\right) +\frac {1}{2R}\cdot E_{2}-\frac {1}{4R}\cdot E_{3} -\frac {1}{4R}\left( E_{1}-E_{2}+E_{3}\right) -\frac {1}{4R}\cdot E_{2}+\frac {1}{2R}\cdot E_{3} \\[ 5pt ]
&=&\frac {E_{2}+E_{3}}{4R}
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
愛知県出身 愛称たけちゃん