《理論》〈電気回路〉[H29:問6] 2端子対抵抗回路に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆(やや難しい)

次の文章は,直流電源と\( \ 2 \ \)端子対抵抗回路に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。

図のように,\( \ 3 \ \)種類の直流電圧源\( \ \alpha E \ \),\( \ (1-\alpha )E \ \),\( \ E \ \)に同一の\( \ 2 \ \)端子対回路\( \ N \ \)を\( \ 2 \ \)段接続し,それぞれ異なる抵抗で終端した。図1,図2の回路では,
\[
\frac {V^{\prime}_{0}}{I^{\prime}_{0}}=\frac {V^{\prime}_{1}}{I^{\prime}_{1}}=\frac {V^{\prime}_{2}}{I^{\prime}_{2}}=5 \ \Omega, \frac {V^{\prime\prime}_{0}}{I^{\prime\prime}_{0}}=\frac {V^{\prime\prime}_{1}}{I^{\prime\prime}_{1}}=\frac {V^{\prime\prime}_{2}}{I^{\prime\prime}_{2}}=-4 \ \Omega \ ・・・・・・・①
\] が成立する。更に,分圧比,分流比の計算から,定数\( \ \lambda \ \)を用いて,①式の電圧,電流は,以下の等比数列で表すことができる。
\[
V^{\prime}_{k}=\lambda ^{-k}\alpha E,I^{\prime}_{k}=\lambda ^{-k}\frac {\alpha E}{5},k=0,1,2 ・・・・・・・・・・・・・・②
\] \[
V^{\prime\prime}_{k}=\lambda ^{k}(1-\alpha )E,I^{\prime\prime}_{k}=-\lambda ^{k}\frac {(1-\alpha )E}{4},k=0,1,2 ・・・・・・・・③
\] ここで,\( \ \lambda =\fbox {  (1)  } \ \)であり,\( \ \lambda \ \)とその逆数\( \ \lambda ^{-1} \ \)は,図の\( \ 2 \ \)端子対回路\( \ \mathrm {N} \ \)の\( \ \fbox {  (2)  } \ \)の固有値である。
次に,図3の回路を解析する。任意の抵抗\( \ R \ \)に対し,図3の電圧\( \ V_{k} \ \)は図1の電圧\( \ V^{\prime}_{k} \ \)と図2の電圧\( \ V^{\prime\prime}_{k} \ \)の和で,図3の電流\( \ I_{k} \ \)は図1の電流\( \ I^{\prime }_{k} \ \)と図2の電流\( \ I^{\prime\prime}_{k} \ \)の和で,それぞれ表すことができる。
\[
V_{k}=V^{\prime}_{k}+V^{\prime\prime}_{k},I_{k}=I^{\prime }_{k}+I^{\prime\prime}_{k},k=0,1,2 ・・・・・・・・・・・・・・④
\] ただし,\( \ \alpha \ \)は,図3の終端で④式の\( \ V_{2} \ \)と\( \ I_{2} \ \)が\( \ \fbox {  (3)  } \ \)の法則を満たす定数であり,\( \ \displaystyle \frac {V_{2}}{I_{2}}=\frac {V^{\prime}_{2}+V^{\prime\prime}_{2}}{I^{\prime }_{2}+I^{\prime\prime}_{2}}=R \ \)の式から一意に決定できる。例えば,\( \ R=0 \ \Omega \ \)(短絡)のときは,④式で\( \ V_{2}=V^{\prime}_{2}+V^{\prime\prime}_{2}=0 \ \)となる。この式に\( \ \lambda =\fbox {  (1)  } \ \)と,\( \ k=2 \ \)のときの②式及び③式を代入すると,\( \ \alpha =\fbox {  (4)  } \ \)を得る。これにより電流\( \ I_{0} \ \)は,\( \ I_{0}=I^{\prime }_{0}+I^{\prime\prime}_{0}=\fbox {  (5)  } \ [\mathrm {A}] \ \)となる。
なお,以上の解析法は,回路の段数が\( \ 3 \ \)段以上の場合にも適用できる。

〔問6の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&(イ)& \frac {15}{13}   &(ロ)& オーム   &(ハ)& 3 \\[ 5pt ] &(ニ)& \mathrm {Z}行列   &(ホ)& \frac {23}{100}E   &(ヘ)& ジュール \\[ 5pt ] &(ト)& 4   &(チ)& アンペール    &(リ)& \frac {16}{15} \\[ 5pt ] &(ヌ)& -\frac {13}{16}   &(ル)& \mathrm {F}行列   &(ヲ)& \frac {19}{100}E \\[ 5pt ] &(ワ)& \frac {21}{100}E   &(カ)& \mathrm {S}行列   &(ヨ)& 2
\end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

近年出題が見られないような問題です。問題文をきちんと読解すれば,(1),(4),(5)は回路計算で解決できます。\(\mathrm {Z}\)行列と\(\mathrm {F}\)行列の定義を本問で理解しておきましょう。

1.\( \ \mathrm {Z}\)行列と\( \ \mathrm {F}\)行列
\( \ 2 \ \)端子対回路は以下のように定義されます。
a.\( \ \mathrm {Z} \ \)行列
図1の回路において\( \ \mathrm {Z} \ \)行列は,
\[
\begin{bmatrix} \dot V_{1} \\ \dot V_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\dot Z}_{11} & {\dot Z}_{12} \\ {\dot Z}_{21} & {\dot Z}_{22} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \dot I_{1} \\ \dot I_{2} \end{bmatrix}
\] となり,各\( \ \mathrm {Z} \ \)パラメータは,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{11} = {{\dot V}_{1} \abovewithdelims . | 0.5pt {\dot I}_{1}}_{{\dot I}_{2}=0} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{12} = {{\dot V}_{1} \abovewithdelims . | 0.5pt {\dot I}_{2}}_{{\dot I}_{1}=0} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{21} = {{\dot V}_{2} \abovewithdelims . | 0.5pt {\dot I}_{1}}_{{\dot I}_{2}=0} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{22} = {{\dot V}_{2} \abovewithdelims . | 0.5pt {\dot I}_{2}}_{{\dot I}_{1}=0}
\end{eqnarray}
\] で求められます。

b.\( \ \mathrm {F} \ \)行列
図2の回路において(\( \ {\dot I}_{2} \ \)の電流の向きに注意して下さい。),\( \ \mathrm {F} \ \)行列は,
\[
\begin{bmatrix} {\dot V}_{1} \\ {\dot I}_{1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \dot A & \dot B \\ \dot C & \dot D \end{bmatrix}\begin{bmatrix} {\dot V}_{2} \\ {\dot I}_{2} \end{bmatrix}
\] となり,各\( \ \mathrm {F} \ \)パラメータは,
\[
\begin{eqnarray}
\dot A = {{\dot V}_{1} \abovewithdelims . | 0.5pt {\dot V}_{2}}_{{\dot I}_{2}=0} \\[ 5pt ] \dot B = {{\dot V}_{1} \abovewithdelims . | 0.5pt {\dot I}_{2}}_{{\dot V}_{2}=0} \\[ 5pt ] \dot C = {{\dot I}_{1} \abovewithdelims . | 0.5pt {\dot V}_{2}}_{{\dot I}_{2}=0} \\[ 5pt ] \dot D = {{\dot I}_{1} \abovewithdelims . | 0.5pt {\dot I}_{2}}_{{\dot V}_{1}=0}
\end{eqnarray}
\] で求められます。

2.\( \ \mathrm {F} \ \)行列の固有値
\( \ \mathrm {F} \ \)行列の固有値\( \ \lambda \ \)は,\( \ \mathrm{ det }\left( \dot F-\lambda \dot E\right) =0 \ \)で求められます。すなわち,
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm{ det }\left( \dot F-\lambda \dot E\right) &=& 0 \\[ 5pt ] \mathrm{ det } \begin{pmatrix} A-\lambda & B \\ C & D-\lambda \end{pmatrix}&=& 0 \\[ 5pt ] (A-\lambda)(D-\lambda)-BC &=& 0
\end{eqnarray}
\] で求められる\( \ \lambda \ \)が固有値となります。

【解答】

(1)解答:ヨ
図1の回路において,\( \ {V_{0}}^{\prime } \ \)から右側,\( \ {V_{1}}^{\prime } \ \)から右側の合成抵抗が\( \ 5 \ \Omega \ \)であるから,
\[
{I_{0}}^{\prime }=2{I_{1}}^{\prime }=4{I_{2}}^{\prime } ・・・⑤
\] となる。また,\( \ {V_{1}}^{\prime } \ \)は,
\[
{V_{1}}^{\prime }={V_{0}}^{\prime }-2{I_{0}}^{\prime }-{I_{1}}^{\prime }
\] であるから,①,⑤,\( \ {V_{0}}^{\prime }=\alpha E \ \)を用いて整理すると,
\[
\begin{eqnarray}
{V_{1}}^{\prime } &=& {V_{0}}^{\prime }-2{I_{0}}^{\prime }-\frac {{I_{0}}^{\prime }}{2} \\[ 5pt ] &=& {V_{0}}^{\prime }-\frac {5}{2}{I_{0}}^{\prime } \\[ 5pt ] &=& {V_{0}}^{\prime }-\frac {1}{2}{V_{0}}^{\prime } \\[ 5pt ] &=& \frac {1}{2}{V_{0}}^{\prime }
\end{eqnarray}
\] となるので,\( \ \lambda =2 \ \)と求められる。

※ 他の回路も同様に求められます。以下参考として,図の回路の\( \ \mathrm {F} \ \)行列を求めます。
回路図のNについて,
\[
\begin{bmatrix} {\dot V}_{1} \\ {\dot I}_{1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}\begin{bmatrix} {\dot V}_{2} \\ {\dot I}_{2} \end{bmatrix}
\] とおくと,各\( \ \mathrm {F} \ \)パラメータは,
\[
\begin{eqnarray}
\dot A &=& {{\dot V}_{1} \abovewithdelims . | 0.5pt {\dot V}_{2}}_{{\dot I}_{2}=0}=\frac {2+6}{6}=\frac {4}{3} \\[ 5pt ] \dot B &=& {{\dot V}_{1} \abovewithdelims . | 0.5pt {\dot I}_{2}}_{{\dot V}_{2}=0}=\frac {\displaystyle 2\times \frac {6+1}{6\times 1}{\dot I}_{2}+1\times {\dot I}_{2}}{{\dot I}_{2}}=\frac {10}{3}\Omega \\[ 5pt ] \dot C &=& {{\dot I}_{1} \abovewithdelims . | 0.5pt {\dot V}_{2}}_{{\dot I}_{2}=0}= \frac {{\dot I}_{1}}{6{\dot I}_{1}}=\frac {1}{6}S \\[ 5pt ] \dot D &=& {{\dot I}_{1} \abovewithdelims . | 0.5pt {\dot I}_{2}}_{{\dot V}_{1}=0}=\frac{{\dot I}_{1}}{\displaystyle \frac {6}{6+1}{\dot I}_{1}}=\frac {7}{6}
\end{eqnarray}
\] と求められる。\( \ \mathrm {F} \ \)行列の固有値\( \ \lambda \ \)は,\( \ \mathrm{ det }\left( \dot F-\lambda \dot E\right) =0 \ \)で求められるから,
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm{ det }\left( \dot F-\lambda \dot E\right) &=& 0 \\[ 5pt ] \mathrm{ det } \begin{pmatrix} A-\lambda & B \\ C & D-\lambda \end{pmatrix} &=& 0 \\[ 5pt ] \mathrm{ det } \begin{pmatrix} \displaystyle \frac {4}{3}-\lambda & \displaystyle \frac {10}{3} \\ \displaystyle \frac {1}{6} & \displaystyle \frac {7}{6}-\lambda \end{pmatrix} &=& 0 \\[ 5pt ] \left( \frac {4}{3}-\lambda \right) \left( \frac {7}{6}-\lambda \right)-\frac {10}{3}\cdot \frac {1}{6} &=& 0 \\[ 5pt ] \lambda ^{2}-\frac {5}{2}\lambda +1 &=& 0 \\[ 5pt ] \lambda &=& 2, \frac {1}{2}
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答:ル
(1)の通り,\( \ \lambda \ \)と\( \ \lambda ^{-1} \ \)は\( \ N \ \)の\( \ \mathrm {F} \ \)行列の固有値となります。

(3)解答:ロ
\( \ V_{2} \ \)と\( \ I_{2} \ \)の間に成り立つのはオームの法則です。電験一種だからもう少し難しい法則じゃないの!?といった問題です。(4点問題です。。。)

(4)解答:リ
\( \ V_{2}=V^{\prime}_{2}+V^{\prime\prime}_{2}=0 \ \)に,\( \ \lambda =2 \ \)と\( \ k=2 \ \)のときの②,③式を代入すると,
\[
\begin{eqnarray}
V^{\prime}_{2}+V^{\prime\prime}_{2} &=& 0 \\[ 5pt ] 2^{-2}\alpha E+2^{2} (1-\alpha ) E &=& 0 \\[ 5pt ] \frac {1}{4}\alpha +4-4\alpha &=& 0 \\[ 5pt ] \alpha &=& \frac {16}{15}
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答:ホ
②,③,\( \ \displaystyle \alpha =\frac {16}{15} \ \)から,
\[
\begin{eqnarray}
I_{0} &=& I^{\prime }_{0}+I^{\prime\prime}_{0} \\[ 5pt ] &=& \lambda ^{-k}\frac {\alpha E}{5}-\lambda ^{k}\frac {(1-\alpha )E}{4} \\[ 5pt ] &=& 2 ^{-0}\frac {\frac {16}{15} E}{5}-2 ^{0}\frac {(1-\frac {16}{15} )E}{4} \\[ 5pt ] &=& \frac {16}{75}E+\frac {1}{60}E \\[ 5pt ] &=& \frac {23}{100}E
\end{eqnarray}
\] と求められる。



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