《理論》〈電気回路〉[H26:問4]回路の過渡現象に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆(やや易しい)

次の文章は,回路の過渡現象に関する記述である。文中の\(\fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$}\)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選びなさい。

図のようにスイッチ\(\mathrm {S}\)と直流電流源\(I\),インダクタンス\(L\)のコイル,抵抗\(R\)及び\(r\)が接続されている。ただし\(r>R\)である。\(L\)に流れる電流\(i\)を,スイッチの動作が次の二つの場合においてそれぞれ求めたい。\(L\)の両端の電圧\(v\)を図のように定める。

a.時間\(t<0\)では,スイッチ\(\mathrm {S}\)は\(\mathrm {a}\)側であり,回路は定常状態である。\(t=0\)において\(\mathrm {S}\)を\(\mathrm {b}\)側に切り替えた。
\(t>0\)における\(i\)の時間的変化について考える。このとき,\(R\)と\(L\)は閉路になっている。よって,
\[
\begin{eqnarray}
Ri+v &=& 0       ・・・・・・・・・・① \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] ここで,\(\displaystyle v=L \frac {di}{dt}\)より
\[
\begin{eqnarray}
L \frac {di}{dt} + Ri &=& 0     ・・・・・・・・・・② \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] \(t=0\)のとき\(i=\fbox {  (1)  }\)より,②式を解くと
\[
\begin{eqnarray}
i=\fbox {  (2)  } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

b.時間\(t<0\)では,スイッチ\(\mathrm {S}\)は\(\mathrm {b}\)側であり,回路は定常状態である。\(t=0\)において\(\mathrm {S}\)を\(\mathrm {a}\)側に切り替えた。\(r\)に流れる電流を\(i_{1}\)とする。
\(t>0\)において
\[
\begin{eqnarray}
\left.
\begin{array}{l}
     i_{1} + i = I \\[ 5pt ]      Ri + v = \fbox {  (3)  }
\end{array}
\right\} ・・・・・・・・・・③
\end{eqnarray}
\] が成り立つ。\(t=0\)のときの\(i\)を考慮して\(t>0\)における\(i\)を求めると\(i=\fbox {  (4)  }\)となる。
また,\(i=i_{1}\)となる時刻\(T\)は\(T=\fbox {  (5)  }\)となる。

〔問4の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&(イ)& \frac {r}{R+r}Ie^{-\frac {R+r}{L}t}   &(ロ)& \frac {r}{r+R}Ie^{-\frac {R}{L}t}   &(ハ)& \frac {R}{r+R}I \\[ 5pt ] &(ニ)& r\left( I-i_{1}\right)   &(ホ)& \frac {L}{R+r}\ln \frac {2r}{r-R}   &(ヘ)& r\left( I+i_{1}\right) \\[ 5pt ] &(ト)& \frac {r}{R+r}I\left( 1-e^{-\frac {R+r}{L}t}\right)   &(チ)& ri_{1}   &(リ)& \frac {r}{r+R}I \\[ 5pt ] &(ヌ)& \frac {R}{r+R}Ie^{-\frac {R}{L}t}   &(ル)& Ie^{-\frac {R}{L}t}   &(ヲ)& \frac {2r}{R+r}I\left( 1-e^{-\frac {R+r}{L}t}\right) \\[ 5pt ] &(ワ)& \frac {1}{\left( R+r\right) L}\ln \frac {2r}{r-R}   &(カ)& I   &(ヨ)& \frac {L}{R+r}\ln \frac {R+r}{r}
\end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

過渡現象を変数分離により解く問題です。二種では比較的ポピュラーな内容であったと思います。電流源が入り,二種の時よりはやや高度となりますが,一種としては比較的易しい問題の部類に入ると思います。

1.過渡現象における\(RLC\)それぞれの電圧
線路に流れる電流を\(i\)とし,抵抗\(R\)の電圧\(V_{\mathrm{R}}\),リアクトル\(L\)の電圧\(V_{\mathrm{L}}\),リアクトル\(C\)の電圧\(V_{\mathrm{C}}\)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm{R}} &=& Ri \\[ 5pt ] V_{\mathrm{L}} &=& L\frac {di}{dt} \\[ 5pt ] V_{\mathrm{C}} &=& \frac {1}{C}\int i dt \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.過渡現象における定常解と過渡解
ⅰ.定常解を\(i_{\mathrm {s}}\),過渡解を\(i_{\mathrm {t}}\)とすると,電流値\(i\)は\(i=i_{\mathrm {s}}+i_{\mathrm {t}}\)となります。
ⅱ.定常解は電流の時間変化のない状態すなわち\(\displaystyle \frac {di_{\mathrm {s}}}{dt}=0\)とした時の解です。
ⅲ.過渡解はスイッチを入れた直後の解です。

3.自然対数の微分積分
①自然対数の微分
\[
\frac {dy}{dx} \ln {x} =\frac {1}{x} 
\] ②自然対数の積分
\[
\int \frac {1}{x} =\ln {x} + C \left( Cは積分定数\right)
\] \[
\ln {x}=-\alpha t +C \left( Cは積分定数\right)の時, x=Ae^{-\alpha t} \left( A=e^{C}\right)となります。
\]

【解答】

(1)解答:リ
\(t=0\)においてリアクトル\(L\)の電流変化\(\displaystyle \frac {di}{dt}=0\)であり\(v=0\)であるから,抵抗\(R\)を流れる電流\(i\)の大きさは,
\[
\begin{eqnarray}
i &=& \frac {r}{r+R}I \\[ 5pt ] 
\end{eqnarray}
\] となる。

(2)解答:ロ
②式を変数分離により解くと,
\[
\begin{eqnarray}
L\frac {di}{dt}+Ri &=& 0 \\[ 5pt ] L\frac {di}{dt} &=& -Ri \\[ 5pt ] \frac {1}{i}di &=& -\frac {R}{L}dt \\[ 5pt ] \int \frac {1}{i}di &=& \int -\frac {R}{L}dt \\[ 5pt ] 
\ln i &=& -\frac {R}{L}t +C \\[ 5pt ] i &=& Ae^{-\frac {R}{L}t} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。(1)より\(\displaystyle i ( 0 ) = \frac {r}{R+r}I\)であるから,\(\displaystyle A = \frac {r}{r+R}I\)となるので,
\[
\begin{eqnarray}
i &=& \frac {r}{r+R}Ie^{-\frac {R}{L}t} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答:チ
並列回路において回路の電圧降下は等しいので,
\[
\begin{eqnarray}
Ri +v &=& ri_{1} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。

(4)解答:ト
③より式を整理すると,
\[
\begin{eqnarray}
Ri +v &=& ri_{1} \\[ 5pt ] Ri +L\frac {di}{dt} &=& r\left( I- i\right) \\[ 5pt ] L\frac {di}{dt} +\left( R +r\right) i &=& rI \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。ワンポイント解説「2.過渡現象における定常解と過渡解」により,過渡解\(i_{\mathrm {t}}\)と定常解\(i_{\mathrm {s}}\)を求めると,
\[
\begin{eqnarray}
L\frac {di_{\mathrm {t}}}{dt} +\left( R +r\right) i_{\mathrm {t}} &=& 0 \\[ 5pt ] L\frac {di_{\mathrm {t}}}{dt} &=& -\left( R +r\right) i_{\mathrm {t}} \\[ 5pt ] \frac {1}{i_{\mathrm {t}}}di_{\mathrm {t}} &=& -\frac {R +r}{L} dt \\[ 5pt ] \int \frac {1}{i_{\mathrm {t}}}di_{\mathrm {t}} &=& \int -\frac {R +r}{L} dt \\[ 5pt ] \ln i_{\mathrm {t}} &=& -\frac {R +r}{L} t +C \\[ 5pt ] i_{\mathrm {t}} &=& Ae^{-\frac {R +r}{L} t} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] \[
\begin{eqnarray}
\left( R +r\right) i_{\mathrm {s}} &=& rI \\[ 5pt ] i_{\mathrm {s}} &=& \frac {r}{R+r}I \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので,一般解は,
\[
\begin{eqnarray}
i &=& i_{\mathrm {t}}+i_{\mathrm {s}} \\[ 5pt ] &=& Ae^{-\frac {R +r}{L} t}+\frac {r}{R+r}I \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。ここで,\(t=0\)の時\(i=0\)であるから,\(\displaystyle A=-\frac {r}{R+r}I\)となるので,
\[
\begin{eqnarray}
i &=& -\frac {r}{R+r}Ie^{-\frac {R +r}{L} t}+\frac {r}{R+r}I \\[ 5pt ] &=& \frac {r}{R+r}I\left( 1-e^{-\frac {R+r}{L}t}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答:ホ
\(i=i_{1}\)すなわち,\(\displaystyle i=\frac {I}{2}\)の時の時刻\(T\)は,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {I}{2} &=& \frac {r}{R+r}I\left( 1-e^{-\frac {R+r}{L}T}\right) \\[ 5pt ] \frac {R+r}{2r} &=& 1-e^{-\frac {R+r}{L}T} \\[ 5pt ] e^{-\frac {R+r}{L}T} &=& \frac {r-R}{2r} \\[ 5pt ] -\frac {R+r}{L}T &=& \ln \frac {r-R}{2r} \\[ 5pt ] T&=& -\frac {L}{R+r}\ln \frac {r-R}{2r} \\[ 5pt ] &=& \frac {L}{R+r}\ln \frac {2r}{r-R} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。



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