《理論》〈電子理論〉[H25:問4] pn接合ダイオードの電流に関する計算問題

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★☆☆☆☆（易しい）

次の文章は，$ \ \mathrm {pn} \ $接合ダイオードの電流に関するに関する記述である。文中の$ \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ $に当てはまるものを解答群の中から選びなさい。

$ \ \mathrm {pn} \ $接合ダイオードにおいて，平衡状態での$ \ \mathrm {n} \ $形半導体の正孔濃度を$ \ p_{\mathrm {n0}} \ $，温度を$ \ T \ $，ボルツマン定数を$ \ k \ $，単位電荷を$ \ q \ $とする。$ \ \mathrm {p} \ $形半導体の正孔濃度は$ \ \mathrm {n} \ $形半導体の電子濃度よりも十分大きく$ \ \mathrm {p} \ $形半導体の電子による拡散電流は無視できるものとする。$ \ \mathrm {pn} \ $接合部での空乏層が終わったところからの$ \ \mathrm {n} \ $半導体内の位置を$ \ x \ $とする。

電流が流れる方向に電圧$ \ V＞0 \ $が印加されると，$ \ x=0 \ $での$ \ \mathrm {n} \ $形半導体の正孔濃度は$ \ \displaystyle p_{\mathrm {n}}(0)=p_{\mathrm {n0}}\mathrm {exp} \left( \frac {qV}{kT}\right) \ $となる。

この正孔濃度は$ \ \mathrm {n} \ $形半導体内を拡散していくと同時に再結合により平衡状態に落ち着くが，位置$ \ x \ $での正孔濃度$ \ \displaystyle p_{\mathrm {n}}(x) \ $は拡散長$ \ L_{\mathrm {p}} \ $を使って$ \ \displaystyle p_{\mathrm {n}}(x)-p_{\mathrm {n0}}=\left[ p_{\mathrm {n}}(0)-p_{\mathrm {n0}}\right] \mathrm {exp} \left( -\frac {x}{L_{\mathrm {p}}}\right) \ $となる。正孔濃度の濃度勾配は位置$ \ x \ $により変わり，$ \ x \ $で微分することで$ \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}p_{\mathrm {n}}(x)}{\mathrm {d}x}=\fbox {　（１）　} \ $と求められる。この式の左辺に，負号，拡散定数$ \ D_{\mathrm {p}} \ $及び電荷を乗ずると，正孔による拡散電流は$ \ \fbox {　（２）　} \ $で表され，位置$ \ x \ $の関数となる。$ \ x \ $の増加に伴い拡散電流は再結合によって減少し，この減少分は電子によるドリフト電流成分となる。よって正孔により流れる電流は，拡散電流の最大値$ \ \fbox {　（３）　} \ $と等しく，かつ$ \ \displaystyle p_{\mathrm {n}}(0) \ $は$ \ V \ $の関数となるので，これを代入すると$ \ \fbox {　（４）　} \ $が正孔による電流となる。

電圧$ \ V \ $が負の場合を考える。この場合も同様の式が使えるが，電圧$ \ V \ $の絶対値がある程度大きな値では正孔による電流は$ \ \fbox {　（５）　} \ $となり，電圧に対して依存性を持たない逆方向飽和電流になることがわかる。

〔問4の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　-\frac {qp_{\mathrm {n0}}D_{\mathrm {p}}}{L_{\mathrm {p}}} \mathrm {exp} \left( -\frac {x}{L_{\mathrm {p}}}\right)　　　&（ロ）&　-q\frac {p_{\mathrm {n0}}D_{\mathrm {p}}}{L_{\mathrm {p}}}　　　&（ハ）&　L_{\mathrm {p}}p_{\mathrm {n}}(0)\mathrm {exp} \left( -\frac {x}{L_{\mathrm {p}}}\right) \\[ 5pt ] &（ニ）&　q\frac {p_{\mathrm {n0}}D_{\mathrm {p}}}{L_{\mathrm {p}}} \left[ \mathrm {exp} \left( \frac {qV}{kT}\right) -1\right]　　　&（ホ）&　q\frac {D_{\mathrm {p}}}{L_{\mathrm {p}}} \left[ p_{\mathrm {n}}(0)-p_{\mathrm {n0}}\right]　　　&（ヘ）&　q\frac {D_{\mathrm {p}}}{L_{\mathrm {p}}} p_{\mathrm {n}}(0) \\[ 5pt ] &（ト）&　-\frac {1}{L_{\mathrm {p}}} \left[ p_{\mathrm {n}}(0)-p_{\mathrm {n0}}\right] \mathrm {exp} \left( -\frac {x}{L_{\mathrm {p}}}\right)　　　&（チ）&　-\frac {p_{\mathrm {n0}}L_{\mathrm {p}}}{D_{\mathrm {p}}}　　　&（リ）&　qD_{\mathrm {p}} p_{\mathrm {n}}(0) \\[ 5pt ] &（ヌ）&　-\frac {qp_{\mathrm {n0}}D_{\mathrm {p}}}{L_{\mathrm {p}}} \frac {\mathrm {d}p_{\mathrm {n}}(x)}{\mathrm {d}x}　　　&（ル）&　-\frac {1}{L_{\mathrm {p}}} p_{\mathrm {n0}}\mathrm {exp} \left( -\frac {x}{L_{\mathrm {p}}}\right)　　　&（ヲ）&　-qD_{\mathrm {p}} \frac {\mathrm {d}p_{\mathrm {n}}(x)}{\mathrm {d}x} \\[ 5pt ] &（ワ）&　0　　　&（カ）&　q\frac {p_{\mathrm {n0}}D_{\mathrm {p}}}{L_{\mathrm {p}}} \mathrm {exp} \left( \frac {qV}{kT}\right)　　　&（ヨ）&　qp_{\mathrm {n0}}D_{\mathrm {p}} \mathrm {exp} \left( \frac {qV}{kT}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

半導体の濃度拡散に関する問題ですが，中身は数値計算と文章読解の問題となっています。半導体の知識がなくても解ける問題なので，一種としては易しい問題と言えると思います。

1.自然対数の微分積分
①自然対数の微分
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}x} \ln {x} &=&\frac {1}{x} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] ②自然対数の積分
\[
\begin{eqnarray}
\int \frac {1}{x} &=&\ln {x} + C \left( Cは積分定数\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] \[
\begin{eqnarray}
\ln {x} &=&-\alpha t +C \left( Cは積分定数\right)の時，　x=Ae^{-\alpha t} \left( A=e^{C}\right)となります。 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【解答】

(1)解答：ト
問題文より，$ \ \displaystyle p_{\mathrm {n}}(x)=\left[ p_{\mathrm {n}}(0)-p_{\mathrm {n0}}\right] \mathrm {exp} \left( -\frac {x}{L_{\mathrm {p}}}\right) +p_{\mathrm {n0}} \ $であるから，ワンポイント解説「1.自然対数の微分積分」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}p_{\mathrm {n}}(x)}{\mathrm {d}x} &=&-\frac {1}{L_{\mathrm {p}}}\left[ p_{\mathrm {n}}(0)-p_{\mathrm {n0}}\right] \mathrm {exp} \left( -\frac {x}{L_{\mathrm {p}}}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答：ヲ
題意より，正孔による拡散電流は，(1)式の左辺に，負号，拡散定数$ \ D_{\mathrm {p}} \ $及び電荷を乗じたものであるから，
\[
\begin{eqnarray}
-qD_{\mathrm {p}} \frac {\mathrm {d}p_{\mathrm {n}}(x)}{\mathrm {d}x} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答：ホ
(2)の解答に(1)の関係式を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
-qD_{\mathrm {p}} \frac {\mathrm {d}p_{\mathrm {n}}(x)}{\mathrm {d}x}&=&-qD_{\mathrm {p}} \times -\frac {1}{L_{\mathrm {p}}}\left[ p_{\mathrm {n}}(0)-p_{\mathrm {n0}}\right] \mathrm {exp} \left( -\frac {x}{L_{\mathrm {p}}}\right) \\[ 5pt ] &=&q \frac {D_{\mathrm {p}}}{L_{\mathrm {p}}}\left[ p_{\mathrm {n}}(0)-p_{\mathrm {n0}}\right] \mathrm {exp} \left( -\frac {x}{L_{\mathrm {p}}}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，拡散電流の最大値は上式に$ \ x=0 \ $を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
q \frac {D_{\mathrm {p}}}{L_{\mathrm {p}}}\left[ p_{\mathrm {n}}(0)-p_{\mathrm {n0}}\right] \mathrm {exp} \left( -\frac {0}{L_{\mathrm {p}}}\right) &=&q \frac {D_{\mathrm {p}}}{L_{\mathrm {p}}}\left[ p_{\mathrm {n}}(0)-p_{\mathrm {n0}}\right] \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：ニ
(3)の解答式に$ \ \displaystyle p_{\mathrm {n}}(0)=p_{\mathrm {n0}}\mathrm {exp} \left( \frac {qV}{kT}\right) \ $を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
q \frac {D_{\mathrm {p}}}{L_{\mathrm {p}}}\left[ p_{\mathrm {n}}(0)-p_{\mathrm {n0}}\right] &=&q \frac {D_{\mathrm {p}}}{L_{\mathrm {p}}}\left[ p_{\mathrm {n0}}\mathrm {exp} \left( \frac {qV}{kT}\right) -p_{\mathrm {n0}}\right] \\[ 5pt ] &=&q\frac {p_{\mathrm {n0}}D_{\mathrm {p}}}{L_{\mathrm {p}}} \left[ \mathrm {exp} \left( \frac {qV}{kT}\right) -1\right] \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答：ロ
(4)の解答式の$ \ V \ $に$ \ -V \ $を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
q\frac {p_{\mathrm {n0}}D_{\mathrm {p}}}{L_{\mathrm {p}}} \left[ -\mathrm {exp} \left( \frac {qV}{kT}\right) -1\right] \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，電圧$ \ V \ $の絶対値がある程度大きな値になると$ \ \displaystyle -\mathrm {exp} \left( \frac {qV}{kT}\right) \ $が無視できるようになるから，
\[
\begin{eqnarray}
-q\frac {p_{\mathrm {n0}}D_{\mathrm {p}}}{L_{\mathrm {p}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。