【問題】
【難易度】★★★★☆（やや難しい）
ある出力\( \ P \ \mathrm {[kW]} \ \)で運転中の水車発電機で負荷遮断が発生した。この水車調速機の閉鎖時間は\( \ t \ \)秒，不動時間は\( \ \tau \ \)秒であり，ガイドベーンの閉鎖時間特性は直線で表されるものとして，次の問に答えよ。ただし，損失は無視する。
(1) 負荷遮断からガイドベーンを閉鎖し終わるまでに水車発電機に与えられるエネルギー\( \ W \ \mathrm {[J]} \ \)を\( \ P \ \)，\( \ t \ \)及び\( \ \tau \ \)を用いて表せ。
(2) 出力運転中の回転速度を\( \ N_{\mathrm {i}} \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)，最大回転速度を\( \ N_{\mathrm {max}} \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)としたとき，水車発電機が最大回転速度に到達した時点の運動エネルギーと負荷遮断前の運動エネルギーの差を，水車発電機の慣性モーメント\( \ I \ \mathrm {[kg\cdot m^{2}]} \ \)を用いて表せ。なお，回転体の角速度を\( \ \omega \ \mathrm {[rad／s]} \ \)としたとき，その運動エネルギー\( \ W \ \mathrm {[J]} \ \)は\( \ \displaystyle W=\frac {1}{2}I\omega ^{2} \ \)で表される。
(3) 小問(1)及び小問(2)で求めたエネルギーは等しいことから，速度変動率\( \ \delta_{\mathrm {N}} \ \mathrm {[％]} \ \)を\( \ P \ \)，\( \ t \ \)，\( \ \tau \ \)，\( \ I \ \)及び定格回転速度\( \ N \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)を用いて表せ。ただし，\( \ N≒N_{\mathrm {i}} \ \)，\( \ N_{\mathrm {i}}+N_{\mathrm {max}}≒2N \ \)とし，\( \ \pi =3.1416 \ \)とする。
(4) 不動時間が\( \ 0.5 \ \)秒に調整された水車発電機において，\( \ 25 \ \mathrm {％} \ \)負荷での負荷遮断が発生したとき，閉鎖時間は\( \ 3 \ \)秒で速度変動率は\( \ 2 \ \mathrm {％} \ \)であった。そこで，調速機の閉鎖時間の再調整を実施した。その結果，\( \ 100 \ \mathrm {％} \ \)負荷での負荷遮断時の閉鎖時間は\( \ 4 \ \)秒であった。このときの速度変動率\( \ \mathrm {[％]} \ \)を小問(3)で得た式を用いて求めよ。
【ワンポイント解説】
機械的なエネルギーや近似の方法等受験生にその場で考えさせる１種らしい問題です。問題文をよく理解しながら解く必要があります。
1.角速度と回転数の関係
発電機や電動機が回転数\( \ N \ \)で回転している時の角速度\( \ \omega \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\omega &=& \frac {2\pi N}{60} \ \mathrm {[rad/s]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で求められます。
2.速度変動率
定格回転速度が\( \ N \ \)，最大回転速度が\( \ N_{\mathrm {m}} \ \)である時，速度変動率\( \ \delta \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\delta &=& \frac {N_{\mathrm {m}}- N}{N}\times 100 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で求められます。
【解答】
(1)負荷遮断からガイドベーンを閉鎖し終わるまでに水車発電機に与えられるエネルギー\( \ W \ \mathrm {[J]} \ \)
負荷遮断から\( \ \tau \ \)秒は不動時間なので，その間に与えられるエネルギー\( \ W_{\mathrm {\tau }} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
W_{\mathrm {\tau }}&=& P\times 10^{3} \tau \ \mathrm {[J]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であり，その後\( \ t \ \)秒をかけて直線的に閉鎖されていくので，閉鎖を開始してから\( \ x \ \)秒後の出力\( \ P_{\mathrm {x}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {x}}&=& -\frac {P\times 10^{3} }{t}x+P\times 10^{3} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。よって，閉鎖される間に与えられるエネルギー\( \ W_{\mathrm {t}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
W_{\mathrm {t}}&=& \int ^{t}_{0}P_{\mathrm {x}} \mathrm {d}x \\[ 5pt ]
&=& \int ^{t}_{0}\left( -\frac {P\times 10^{3} }{t}x+P\times 10^{3} \right) \mathrm {d}x \\[ 5pt ]
&=& \left[ -\frac {P\times 10^{3} }{2t}x^{2}+P\times 10^{3} x\right] ^{t}_{0} \\[ 5pt ]
&=&\frac {P\times 10^{3} t}{2} \ \mathrm {[J]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。したがって，負荷遮断からガイドベーンを閉鎖し終わるまでに水車発電機に与えられるエネルギーの合計\( \ W \ \mathrm {[J]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
W&=& W_{\mathrm {\tau }}+W_{\mathrm {t}} \\[ 5pt ]
&=& P\times 10^{3} \tau +\frac {P\times 10^{3} t}{2} \\[ 5pt ]
&=& \left( \tau +\frac {t}{2}\right)\times P\times 10^{3} \ \mathrm {[J]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(2)水車発電機が最大回転速度に到達した時点の運動エネルギーと負荷遮断前の運動エネルギーの差
題意より，運動エネルギー\( \ W \ \mathrm {[J]} \ \)は\( \ \displaystyle W=\frac {1}{2}I\omega ^{2} \ \)で表されるので，最大回転速度に到達した時点の運動エネルギーと負荷遮断前の運動エネルギーの差は，
\[
\begin{eqnarray}
W&=& \frac {1}{2}I\omega _{\mathrm {max}}^{2}-\frac {1}{2}I\omega _{\mathrm {i}}^{2} \\[ 5pt ]
&=& \frac {1}{2}I\left( \frac {2\pi N _{\mathrm {max}}}{60}\right) ^{2}-\frac {1}{2}I\left( \frac {2\pi N _{\mathrm {i}}}{60}\right) ^{2} \\[ 5pt ]
&=& \frac {1}{2}I\left( \frac {2\pi }{60}\right) ^{2}\left( N _{\mathrm {max}}^{2}-N _{\mathrm {i}}^{2}\right) \\[ 5pt ]
&=& \frac {\pi ^{2}I}{1800}\left( N _{\mathrm {max}}^{2}-N _{\mathrm {i}}^{2}\right) \ \mathrm {[J]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(3)速度変動率\( \ \delta_{\mathrm {N}} \ \mathrm {[％]} \ \)
(1)と(2)のエネルギーが等しいことから，
\[
\begin{eqnarray}
\left( \tau +\frac {t}{2}\right)\times P\times 10^{3}&=& \frac {\pi ^{2}I}{1800}\left( N _{\mathrm {max}}^{2}-N _{\mathrm {i}}^{2}\right) \\[ 5pt ]
1800\left( \tau +\frac {t}{2}\right)\times P\times 10^{3}&=& \pi ^{2}I\left( N _{\mathrm {max}}+N _{\mathrm {i}}\right) \left( N _{\mathrm {max}}-N _{\mathrm {i}}\right) \\[ 5pt ]
900\left( 2\tau +t\right)\times P\times 10^{3}&=& \pi ^{2}I\left( N _{\mathrm {max}}+N _{\mathrm {i}}\right) \left( N _{\mathrm {max}}-N _{\mathrm {i}}\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，題意より，\( \ N_{\mathrm {i}}≒N \ \)，\( \ N_{\mathrm {i}}+N_{\mathrm {max}}≒2N \ \)と近似できるので，
\[
\begin{eqnarray}
900\left( 2\tau +t\right)\times P\times 10^{3}&=& \pi ^{2}I\cdot 2N \left( N _{\mathrm {max}}-N \right) \\[ 5pt ]
450\left( 2\tau +t\right)\times P\times 10^{3}&=& \pi ^{2}IN \left( N _{\mathrm {max}}-N \right) \\[ 5pt ]
N _{\mathrm {max}}-N&=& \frac {450\left( 2\tau +t\right)\times P\times 10^{3}}{\pi ^{2}IN } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。上式とワンポイント解説「2.速度変動率」より，速度変動率\( \ \delta_{\mathrm {N}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\delta_{\mathrm {N}}&=& \frac {N _{\mathrm {max}}-N}{N}\times 100 \\[ 5pt ]
&=& \frac {450\left( 2\tau +t\right)\times P\times 10^{5}}{\pi ^{2}IN ^{2}}\\[ 5pt ]
&≒& \frac {4.5594\left( 2\tau +t\right)\times P\times 10^{6}}{IN ^{2}}\\[ 5pt ]
&→& \frac {4.56\left( 2\tau +t\right)\times P\times 10^{6}}{IN ^{2}} \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(4)\( \ 100 \ \mathrm {％} \ \)負荷での負荷遮断時の閉鎖時間が\( \ 4 \ \)秒であったときの速度変動率\( \ \mathrm {[％]} \ \)
(3)の解答式より，\( \ 25 \ \mathrm {％} \ \)負荷と\( \ 100 \ \mathrm {％} \ \)負荷の時の速度変動率の比は，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\delta_{\mathrm {N100}}}{\delta_{\mathrm {N25}}}&=& \frac {\displaystyle \frac {4.5594\left( 2\tau +t_{100}\right)\times P\times 10^{6}}{IN ^{2}}\times 100}{\displaystyle \frac {4.5594\left( 2\tau +t_{25}\right)\times 0.25 P\times 10^{6}}{IN ^{2}}\times 100} \\[ 5pt ]
\frac {\delta_{\mathrm {N100}}}{\delta_{\mathrm {N25}}}&=& \frac {\left( 2\tau +t_{100}\right)}{\left( 2\tau +t_{25}\right)\times 0.25} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。それぞれ値を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\delta_{\mathrm {N100}}}{2}&=& \frac {2\times 0.5+4}{\left( 2\times 0.5+3\right)\times 0.25} \\[ 5pt ]
\delta_{\mathrm {N100}}&=& \frac {\left( 2\times 0.5+4\right) \times 2}{\left( 2\times 0.5+3\right)\times 0.25} \\[ 5pt ]
&=&10 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
愛知県出身 愛称たけちゃん