《機械・制御》〈制御〉[H28:問4] 現代制御理論に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

次式で記述される制御対象について，次の問に答えよ。
\[
\boldsymbol {\dot x}\left( t \right) =\boldsymbol A\boldsymbol x\left( t\right)+\boldsymbol b u\left( t\right)
\] \[
\boldsymbol A =\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}，\boldsymbol b =\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}
\]

(1)　システム行列\(\boldsymbol A\)の固有値を計算して，\(u\left( t\right) =0\)のとき制御対象は不安定であることを示せ。

(2)　可制御性行列を計算することで，制御対象は不可制御であることを示せ。

(3)　この制御対象に状態フィードバック制御\(u\left( t\right) =-\boldsymbol f x\left( t\right) \)を施す。係数ベクトル\(\boldsymbol f\)を\(\boldsymbol f =\begin{pmatrix} f_{1} & f_{2} \end{pmatrix}\)として，閉ループ系のシステム行列\(\boldsymbol A-\boldsymbol b \boldsymbol f\)を求めよ。

(4)　閉ループ系の特性多項式\(\left| s\boldsymbol I-\boldsymbol A+\boldsymbol b \boldsymbol f\right| \)を，\(f_{1}\)と\(f_{2}\)を用いて表せ。指定したい特性多項式を\(P\left( s \right) =\left| s\boldsymbol I-\boldsymbol A+\boldsymbol b \boldsymbol f\right| =s^{2}+a_{1}s+a_{0}\)とおく。\(a_{0}\)と\(a_{1}\)を，\(f_{1}\)と\(f_{2}\)で表せ。

(5)　上記小問(4)で求めた関係式を\(f_{1}\)と\(f_{2}\)を求める方程式と考えるとき，この方程式が解をもつために，\(a_{0}\)と\(a_{1}\)が満たすべき条件を示せ。

(6)　上記小問(5)で求めた関係式を用いて\(P\left( s \right) =s^{2}+a_{1}s+a_{0}\)の係数\(a_{1}\)を代入消去したうえで，\(P\left( s \right) \)を因数分解せよ。この結果から，制御対象を安定化できることを示せ。

(7)　不安定な固有値を\(-2\)に移動することで制御対象を安定化せよ。これを実現する状態フィードバック係数ベクトル\(\boldsymbol f\)は無数に存在することを示せ。

【ワンポイント解説】

平成28年度の機械制御の問題は総じて難しい問題が多いですが，本問のみは時間内で完答可能となる易しい問題と言えます。現代制御は古典制御とは区別して覚える必要がある項目があります。よく理解して試験に臨んで下さい。

1.行列の安定性
行列の固有値の実数部が正となるものが一つ以上ある場合，実数部が0となるものが二つ以上ある場合，二対以上の共役な純虚数が存在する場合，不安定となります。
行列\( \ \boldsymbol A =\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \ \)の固有値は，単位行列\( \ \boldsymbol I =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \ \)とすると，\( \ \left| s\boldsymbol I-\boldsymbol A \right|=0 \ \)の解です。具体的には，
\[
\begin{eqnarray}
\left| s\boldsymbol I-\boldsymbol A \right| &=& 0 \\[ 5pt ] \left| s\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \right| &=& 0 \\[ 5pt ] \begin{vmatrix} s-a & -b \\ -c & s-d \end{vmatrix} &=& 0\\[ 5pt ] \left( s-a \right) \left( s-d \right) -bc &=& 0 \\[ 5pt ] s^{2}-\left( a+d \right) s+ad-bc &=& 0
\end{eqnarray}
\] の\( \ s \ \)の解となります。

2.行列の可制御性
\[
\boldsymbol {\dot x}\left( t \right) =\boldsymbol A\boldsymbol x\left( t\right)+\boldsymbol b u\left( t\right)
\] が与えられているとき，可制御性行列\(\boldsymbol U_{c}=\begin{pmatrix} \boldsymbol b & \boldsymbol A \boldsymbol b \end{pmatrix}\)の\(\mathrm {rank} \ \boldsymbol U_{c}=n\)または\(\det \boldsymbol U_{c}≠0\)の時可制御となります。

【解答】

(1)システム行列\(\boldsymbol A\)の固有値を計算して，\(u\left( t\right) =0\)のとき制御対象は不安定であることを示す
ワンポイント解説「1.行列の安定性」より，システムの固有値は，
\[
\begin{eqnarray}
\left| s\boldsymbol I-\boldsymbol A \right| &=& 0 \\[ 5pt ] \left| s\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right| &=& 0 \\[ 5pt ] \begin{vmatrix} s+1 & -2 \\ 0 & s-1 \end{vmatrix} &=& 0\\[ 5pt ] \left( s+1 \right) \left( s-1 \right) -0\times ( -2) &=& 0 \\[ 5pt ] \left( s+1 \right) \left( s-1 \right) &=& 0 \\[ 5pt ] s &=& -1，1
\end{eqnarray}
\] となり，固有値に正である根があるので，制御対象は不安定である。

(2)制御対象は不可制御であることを示す
\[
\begin{eqnarray}
\boldsymbol A \boldsymbol b &=& \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\[ 5pt ] &=& \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}
\end{eqnarray}
\] より，可制御性行列\(\boldsymbol U_{c}\)は，
\[
\begin{eqnarray}
\boldsymbol U_{c}&=& \begin{pmatrix} \boldsymbol b & \boldsymbol A \boldsymbol b \end{pmatrix} \\[ 5pt ] &=& \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって，
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {rank} \ \boldsymbol U_{c}&=&\mathrm {rank} \ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \\[ 5pt ] &=&\mathrm {rank} \ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \\[ 5pt ] &=&1
\end{eqnarray}
\] となり，\(\mathrm {rank} \ \boldsymbol U_{c}≠2\)なので，制御対象は不可制御となる。

(3)閉ループ系のシステム行列\(\boldsymbol A-\boldsymbol b \boldsymbol f\)を求める
閉ループ系のシステム行列\(\boldsymbol A-\boldsymbol b \boldsymbol f\)は，
\[
\begin{eqnarray}
\boldsymbol A-\boldsymbol b \boldsymbol f&=&\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f_{1} & f_{2} \end{pmatrix} \\[ 5pt ] &=&\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} f_{1} & f_{2} \\ f_{1} & f_{2} \end{pmatrix} \\[ 5pt ] &=&\begin{pmatrix} -1-f_{1} & 2-f_{2} \\ -f_{1} & 1-f_{2} \end{pmatrix}
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)\(\left| s\boldsymbol I-\boldsymbol A+\boldsymbol b \boldsymbol f\right| \)を，\(f_{1}\)と\(f_{2}\)を用いて表す。また，\(a_{0}\)と\(a_{1}\)を，\(f_{1}\)と\(f_{2}\)で表す。
閉ループ系の特性多項式は，
\[
\begin{eqnarray}
\left| s\boldsymbol I-\boldsymbol A+\boldsymbol b \boldsymbol f\right| &=&\left| s\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -1-f_{1} & 2-f_{2} \\ -f_{1} & 1-f_{2} \end{pmatrix} \right| \\[ 5pt ] &=&\begin{vmatrix} s+1+f_{1} & -2+f_{2} \\ f_{1} & s-1+f_{2} \end{vmatrix} \\[ 5pt ] &=&\left( s+1+f_{1}\right) \left( s-1+f_{2}\right) -\left( -2+f_{2}\right) f_{1} \\[ 5pt ] &=&s^{2}+\left( f_{1}+f_{2}\right) s+\left( f_{1}+f_{2}-1\right)
\end{eqnarray}
\] となるので，係数比較すると，\(a_{0}=f_{1}+f_{2}-1\)，\(a_{1}=f_{1}+f_{2}\)と求められる。

(5)方程式が解をもつために，\(a_{0}\)と\(a_{1}\)が満たすべき条件
\[
\begin{eqnarray}
a_{0} &=&f_{1}+f_{2}-1 \\[ 5pt ] &=&a_{1}-1
\end{eqnarray}
\] となり，この条件を満たさないと解を持たない。

(6)\(P\left( s \right) \)を因数分解し，安定化できることを示す
\(a_{1}=a_{0}+1\)を\(P (s)\)に代入し因数分解すると，
\[
\begin{eqnarray}
P\left( s \right) &=&s^{2}+a_{1}s+a_{0} \\[ 5pt ] &=&s^{2}+\left( a_{0}+1 \right) s+a_{0}\\[ 5pt ] &=&\left( s+ a_{0} \right) \left( s+ 1 \right)
\end{eqnarray}
\] となる。これより，\(a_{0}=f_{1}+f_{2}-1\)を適切に選定し，固有値\(-a_{0}\)を負にすれば，制御対象を安定化できる。

(7)不安定な固有値を\(-2\)に移動することで制御対象を安定化する。これを実現する\(\boldsymbol f\)は無数に存在することを示す。
\(a_{0}=2\)となるので，
\[
\begin{eqnarray}
2 &=&f_{1}+f_{2}-1 \\[ 5pt ] f_{1}+f_{2}&=&3
\end{eqnarray}
\] となり，条件となる方程式が上記の方程式のみとなるので，解は無数に存在することとなる。