《機械・制御》〈自動制御〉[R04:問4]フィードバック制御系の定常偏差に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

図に示すフィードバック制御系について，次の問に答えよ。ただし，$\ R\left( s\right) \ $は目標値，$\ Y\left( s\right) \ $は制御量，$\ E\left( s\right) \ $は制御偏差，$\ Z\left( s\right) \ $は積分器の出力であり，時間信号$\ r\left( t\right) \ $，$\ y\left( t\right) \ $，$\ e\left( t\right) \ $，$\ z\left( t\right) \ $をそれぞれラプラス変換したものである。また，$\ K_{1} \ $，$\ K_{2} \ $は定数である。

(1)　目標値$\ R\left( s\right) \ $から制御量$\ Y\left( s\right) \ $までの伝達関数$\ T_{\mathrm {YR}}\left( s\right) \ $を求めよ。

(2)　$\ T_{\mathrm {YR}}\left( s\right) \ $を二次遅れ要素の標準形で表したときの減衰係数を$\ \zeta =0.5 \ $，固有角周波数を$\ \omega _{\mathrm {n}} = 10 \ \mathrm {rad / s} \ $とするための$\ K_{1} \ $，$\ K_{2} \ $の値を求めよ。

(3)　目標値$\ R\left( s\right) \ $から制御偏差$\ E\left( s\right) \ $までの伝達関数$\ T_{\mathrm {ER}}\left( s\right) \ $を求めよ。このとき，小問(2)の$\ K_{1} \ $，$\ K_{2} \ $を用いよ。

(4)　小問(3)の結果を用いて，目標値$\ R\left( s\right) \ $を単位ランプ変化させたときの定常速度偏差$\ e_{\mathrm {v}} \ $をラプラス変換の最終値の定理を適用して求めよ。

(5)　小問(3)の結果を用いて，目標値$\ R\left( s\right) \ $を単位ランプ変化させたときの制御偏差の時間応答$\ e\left( t\right) \ $を計算せよ。その上で，$\ e\left( \infty\right) \ $を求め，小問(4)で求めた$\ e_{\mathrm {v}} \ $と一致することを確かめよ。

【ワンポイント解説】

フィードバック制御系に関する問題です。
伝達関数を導出して，二次遅れ標準形と比較したり，最終値の定理を使用する等$\ 1 \ $種の自動制御の問題としては珍しいオーソドックスな問題でした。
ぜひ本問は完答を目指すようにしましょう。

1.基本的なラプラス変換
$\ f(t) \ $のラプラス変換を$\ F(s) \ $とすると以下のような関係があります。
$$\begin{array}{|c|c|} \hline f(t) & F(s) \\ \hline {\displaystyle \delta (t) }\atop{単位インパルス関数} & 1 \\[ 5pt ] {\displaystyle u (t) }\atop{単位ステップ関数} & \displaystyle \frac {1}{s} \\[ 5pt ] K & \displaystyle \frac {K}{s} \\[ 5pt ] t & \displaystyle \frac {1}{s^{2}} \\[ 5pt ] \mathrm {e}^{at} & \displaystyle \frac {1}{s-a} \\[ 5pt ] \sin \omega t & \displaystyle \frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}} \\[ 5pt ] 　　\cos \omega t　　 & 　　\displaystyle \frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}　　 \\[ 5pt ] \hline \end{array}$$

2.減衰係数$\ \zeta \ $と固有角周波数$\ \omega _{\mathrm {n}} \ $
二次遅れの伝達関数$\ W(s) \ $の一般式は，減衰係数$\ \zeta \ $，固有角周波数$\ \omega _{\mathrm {n}} \ $とすると，
$$\begin{eqnarray} W(s)&=&\frac {\omega _{\mathrm {n}}^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega _{\mathrm {n}}s+\omega _{\mathrm {n}}^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ で表されます。

3.最終値の定理
$\ f(t) \ $のラプラス変換を$\ F(s) \ $とすると，$\ f(t) \ $の定常値は，
$$\begin{eqnarray} \displaystyle \lim _{ t \to \infty } f(t)&=&\displaystyle \lim _{ s \to 0 } sF(s) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ で求められます。

【解答】

(1)目標値$\ R\left( s\right) \ $から制御量$\ Y\left( s\right) \ $までの伝達関数$\ T_{\mathrm {YR}}\left( s\right) \ $
問題図における$\ R\left( s\right) \ $，$\ Y\left( s\right) \ $，$\ E\left( s\right) \ $，$\ Z\left( s\right) \ $の関係式は，
$$\begin{eqnarray} R\left( s\right) -Y\left( s\right) &=&E\left( s\right)　&・・・・・・・・・　①& \\[ 5pt ] \frac {K_{1}}{s}E\left( s\right) &=&Z\left( s\right)　&・・・・・・・・・　②& \\[ 5pt ] \left\{ Z\left( s\right) -K_{2}Y\left( s\right) \right\}\frac {1}{s+1} &=&Y\left( s\right)　&・・・・・・・・・　③& \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となり，$\ ① \ $を$\ ② \ $に代入すると，
$$\begin{eqnarray} 　　　\frac {K_{1}}{s}\left\{ R\left( s\right) -Y\left( s\right) \right\} &=&Z\left( s\right)　&・・・・・・・・・　②^{\prime }& \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となるので，$\ ②^{\prime } \ $を$\ ③ \ $に代入して整理すると，
$$\begin{eqnarray} \left[ \frac {K_{1}}{s}\left\{ R\left( s\right) -Y\left( s\right) \right\} -K_{2}Y\left( s\right) \right] \frac {1}{s+1} &=&Y\left( s\right) \\[ 5pt ] \frac {K_{1}}{s}\left\{ R\left( s\right) -Y\left( s\right) \right\} -K_{2}Y\left( s\right) &=&\left( s+1\right) Y\left( s\right) \\[ 5pt ] K_{1}\left\{ R\left( s\right) -Y\left( s\right) \right\} -K_{2}sY\left( s\right) &=&s\left( s+1\right) Y\left( s\right) \\[ 5pt ] K_{1}R\left( s\right) &=&s^{2} Y\left( s\right) +sY\left( s\right) +K_{1}Y\left( s\right) +K_{2}sY\left( s\right) \\[ 5pt ] K_{1}R\left( s\right) &=&\left\{ s^{2} +\left( K_{2}+1\right) s+K_{1}\right\} Y\left( s\right) \\[ 5pt ] \frac {Y\left( s\right)}{R\left( s\right) } &=&\frac {K_{1}}{s^{2} +\left( K_{2}+1\right) s+K_{1}} \\[ 5pt ] T_{\mathrm {YR}}\left( s\right) &=&\frac {K_{1}}{s^{2} +\left( K_{2}+1\right) s+K_{1}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ と求められる。

(2)減衰係数を$\ \zeta =0.5 \ $，固有角周波数を$\ \omega _{\mathrm {n}} = 10 \ \mathrm {rad / s} \ $とするための$\ K_{1} \ $，$\ K_{2} \ $の値
(1)解答式を二次遅れ標準形と比較すると，ワンポイント解説「2.減衰係数$\ \zeta \ $と固有角周波数$\ \omega _{\mathrm {n}} \ $」の通り，
$$\begin{eqnarray} 2\zeta \omega _{\mathrm {n}}=K_{2}+1&=&10 \\[ 5pt ] K_{2}&=&9 \\[ 5pt ] \omega _{\mathrm {n}}^{2}=K_{1}&=&100 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ と求められる。

(3)目標値$\ R\left( s\right) \ $から制御偏差$\ E\left( s\right) \ $までの伝達関数$\ T_{\mathrm {ER}}\left( s\right) \ $
(1)解答式より，
$$\begin{eqnarray} Y\left( s\right) &=&\frac {K_{1}}{s^{2} +\left( K_{2}+1\right) s+K_{1}}R\left( s\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ であるから，これを$\ ① \ $に代入して整理すると，
$$\begin{eqnarray} R\left( s\right) -\frac {K_{1}}{s^{2} +\left( K_{2}+1\right) s+K_{1}}R\left( s\right) &=&E\left( s\right) \\[ 5pt ] \frac {s^{2} +\left( K_{2}+1\right) s}{s^{2} +\left( K_{2}+1\right) s+K_{1}}R\left( s\right) &=&E\left( s\right) \\[ 5pt ] \frac {E\left( s\right) }{R\left( s\right) } &=&\frac {s^{2} +\left( K_{2}+1\right) s}{s^{2} +\left( K_{2}+1\right) s+K_{1}} \\[ 5pt ] T_{\mathrm {ER}}\left( s\right) &=&\frac {s^{2} +\left( K_{2}+1\right) s}{s^{2} +\left( K_{2}+1\right) s+K_{1}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となるので，これに$\ K_{1}=100 \ $，$\ K_{2}=9 \ $を代入すれば，
$$\begin{eqnarray} T_{\mathrm {ER}}\left( s\right) &=&\frac {s^{2} +\left( 9+1\right) s}{s^{2} +\left( 9+1\right) s+100} \\[ 5pt ] &=&\frac {s^{2} +10 s}{s^{2} +10s+100} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ と求められる。

(4)目標値$\ R\left( s\right) \ $を単位ランプ変化させたときの定常速度偏差$\ e_{\mathrm {v}} \ $
(3)解答式より，
$$\begin{eqnarray} E\left( s\right) &=&\frac {s^{2} +10 s}{s^{2} +10s+100}R\left( s\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ であり，ワンポイント解説「1.基本的なラプラス変換」の通り，ランプ関数のラプラス変換は$\ \displaystyle \frac {1}{s^{2}} \ $であるから，
$$\begin{eqnarray} E\left( s\right) &=&\frac {s^{2} +10 s}{s^{2} +10s+100}\cdot \frac {1}{s^{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {s +10 }{s^{3} +10s^{2}+100s} 　　&・・・・・・・・・・・・　④&\\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となる。これに最終値の定理を適用させ定常速度偏差$\ e_{\mathrm {v}} \ $を求めると，ワンポイント解説「3.最終値の定理」の通り，
$$\begin{eqnarray} \displaystyle \lim _{ t \to \infty } e\left( t\right) &=&\displaystyle \lim _{ s \to 0 } sE\left( s\right) \\[ 5pt ] &=&\displaystyle \lim _{ s \to 0 } \left( s\cdot \frac {s +10 }{s^{3} +10s^{2}+100s}\right) \\[ 5pt ] &=&\displaystyle \lim _{ s \to 0 } \left( \frac {s +10 }{s^{2} +10s+100}\right) \\[ 5pt ] &=&0.1 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ と求められる。

(5)目標値$\ R\left( s\right) \ $を単位ランプ変化させたときの制御偏差の時間応答$\ e\left( t\right) \ $及び$\ e\left( \infty\right) \ $
$\ ④ \ $について，部分分数分解をするため，
$$\begin{eqnarray} \frac {s +10 }{s^{3} +10s^{2}+100s}&=&\frac {A}{s}+\frac {Bs+c}{s^{2} +10s+100} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ とおき，右辺を計算していくと，
$$\begin{eqnarray} \frac {A}{s}+\frac {Bs+C}{s^{2} +10s+100}&=&\frac {A\left( s^{2} +10s+100\right) +s\left( Bs+C\right) }{s^{3} +10s^{2}+100s} \\[ 5pt ] &=&\frac {\left( A+B\right) s^{2} +\left( 10A+C\right) s+100A }{s^{3} +10s^{2}+100s} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となるので，係数比較すれば，
$$\begin{eqnarray} A+B &=&0 \\[ 5pt ] 10A+C &=&1 \\[ 5pt ] 100A &=&10& \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ であるから，$\ A=0.1 \ $，$\ B=-0.1 \ $，$\ C=0 \ $となる。よって，
$$\begin{eqnarray} E\left( s\right) &=&\frac {0.1}{s}-\frac {0.1s}{s^{2} +10s+100} \\[ 5pt ] &=&\frac {0.1}{s}-\frac {0.1s}{\left( s+5\right) ^{2}+75} \\[ 5pt ] &=&\frac {0.1}{s}-\frac {0.1\left( s+5\right) -0.5}{\left( s+5\right) ^{2}+75} \\[ 5pt ] &=&\frac {0.1}{s}-\frac {0.1\left( s+5\right) }{\left( s+5\right) ^{2}+75}+ \frac {0.5}{\left( s+5\right) ^{2}+75} \\[ 5pt ] &=&\frac {0.1}{s}-\frac {0.1\left( s+5\right) }{\left( s+5\right) ^{2}+\left( 5\sqrt {3}\right) ^{2}}+\frac {0.1}{\sqrt {3}}\cdot \frac {5\sqrt {3}}{\left( s+5\right) ^{2}+\left( 5\sqrt {3}\right) ^{2}} \\[ 5pt ] &=&0.1\left\{ \frac {1}{s}-\frac {s+5}{\left( s+5\right) ^{2}+\left( 5\sqrt {3}\right) ^{2}}+\frac {1}{\sqrt {3}}\cdot \frac {5\sqrt {3}}{\left( s+5\right) ^{2}+\left( 5\sqrt {3}\right) ^{2}}\right\} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となるから，逆ラプラス変換すると，ワンポイント解説「1.基本的なラプラス変換」の通り，
$$\begin{eqnarray} e\left( t\right) &=&0.1\left( 1-\mathrm {e}^{-5t}\cos 5\sqrt {3}t+\frac {1}{\sqrt {3}}\mathrm {e}^{-5t}\sin 5\sqrt {3}t\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ と求められる。また，上式より$\ e\left( \infty\right) \ $は，
$$\begin{eqnarray} e\left( \infty \right) &=&\displaystyle \lim _{ t \to \infty } \left\{ 0.1\left( 1-\mathrm {e}^{-5t}\cos 5\sqrt {3}t+\frac {1}{\sqrt {3}}\mathrm {e}^{-5t}\sin 5\sqrt {3}t\right) \right\} \\[ 5pt ] &=& 0.1\times \left( 1-0+0\right) \\[ 5pt ] &=& 0.1 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となり，(4)で求めた$\ e_{\mathrm {v}} \ $と一致する。