《理論》〈電気回路〉[H27:問5] 三相交流回路に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆(やや難しい)

次の文章は,三相交流回路に関する記述である。文中の\(\fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$}\)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選びなさい。ただし,\(a\)は複素数で\(\displaystyle a=e^{j\frac {2}{3}\pi}\)とする。

図1に示すように,対称三相交流電圧源にアドミタンスが\({\dot Y}_{\mathrm {a}}\),\({\dot Y}_{\mathrm {b}}\),\({\dot Y}_{\mathrm {c}}\)の\(\mathrm {Y}\)形不平衡負荷を接続した。負荷と電源の中性点を結ぶ中性線のアドミタンスを\({\dot Y}_{\mathrm {n}}\)とする。\({\dot E}_{\mathrm {a}}=100 \ \mathrm {V}∠0°\)であり,相回転は\({\dot E}_{\mathrm {a}}\),\({\dot E}_{\mathrm {b}}\),\({\dot E}_{\mathrm {c}}\)の順(\({\dot E}_{\mathrm {b}}=a^{2}{\dot E}_{\mathrm {a}}\),\({\dot E}_{\mathrm {c}}=a{\dot E}_{\mathrm {a}}\))とする。\(\mathrm {Y}\)形不平衡負荷のアドミタンス\({\dot Y}_{\mathrm {a}}\),\({\dot Y}_{\mathrm {b}}\),\({\dot Y}_{\mathrm {c}}\)は以下の形とする。
\[
\left(
\begin{array}{c}
{\dot Y}_{\mathrm {a}} \\
{\dot Y}_{\mathrm {b}} \\
{\dot Y}_{\mathrm {c}}
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
{\dot Y}_{\mathrm {0}}+\Delta \dot Y \\
{\dot Y}_{\mathrm {0}}+a\Delta \dot Y \\
{\dot Y}_{\mathrm {0}}+a^{2}\Delta \dot Y
\end{array}
\right)
, \Delta \dot Y ≠ 0 ・・・・・・・ ①
\] ここで,\(1+a+a^{2}=0\),\(a^{3}=1\)に注意する。

ミルマンの定理と①式を使うと,\(\mathrm {Y}\)形負荷の中性点電位\({\dot V}_{\mathrm {n}}\)と中性線電流\({\dot I}_{\mathrm {n}}\)の式は,
\[
{\dot V}_{\mathrm {n}}=\fbox {  (1)  }, {\dot I}_{\mathrm {n}}=\fbox {  (1)  }\times {\dot Y}_{\mathrm {n}} ・・・・・・・・ ②
\] となる。

図1の三相回路の中性点間を短絡又は開放したところ,以下の結果を得た。

(a) 中性点間を短絡すると(\({\dot Y}_{\mathrm {n}}=\infty \)),中性点電流は\({\dot I}_{\mathrm {n}}=30a\mathrm {[A]}\)となった。

(b) 中性点間を開放すると(\({\dot Y}_{\mathrm {n}}=0 \)),\(\mathrm {Y}\)形負荷の中性点電位は\({\dot V}_{\mathrm {n}}=100a\mathrm {[V]}\)となった。

②式に(a)と(b)の結果を適用すると,\(({\dot Y}_{0},\Delta \dot Y)=\fbox {  (2)  }\mathrm {[S]}\)となる。

図1の回路を\({\dot Y}_{\mathrm {n}}\)から見た等価回路を図2のように表すと,(a)及び(b)から\({\dot Z}_{0}=\fbox {  (3)  }\Omega \)となる。したがって,図1の回路の中性線で消費する電力が最大となるのは\({\dot Y}_{\mathrm {n}}=\fbox {  (4)  }\mathrm {S}\)のときである。そのとき,中性線で消費する電力は\(\fbox {  (5)  }\mathrm {W}\)である。

〔問5の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&(イ)& 300   &(ロ)& \frac {10a}{3}   &(ハ)& \frac {3a}{10} \\[ 5pt ] &(ニ)& \frac {3{\dot E}_{\mathrm {a}}\Delta \dot Y}{{\dot Y}_{\mathrm {0}}+3{\dot Y}_{\mathrm {n}}}   &(ホ)& \left( \frac {1}{10},\frac {a}{10}\right)   &(ヘ)& 250 \\[ 5pt ] &(ト)& \left( \frac {1}{10},\frac {1}{10}\right)    &(チ)& \left( \frac {1}{10},\frac {a^{2}}{10}\right)    &(リ)& \frac {10}{3} \\[ 5pt ] &(ヌ)& 750   &(ル)& \frac {3a^{2}}{10}   &(ヲ)& \frac {3{\dot E}_{\mathrm {a}}\Delta \dot Y}{3{\dot Y}_{\mathrm {0}}+{\dot Y}_{\mathrm {n}}} \\[ 5pt ] &(ワ)& \frac {3}{10}   &(カ)& \frac {10a^{2}}{3}   &(ヨ)& \frac {3{\dot E}_{\mathrm {a}}{\dot Y}_{\mathrm {n}}}{3{\dot Y}_{\mathrm {0}}+\Delta \dot Y}
\end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

キルヒホッフの法則を用いても解くことは可能ですが,ミルマンの定理を理解していれば,幾分計算が楽になります。一種平成27年度理論問3の\(E_{0}\)の導出もミルマンの定理を用いて解くことが可能なので,本問が終わったら解いてみて下さい。

1.ミルマンの定理
図1に示すような並列回路があった時,電圧\(\dot V\)は,
\[
\dot V=\frac {\displaystyle \frac {{\dot E}_{1}}{{\dot Z}_{1}} +\frac {{\dot E}_{2}}{{\dot Z}_{2}}+ \cdots +\frac {{\dot E}_{\mathrm {n}}}{{\dot Z}_{\mathrm {n}}}}{\displaystyle \frac {1}{{\dot Z}_{1}} +\frac {1}{{\dot Z}_{2}}+ \cdots +\frac {1}{{\dot Z}_{\mathrm {n}}}}
\] で求められます。

【解答】

(1)解答:ヲ
ワンポイント解説「1.ミルマンの定理」より中性点電位\({\dot V}_{\mathrm {n}}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {n}}&=&\frac {{\dot E}_{\mathrm {a}}{\dot Y}_{\mathrm {a}}+{\dot E}_{\mathrm {b}}{\dot Y}_{\mathrm {b}}+{\dot E}_{\mathrm {c}}{\dot Y}_{\mathrm {c}}}{{\dot Y}_{\mathrm {a}}+{\dot Y}_{\mathrm {b}}+{\dot Y}_{\mathrm {c}}+{\dot Y}_{\mathrm {n}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので,\({\dot E}_{\mathrm {b}}=a^{2}{\dot E}_{\mathrm {a}}\),\({\dot E}_{\mathrm {c}}=a{\dot E}_{\mathrm {a}}\)及び①を代入すると,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {n}}&=&\frac {{\dot E}_{\mathrm {a}}({\dot Y}_{\mathrm {0}}+\Delta \dot Y)+a^{2}{\dot E}_{\mathrm {a}}({\dot Y}_{\mathrm {0}}+a\Delta \dot Y)+a{\dot E}_{\mathrm {a}}({\dot Y}_{\mathrm {0}}+a^{2}\Delta \dot Y)}{{\dot Y}_{\mathrm {0}}+\Delta \dot Y+{\dot Y}_{\mathrm {0}}+a\Delta \dot Y+{\dot Y}_{\mathrm {0}}+a^{2}\Delta \dot Y+{\dot Y}_{\mathrm {n}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\left( 1+a^{2}+a\right) {\dot E}_{\mathrm {a}}{\dot Y}_{\mathrm {0}}+3{\dot E}_{\mathrm {a}}\Delta \dot Y}{3{\dot Y}_{\mathrm {0}}+\left( 1+a^{2}+a\right) \Delta \dot Y+{\dot Y}_{\mathrm {n}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {3{\dot E}_{\mathrm {a}}\Delta \dot Y}{3{\dot Y}_{\mathrm {0}}+{\dot Y}_{\mathrm {n}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。また,中性点電流\({\dot I}_{\mathrm {n}}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {n}}&=&{\dot V}_{\mathrm {n}}{\dot Y}_{\mathrm {n}} \\[ 5pt ] &=&\frac {3{\dot E}_{\mathrm {a}}\Delta \dot Y}{3{\dot Y}_{\mathrm {0}}+{\dot Y}_{\mathrm {n}}}\times {\dot Y}_{\mathrm {n}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答:ホ
問題文(a)より,
\[
\begin{eqnarray}
\displaystyle \lim_{ {\dot Y}_{\mathrm {n}} \to \infty } {\dot I}_{\mathrm {n}}&=&30a \\[ 5pt ] \displaystyle \lim_{ {\dot Y}_{\mathrm {n}} \to \infty } \left( \frac {3{\dot E}_{\mathrm {a}}\Delta \dot Y}{3{\dot Y}_{\mathrm {0}}+{\dot Y}_{\mathrm {n}}}\times {\dot Y}_{\mathrm {n}}\right) &=&30a \\[ 5pt ] \displaystyle \lim_{ {\dot Y}_{\mathrm {n}} \to \infty } \left( \frac {3{\dot E}_{\mathrm {a}}\Delta \dot Y}{\frac {3{\dot Y}_{\mathrm {0}}}{{\dot Y}_{\mathrm {n}}}+1}\right) &=&30a \\[ 5pt ] 3{\dot E}_{\mathrm {a}}\Delta \dot Y&=&30a \\[ 5pt ] 3\times 100\Delta \dot Y&=&30a \\[ 5pt ] \Delta \dot Y&=&\frac {a}{10} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。また,(b)より,
\[
\begin{eqnarray}
\displaystyle \lim_{ {\dot Y}_{\mathrm {n}} \to 0 } {\dot V}_{\mathrm {n}}&=&100a \\[ 5pt ] \displaystyle \lim_{ {\dot Y}_{\mathrm {n}} \to 0 } \left( \frac {3{\dot E}_{\mathrm {a}}\Delta \dot Y}{3{\dot Y}_{\mathrm {0}}+{\dot Y}_{\mathrm {n}}}\right) &=&100a \\[ 5pt ] \frac {{\dot E}_{\mathrm {a}}\Delta \dot Y}{{\dot Y}_{\mathrm {0}}}&=&100a \\[ 5pt ] \frac {\displaystyle 100\cdot \frac {a}{10}}{{\dot Y}_{\mathrm {0}}}&=&100a \\[ 5pt ] {\dot Y}_{\mathrm {0}}&=&\frac {1}{10} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答:リ
\(z_{0}\)は図1の回路を\({\dot Y}_{\mathrm {n}}\)から見た時のインピーダンスであるから,
\[
\begin{eqnarray}
z_{0}&=&\frac {1}{{\dot Y}_{\mathrm {a}}+{\dot Y}_{\mathrm {b}}+{\dot Y}_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{3{\dot Y}_{0}} \\[ 5pt ] &=&\frac {10}{3} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答:ワ
中性線で消費する電力が最大となるのは,\(\displaystyle {\dot Y}_{\mathrm {n}}=\frac {1}{z_{0}}\)の時であるから,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Y}_{\mathrm {n}}&=&\frac {1}{z_{0}} \\[ 5pt ] &=&\frac {3}{10} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答:ヌ
中性線で消費する電力\(P_{\mathrm {n}}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {n}}&=&\left| {\dot V}_{\mathrm {n}}^{2}{\dot Y}_{\mathrm {n}}\right| \\[ 5pt ] &=&\left| \left( 50a\right) ^{2}\times \frac {3}{10}\right| \\[ 5pt ] &=&\left| 750a^{2} \right| \\[ 5pt ] &=&750 \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。



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