【問題】
【難易度】★★★☆☆（普通）
次の文章は，三相交流回路に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選びなさい。ただし，\( \ a \ \)は複素数で\( \ a=e^{\mathrm {j}\frac {2}{3}\pi } \ \)とする。
図1のように対称三相交流電圧源に\( \ \mathrm {Y} \ \)形不平衡負荷を接続した。
\( \ {\dot E}_{\mathrm {a}}=120 \ \mathrm {V}∠0° \ \)であり，相回転は\( \ {\dot E}_{\mathrm {a}} \ \)，\( \ {\dot E}_{\mathrm {b}} \ \)，\( \ {\dot E}_{\mathrm {c}} \ \)の順とする。この相回転の順を式で表すと
\[
\begin{eqnarray}
{\dot E}_{\mathrm {b}} &=& a^{2}{\dot E}_{\mathrm {a}}，{\dot E}_{\mathrm {c}} &=& a{\dot E}_{\mathrm {a}} ・・・・・・・・・・① \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。いま，回路の線電流\( \ {\dot I}_{\mathrm {a}} \ \)，\( \ {\dot I}_{\mathrm {b}} \ \)，\( \ {\dot I}_{\mathrm {c}} \ \)も対称三相であり，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {b}} &=& a^{2}{\dot I}_{\mathrm {a}}，{\dot I}_{\mathrm {c}} &=& a{\dot I}_{\mathrm {a}} ・・・・・・・・・・② \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の関係式を満たしているものとする。このとき，\( \ \mathrm {Y} \ \)形不平衡負荷の各相の電圧平衡の式は
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {a}} &=& {\dot E}_{\mathrm {a}}-\fbox { （１） }，{\dot I}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {b}} &=& {\dot E}_{\mathrm {b}}-\fbox { （１） }，{\dot I}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {c}} &=& {\dot E}_{\mathrm {c}}-\fbox { （１） }・・③ \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であるから，①式と②式を利用すると，③式より\( \ \mathrm {Y} \ \)形不平衡負荷のインピーダンスは
\[
\begin{pmatrix}
{\dot Z}_{\mathrm {a}} \\ {\dot Z}_{\mathrm {b}} \\ {\dot Z}_{\mathrm {c}}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \\ 1 \\ 1
\end{pmatrix}
\frac {{\dot E}_{\mathrm {a}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}}-\fbox { （２） }\frac {{\dot V}_{\mathrm {n}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}} ・・・④ \\[ 5pt ]
\]
と表すことができる。ただし，\( \ a^{3}=1 \ \)に注意する。
ここで，①式と②式が成立して，\( \ {\dot Z}_{\mathrm {b}}=11-\mathrm {j}\sqrt {3} \ \Omega ，{\dot Z}_{\mathrm {c}}=11+\mathrm {j}\sqrt {3} \ \Omega \ \)であるときを考える。④式に従って\( \ {\dot Z}_{\mathrm {a}} \ \)，\( \ {\dot Z}_{\mathrm {b}} \ \)，\( \ {\dot Z}_{\mathrm {c}} \ \)を複素平面上にプロットすると，これらは中心が\( \ \displaystyle \frac {{\dot E}_{\mathrm {a}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}} \ \)である正三角形の頂点をなし，図2のどちらかになる。なお，\( \ {\dot Z}_{\mathrm {a}} \ \)と\( \ \displaystyle \frac {{\dot E}_{\mathrm {a}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}} \ \)は実軸上に位置している。図2の二つの三角形のうち，④式と整合する正三角形を利用すると\( \ {\dot Z}_{\mathrm {a}}= \ \fbox { （３） } \ \Omega \ \)，\( \ {\dot I}_{\mathrm {a}}= \ \fbox { （４） } \ \mathrm {A} \ \)，\( \ {\dot V}_{\mathrm {n}}= \ \fbox { （５） }\mathrm {V} \ \)であることが分かる。
〔問5の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）& a^{2}{\dot V}_{\mathrm {n}} &（ロ）& 14 &（ハ）& 13 \\[ 5pt ]
&（ニ）& 16 &（ホ）& 8 &（ヘ）& 24 \\[ 5pt ]
&（ト）& {\dot V}_{\mathrm {n}} &（チ）& a{\dot V}_{\mathrm {n}} &（リ）& 32 \\[ 5pt ]
&（ヌ）& -20 &（ル）& 12 &（ヲ）& 10 \\[ 5pt ]
&（ワ）& \begin{pmatrix}
1 \\ a \\ a^{2}
\end{pmatrix} &（カ）& \begin{pmatrix}
1 \\ a^{2} \\ a
\end{pmatrix} &（ヨ）& \begin{pmatrix}
a \\ a^{2} \\ 1
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
\]
【ワンポイント解説】
三相交流回路の問題は電験一種問5の定番問題となっています。この問題は\( \ \Delta -\mathrm {Y} \ \)変換等もなく，複雑な計算もないので，例年に比べれば易しめの問題と言えると思います。
1.ベクトルオペレータ\( \ a \ \)
題意で与えられているベクトルオペレータ\( \ a=\mathrm {e}^{\mathrm {j}\frac {2\pi}{3}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
a &=& \cos \frac {2\pi}{3}+\mathrm {j}\sin \frac {2\pi}{3} &=& -\frac {1}{2}+\mathrm {j}\frac {\sqrt {3}}{2} \\[ 5pt ]
a^{2} &=& \cos \frac {4\pi}{3}+\mathrm {j}\sin \frac {4\pi}{3} &=& -\frac {1}{2}-\mathrm {j}\frac {\sqrt {3}}{2} \\[ 5pt ]
a^{3} &=& \cos \frac {6\pi}{3}+\mathrm {j}\sin \frac {6\pi}{3} &=& 1
\end{eqnarray}
\]
となります。したがって，
\[
\begin{eqnarray}
\overline {a} &=& a^{2} \\[ 5pt ]
\overline {a^{2}} &=& a \\[ 5pt ]
1+a+a^{2} &=& 0
\end{eqnarray}
\]
が成立します。
【解答】
(1)解答：ト
図1より，\( \ {\dot E}_{\mathrm {a}} \ \)，\( \ {\dot I}_{\mathrm {a}} \ \)，\( \ {\dot Z}_{\mathrm {a}} \ \)，\( \ {\dot V}_{\mathrm {n}} \ \)の関係は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot E}_{\mathrm {a}}-{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot I}_{\mathrm {a}} &=& {\dot V}_{\mathrm {n}} \\[ 5pt ]
{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot I}_{\mathrm {a}} &=& {\dot E}_{\mathrm {a}}-{\dot V}_{\mathrm {n}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。同様に，\( \ \mathrm {b} \ \)相，\( \ \mathrm {c} \ \)相も
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot I}_{\mathrm {b}} &=& {\dot E}_{\mathrm {b}}-{\dot V}_{\mathrm {n}} \\[ 5pt ]
{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot I}_{\mathrm {c}} &=& {\dot E}_{\mathrm {c}}-{\dot V}_{\mathrm {n}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(2)解答：ワ
(1)より，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot I}_{\mathrm {a}} &=& {\dot E}_{\mathrm {a}}-{\dot V}_{\mathrm {n}} \\[ 5pt ]
{\dot Z}_{\mathrm {a}} &=& \frac {{\dot E}_{\mathrm {a}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}}-\frac {{\dot V}_{\mathrm {n}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot I}_{\mathrm {b}} &=& {\dot E}_{\mathrm {b}}-{\dot V}_{\mathrm {n}} \\[ 5pt ]
{\dot Z}_{\mathrm {b}} &=& \frac {{\dot E}_{\mathrm {b}}}{{\dot I}_{\mathrm {b}}}-\frac {{\dot V}_{\mathrm {n}}}{{\dot I}_{\mathrm {b}}} \\[ 5pt ]
&=& \frac {a^{2}{\dot E}_{\mathrm {a}}}{a^{2}{\dot I}_{\mathrm {a}}}-\frac {{\dot V}_{\mathrm {n}}}{a^{2}{\dot I}_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ]
&=& \frac {{\dot E}_{\mathrm {a}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}}-\frac {a^{3}{\dot V}_{\mathrm {n}}}{a^{2}{\dot I}_{\mathrm {a}}} \left( ∵ a^{3}=1\right) \\[ 5pt ]
&=& \frac {{\dot E}_{\mathrm {a}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}}-a\frac {{\dot V}_{\mathrm {n}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot I}_{\mathrm {c}} &=& {\dot E}_{\mathrm {c}}-{\dot V}_{\mathrm {n}} \\[ 5pt ]
{\dot Z}_{\mathrm {c}} &=& \frac {{\dot E}_{\mathrm {c}}}{{\dot I}_{\mathrm {c}}}-\frac {{\dot V}_{\mathrm {n}}}{{\dot I}_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ]
&=& \frac {a{\dot E}_{\mathrm {a}}}{a{\dot I}_{\mathrm {a}}}-\frac {{\dot V}_{\mathrm {n}}}{a{\dot I}_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ]
&=& \frac {{\dot E}_{\mathrm {a}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}}-\frac {a^{3}{\dot V}_{\mathrm {n}}}{a{\dot I}_{\mathrm {a}}} \left( ∵ a^{3}=1\right) \\[ 5pt ]
&=& \frac {{\dot E}_{\mathrm {a}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}}-a^{2}\frac {{\dot V}_{\mathrm {n}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，
\[
\begin{pmatrix}
{\dot Z}_{\mathrm {a}} \\ {\dot Z}_{\mathrm {b}} \\ {\dot Z}_{\mathrm {c}}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \\ 1 \\ 1
\end{pmatrix}
\frac {{\dot E}_{\mathrm {a}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}}-
\begin{pmatrix}
1 \\ a \\ a^{2}
\end{pmatrix}\frac {{\dot V}_{\mathrm {n}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ]
\]
と求められる。
(3)解答：ホ
まず図2の左側の正三角形であると仮定すると，各線分の長さは図2-1の赤字で示されている長さとなるため，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {{\dot E}_{\mathrm {a}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}}&=& 12 \\[ 5pt ]
{\dot Z}_{\mathrm {a}} &=& 14 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。これを(2)の解答式に代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {a}} &=& \frac {{\dot E}_{\mathrm {a}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}}-\frac {{\dot V}_{\mathrm {n}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ]
14&=&12-\frac {{\dot V}_{\mathrm {n}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ]
\frac {{\dot V}_{\mathrm {n}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}}&=&-2 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，\( \ {\dot Z}_{\mathrm {b}} \ \)，\( \ {\dot Z}_{\mathrm {c}} \ \)を求めると，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {b}} &=& \frac {{\dot E}_{\mathrm {a}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}}-a\frac {{\dot V}_{\mathrm {n}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ]
&=& 12+2a \\[ 5pt ]
&=& 11+\mathrm {j}\sqrt{3} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {c}} &=& \frac {{\dot E}_{\mathrm {a}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}}-a^{2}\frac {{\dot V}_{\mathrm {n}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ]
&=& 12+2a^{2} \\[ 5pt ]
&=& 11-\mathrm {j}\sqrt{3} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，図2-1と合致しない。
次に，図2の右側であるとすると，各線分の長さは図2-2の赤字で示されている長さとなるため，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {{\dot E}_{\mathrm {a}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}}&=& 10 \\[ 5pt ]
{\dot Z}_{\mathrm {a}} &=& 8 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。これを(2)の解答式に代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {a}} &=& \frac {{\dot E}_{\mathrm {a}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}}-\frac {{\dot V}_{\mathrm {n}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ]
8&=&10-\frac {{\dot V}_{\mathrm {n}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ]
\frac {{\dot V}_{\mathrm {n}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}}&=&2 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，\( \ {\dot Z}_{\mathrm {b}} \ \)，\( \ {\dot Z}_{\mathrm {c}} \ \)を求めると，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {b}} &=& \frac {{\dot E}_{\mathrm {a}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}}-a\frac {{\dot V}_{\mathrm {n}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ]
&=& 10-2a \\[ 5pt ]
&=& 11-\mathrm {j}\sqrt{3} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {c}} &=& \frac {{\dot E}_{\mathrm {a}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}}-a^{2}\frac {{\dot V}_{\mathrm {n}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ]
&=& 10-2a^{2} \\[ 5pt ]
&=& 11+\mathrm {j}\sqrt{3} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，図2-2と合致する。よって，こちらの三角形が整合する三角形となる。よって，\({\dot Z}_{\mathrm {a}}=8 \ \Omega \)となる。
(4)解答：ル
\( \ \displaystyle \frac {{\dot E}_{\mathrm {a}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}}= 10 \ \)，\( \ {\dot E}_{\mathrm {a}}=120 \ \mathrm {V} \ \)であるので，\( \ {\dot I}_{\mathrm {a}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {120}{{\dot I}_{\mathrm {a}}} &=& 10\\[ 5pt ]
{\dot I}_{\mathrm {a}}&=&12 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(5)解答：ヘ
(4)より，\( \ \displaystyle \frac {{\dot V}_{\mathrm {n}}}{{\dot I}_{\mathrm {a}}}=2 \ \)であるので，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {{\dot V}_{\mathrm {n}}}{12} &=& 2\\[ 5pt ]
{\dot V}_{\mathrm {n}}&=&24 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
愛知県出身 愛称たけちゃん