《理論》〈電子回路〉[H26:問7]MOSFETと抵抗を用いた回路に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆(普通)

次の文章は,図1に示す\(\mathrm {MOSFET}\)と抵抗を用いた回路に関する記述である。文中の\(\fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$}\)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選びなさい。ただし,\(\mathrm {MOSFET}\)のゲート-ソース間電圧\(V_{\mathrm {GS}}\)とドレーン‐ソース間電圧\(V_{\mathrm {DS}}\)は図2のとおりに定義され,両者が
\[
\begin{eqnarray}
 V_{\mathrm {DS}} ≧ V_{\mathrm {GS}}-V_{\mathrm {T}} > 0 \          ・・・・・・・・・・① \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] を満足するとき,ドレーン電流\(I_{\mathrm {D}}\)は
\[
\begin{eqnarray}
 I_{\mathrm {D}} &=& K\left( V_{\mathrm {GS}}-V_{\mathrm {T}}\right) ^{2}         ・・・・・・・・・・② \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で表されるものとする。ここで,\(K\)や\(V_{\mathrm {T}}\)は\(\mathrm {MOSFET}\)の特性を表す定数であり,また,ゲート電流\(I_{\mathrm {G}}\)は常に零であるとする。

図1の回路において,\(\mathrm {MOSFET}\)の\(K\)と\(V_{\mathrm {T}}\)をそれぞれ,\(K=40 \ \mu \mathrm {S / V} \),\(V_{\mathrm {T}}=0.50 \ \mathrm {V}\)とし,抵抗\(R_{\mathrm {L}}\)を\(50 \ \mathrm {k\Omega }\),電源電圧\(V_{\mathrm {DD}}\)を\(3.0 \ \mathrm {V}\)とする。

まず,入力信号\(v_{\mathrm {in}}\)が\(0.0 \ \mathrm {V}\)のときを考える。図1の\(\mathrm {MOSFET}\)が①式の関係を満足するためには,\(V_{\mathrm {B}}\)は\(\fbox {  (1)  } \ \mathrm {V} ≧ V_{\mathrm {B}} > \fbox {  (2)  } \ \mathrm {V}\)でなければならない。

次に,\(v_{\mathrm {in}}\)の大きさが十分に小さいとき,\(V_{\mathrm {out}}\)は
\[
\begin{eqnarray}
 V_{\mathrm {out}} &=& V_{\mathrm {DD}}-R_{\mathrm {L}}K\left( V_{\mathrm {B}}+v_{\mathrm {in}}-V_{\mathrm {T}}\right) ^{2} ・・・・・・・・・・③ \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。

ここで,\(v_{\mathrm {in}}\)が\(0.0 \ \mathrm {V}\)のときの\(V_{\mathrm {out}}\)を\(V_{0}\)とし,\(v_{\mathrm {in}}\)を加えたときに\(V_{\mathrm {out}}\)が\(V_{0}\)から変化した分を\(\Delta V_{\mathrm {out}}=V_{\mathrm {out}}-V_{0}\)とする。③式から\(\Delta V_{\mathrm {out}}\)を求めると,③式において\(v_{\mathrm {in}}\)の大きさが十分に小さいので\(v_{\mathrm {in}}\)の2乗の項を無視すると,\(\Delta V_{\mathrm {out}}\)は\(\fbox {  (3)  }\)となる。

以上の結果を踏まえて,\(V_{\mathrm {B}}\)を\(1.0 \ \mathrm {V}\)とすると,\(V_{0}\)は\(\fbox {  (4)  } \ \mathrm {V}\)となる。このとき,\(\Delta V_{\mathrm {out}}\)を出力信号とすれば,図1の回路の増幅率\(\displaystyle \frac {\Delta V_{\mathrm {out}}}{v_{\mathrm {in}}}\)が\(\fbox {  (5)  }\)であることが分かる。

〔問7の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&(イ)& 0.25   &(ロ)& 1.5   &(ハ)& 2.0 \\[ 5pt ] &(ニ)& -2.0   &(ホ)& 4.0   &(ヘ)& 0.0 \\[ 5pt ] &(ト)& 3.0   &(チ)& -2R_{\mathrm {L}}KV_{\mathrm {B}}v_{\mathrm {in}}   &(リ)& -4.0 \\[ 5pt ] &(ヌ)& 0.50   &(ル)& 2.5   &(ヲ)& 2R_{\mathrm {L}}K\left( V_{\mathrm {B}}-V_{\mathrm {T}}\right) v_{\mathrm {in}} \\[ 5pt ] &(ワ)& -0.50   &(カ)& -2R_{\mathrm {L}}K\left( V_{\mathrm {B}}-V_{\mathrm {T}}\right) v_{\mathrm {in}}   &(ヨ)& 1.0
\end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

本問は(1)が最も難しく,後半の問題はそれほど複雑な計算を要しないため,(1)に惑わされないように解く必要があります。全体としては特別な公式も使用することはなく,一種としては比較的オーソドックスな問題と言えると思います。

【解答】

(1)解答:ロ
(2)解答:ヌ
図1,2より\(V_{\mathrm {GS}}=V_{\mathrm {B}}\)である。
また,\(V_{\mathrm {DS}}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {DS}} &=& V_{\mathrm {DD}}-R_{\mathrm {L}}I_{\mathrm {D}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があるので,これに②を代入し,各値を代入すると,
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {DS}} &=& V_{\mathrm {DD}}-R_{\mathrm {L}}\cdot K\left( V_{\mathrm {GS}}-V_{\mathrm {T}}\right) ^{2} \\[ 5pt ] &=& -KR_{\mathrm {L}} V_{\mathrm {GS}} ^{2}+2KR_{\mathrm {L}} V_{\mathrm {T}}V_{\mathrm {GS}}-KR_{\mathrm {L}} V_{\mathrm {T}} ^{2}+V_{\mathrm {DD}} \\[ 5pt ] &=& -40\times 10^{-6}\times 50\times 10^{3} \times V_{\mathrm {B}} ^{2}+2\times 40\times 10^{-6}\times 50\times 10^{3} \times 0.50 \times V_{\mathrm {B}}-40\times 10^{-6}\times 50\times 10^{3}\times 0.50 ^{2}+3.0 \\[ 5pt ] &=& -2 V_{\mathrm {B}} ^{2}+2V_{\mathrm {B}}+2.5 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって,①は,
\[
\begin{eqnarray}
 V_{\mathrm {DS}} &≧& V_{\mathrm {B}}-V_{\mathrm {T}} &>& 0 \\[ 5pt ]  V_{\mathrm {DS}}+V_{\mathrm {T}} &≧& V_{\mathrm {B}} &>& V_{\mathrm {T}} \\[ 5pt ]  -2 V_{\mathrm {B}} ^{2}+2V_{\mathrm {B}}+2.5+0.5 &≧& V_{\mathrm {B}} &>& 0.5 \\[ 5pt ]  -2 V_{\mathrm {B}} ^{2}+2V_{\mathrm {B}}+3 &≧& V_{\mathrm {B}} &>& 0.5 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と整理でき,\(-2 V_{\mathrm {B}} ^{2}+2V_{\mathrm {B}}+3≧V_{\mathrm {B}}\)を解くと,
\[
\begin{eqnarray}
 -2 V_{\mathrm {B}} ^{2}+2V_{\mathrm {B}}+3&≧&V_{\mathrm {B}} \\[ 5pt ]  -2 V_{\mathrm {B}} ^{2}+V_{\mathrm {B}}+3&≧&0 \\[ 5pt ]  2 V_{\mathrm {B}} ^{2}-V_{\mathrm {B}}-3&≦&0 \\[ 5pt ]  \left( V_{\mathrm {B}}+1\right) \left( 2 V_{\mathrm {B}}-3\right) &≦&0 \\[ 5pt ]  -1 ≦ V_{\mathrm {B}}&≦&1.5 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので,(1)は(ロ),(2)は(ヌ)となる。

(3)解答:カ
③より,
\[
\begin{eqnarray}
\Delta V_{\mathrm {out}} &=& V_{\mathrm {out}}-V_{0} \\[ 5pt ] &=& V_{\mathrm {DD}}-R_{\mathrm {L}}K\left( V_{\mathrm {B}}+v_{\mathrm {in}}-V_{\mathrm {T}}\right) ^{2} -\left[ V_{\mathrm {DD}}-R_{\mathrm {L}}K\left( V_{\mathrm {B}}-V_{\mathrm {T}}\right) ^{2}\right] \\[ 5pt ] &=& V_{\mathrm {DD}}- R_{\mathrm {L}}K\left( V_{\mathrm {B}}^{2}+v_{\mathrm {in}}^{2}+V_{\mathrm {T}}^{2}+2V_{\mathrm {B}}v_{\mathrm {in}}-2v_{\mathrm {in}}V_{\mathrm {T}}-2V_{\mathrm {T}}V_{\mathrm {B}}\right) \\[ 5pt ] && -\left[ V_{\mathrm {DD}}-R_{\mathrm {L}}K\left( V_{\mathrm {B}}^{2}-2V_{\mathrm {B}}V_{\mathrm {T}}+ V_{\mathrm {T}}^{2}\right) \right] \\[ 5pt ] &≃& -R_{\mathrm {L}}K\left( 2V_{\mathrm {B}}v_{\mathrm {in}}-2v_{\mathrm {in}}V_{\mathrm {T}}\right) \\[ 5pt ] &=&-2R_{\mathrm {L}}K\left( V_{\mathrm {B}}-V_{\mathrm {T}}\right) v_{\mathrm {in}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答:ル
③に各値を代入すると,
\[
\begin{eqnarray}
V_{0} &=& V_{\mathrm {DD}}-R_{\mathrm {L}}K\left( V_{\mathrm {B}}-V_{\mathrm {T}}\right) ^{2} \\[ 5pt ] &=& 3.0-50\times 10^{3}\times 40\times 10^{-6} \times \left( 1.0-0.5\right) ^{2} \\[ 5pt ] &=& 2.5 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答:ニ
(3)より,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\Delta V_{\mathrm {out}}}{v_{\mathrm {in}}} &=& -2R_{\mathrm {L}}K\left( V_{\mathrm {B}}-V_{\mathrm {T}}\right) \\[ 5pt ] &=& -2\times 50\times 10^{3}\times 40\times 10^{-6}\left( 1.0-0.5\right) \\[ 5pt ] &=& -2 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。



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