《理論》〈電磁気〉[H28:問1] 三つの導体からなる同心球コンデンサに関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆(やや易しい)

次の文章は,三つの導体からなる同心球コンデンサに関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。

図のように,半径\( \ a \ \),\( \ 2a \ \),\( \ 4a \ \)の三つの導体球面\( \ \mathrm {A} \ \),\( \ \mathrm {B} \ \),\( \ \mathrm {C} \ \)が同心となるように真空中に置かれている。その厚さは無視できる。導体\( \ \mathrm {B} \ \)及び\( \ \mathrm {C} \ \)には穴が開けられてそこから導線が引き出されていて,スイッチ\( \ \mathrm {S_{1}} \ \)を閉じると導体\( \ \mathrm {B} \ \)が接地され,スイッチ\( \ \mathrm {S_{2}} \ \)を閉じると導体\( \ \mathrm {A} \ \)及び\( \ \mathrm {C} \ \)が短絡されるようになっている。
ただし,穴は十分小さく,かつ導線及びスイッチは周りの空間と絶縁されており,その影響は無視できるものとする。また,真空中の誘電率は\( \ \varepsilon _{0} \ \)とする。
最初にスイッチ\( \ \mathrm {S_{1}} \ \)及び\( \ \mathrm {S_{2}} \ \)はともに開いており,導体\( \ \mathrm {A} \ \)には電荷\( \ Q \ \)が与えられている。このとき,無限遠を接地電位(零)としたときの導体\( \ \mathrm {A} \ \)の電位は\( \ \fbox {  (1)  } \ \)であり,静電容量は\( \ \fbox {  (2)  } \ \)である。また,導体\( \ \mathrm {A} \ \)より内側の空間における電界の大きさは\( \ \fbox {  (3)  } \ \)である。
次に,スイッチ\( \ \mathrm {S_{1}} \ \)を閉じて十分時間が経ったとき,導体\( \ \mathrm {A} \ \)の電位は\( \ \fbox {  (4)  } \ \)になる。
さらに,スイッチ\( \ \mathrm {S_{1}} \ \)を閉じたままスイッチ\( \ \mathrm {S_{2}} \ \)を閉じて十分時間が経ったとき,導体\( \ \mathrm {A} \ \)に存在する電荷は\( \ \fbox {  (5)  } \ \)である。

〔問1の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&(イ)& \frac {Q}{16\pi \varepsilon _{0}a}     &(ロ)& \frac {1}{3}Q     &(ハ)& 4\pi \varepsilon _{0}a \\[ 5pt ] &(ニ)& 0     &(ホ)& \frac {3Q}{8\pi \varepsilon _{0}a}     &(ヘ)& \frac {1}{5}Q \\[ 5pt ] &(ト)& \frac {4}{3}\pi \varepsilon _{0}a     &(チ)& \frac {Q}{8\pi \varepsilon _{0}a}     &(リ)& \frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}a} \\[ 5pt ] &(ヌ)& \frac {3Q}{4\pi \varepsilon _{0}a}     &(ル)& \frac {1}{4}Q     &(ヲ)& \frac {16}{3}\pi \varepsilon _{0}a \\[ 5pt ] &(ワ)& \frac {3Q}{4\pi \varepsilon _{0}a^{2}}     &(カ)& \frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}a^{2}}     &(ヨ)& \frac {3Q}{16\pi \varepsilon _{0}a}
\end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

ガウスの定理と電位の式を用いる問題です。(1)~(4)は二種~三種レベルの問題となります。一種受験者であれば確実に解けるようにしておきたい問題です。

1.ガウスの定理
\( \ Q [ \mathrm {C} ] \ \)から出る電気力線は\( \ \displaystyle \frac {Q}{\varepsilon } \ \)本であり,電界\( \ E \ \)との関係は,任意の閉曲面において,
\[
\int _{S} \boldsymbol E \mathrm {d}\boldsymbol S = \frac {Q}{\varepsilon }
\] となります。閉局面が球面であれば,
\[
\begin{eqnarray}
4\pi r^{2} E &=& \frac {Q}{\varepsilon } \\[ 5pt ] E &=& \frac {Q}{4\pi \varepsilon r^{2}}
\end{eqnarray}
\] となります。

2.空間上の電位\( \ V \ \)
電荷からの距離\( \ r \ \)に関する電界\( \ E_{\mathrm {r}} \ \)が与えられている時,その場所の電位\( \ V \ \)は,無限遠を基準とすると,
\[
V=-\int _{\infty }^{r}E_{\mathrm {r}}\mathrm {d}r
\] で求められます。

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  同心球コンデンサの静電容量

【解答】

(1)解答:リ
\( \ r>a \ \)における電界\( \ E \ \)は,ガウスの定理より,
\[
E = \frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}
\] であるから,導体\( \ \mathrm {A} \ \)の電位\( \ V \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
V &=& -\int _{\infty }^{a}E \mathrm {d}r \\[ 5pt ] &=& -\int _{\infty }^{a} \frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}\mathrm {d}r \\[ 5pt ] &=& \frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}\left[ \frac {1}{r}\right] _{\infty }^{a}\\[ 5pt ] &=& \frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}a}
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答:ハ
(1)の解答式より静電容量\( \ C \ \)は
\[
\begin{eqnarray}
C &=& \frac {Q}{V} \\[ 5pt ] &=& 4\pi \varepsilon _{0}a
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答:ニ
導体\( \ \mathrm {A} \ \)の内側には電荷はなく,電界が現れないので,電界の大きさは\( \ 0 \ \)である。

(4)解答:チ
スイッチ\( \ \mathrm {S_{1}} \ \)を閉じて十分時間が経つと,導体\( \ \mathrm {B} \ \)の電位は零となるので,その時の導体\( \ \mathrm {A} \ \)の電位\( \ V_{\mathrm {A}}^{\prime } \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {A}}^{\prime } &=& -\int _{2a }^{a}E \mathrm {d}r \\[ 5pt ] &=& -\int _{2a }^{a} \frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}\mathrm {d}r \\[ 5pt ] &=& \frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}\left[ \frac {1}{r}\right] _{2a}^{a}\\[ 5pt ] &=& \frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}\left( \frac {1}{a}-\frac {1}{2a}\right) \\[ 5pt ] &=& \frac {Q}{8\pi \varepsilon _{0}a}
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答:ヘ
スイッチ\( \ \mathrm {S_{1}} \ \)を閉じたままスイッチ\( \ \mathrm {S_{2}} \ \)を閉じて十分時間が経つと,導体\( \ \mathrm {A} \ \)と導体\( \ \mathrm {C} \ \)の電位が等しくなる。その時,各導体に蓄えらえる電荷を\( \ Q_{\mathrm {A}} \ \),\( \ Q_{\mathrm {B}} \ \),\( \ Q_{\mathrm {C}} \ \)とすると,
\[
Q_{\mathrm {A}} +Q_{\mathrm {C}} = Q     ・・・・・・・・①
\] であり,導体\( \ \mathrm {C} \ \)の電位\( \ V_{\mathrm {C}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {C}} &=& -\int _{\infty }^{4a} \frac {Q_{\mathrm {A}} +Q_{\mathrm {B}}+Q_{\mathrm {C}}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}\mathrm {d}r \\[ 5pt ] V_{\mathrm {C}} &=& \frac {Q_{\mathrm {A}} +Q_{\mathrm {B}}+Q_{\mathrm {C}}}{16\pi \varepsilon _{0}a}  ・・・・・・・・②
\end{eqnarray}
\] となり,導体\( \ \mathrm {B} \ \)の電位\( \ V_{\mathrm {B}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {B}} &=& -\int _{4a }^{2a} \frac {Q_{\mathrm {A}} +Q_{\mathrm {B}}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}\mathrm {d}r +V_{\mathrm {C}} \\[ 5pt ] &=& \frac {Q_{\mathrm {A}} +Q_{\mathrm {B}}}{16\pi \varepsilon _{0}a}+\frac {Q_{\mathrm {A}} +Q_{\mathrm {B}}+Q_{\mathrm {C}}}{16\pi \varepsilon _{0}a} \\[ 5pt ] &=& \frac {2Q_{\mathrm {A}} +2Q_{\mathrm {B}}+Q_{\mathrm {C}}}{16\pi \varepsilon _{0}a}
\end{eqnarray}
\] となる。\( \ V_{\mathrm {B}}=0 \ \)であるから,
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {B}} &=& 0 \\[ 5pt ] \frac {2Q_{\mathrm {A}} +2Q_{\mathrm {B}}+Q_{\mathrm {C}}}{16\pi \varepsilon _{0}a} &=& 0 \\[ 5pt ] 2Q_{\mathrm {A}} +2Q_{\mathrm {B}}+Q_{\mathrm {C}}&=& 0  ・・・・・・・・③
\end{eqnarray}
\] となる。導体\( \ \mathrm {A} \ \)の電位\( \ V_{\mathrm {A}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {A}} &=& -\int _{2a }^{a} \frac {Q_{\mathrm {A}}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}\mathrm {d}r \\[ 5pt ] &=& \frac {Q_{\mathrm {A}}}{8\pi \varepsilon _{0}a}       ・・・・・・・・④
\end{eqnarray}
\] となる。\( \ V_{\mathrm {A}}=V_{\mathrm {C}} \ \)であるから,②,④より,
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {A}} &=& V_{\mathrm {C}} \\[ 5pt ] \frac {Q_{\mathrm {A}}}{8\pi \varepsilon _{0}a} &=& \frac {Q_{\mathrm {A}} +Q_{\mathrm {B}}+Q_{\mathrm {C}}}{16\pi \varepsilon _{0}a} \\[ 5pt ] -Q_{\mathrm {A}} +Q_{\mathrm {B}}+Q_{\mathrm {C}}&=& 0   ・・・・・・・・⑤
\end{eqnarray}
\] となる。①,③,⑤の連立方程式を解くと,
\[
\begin{eqnarray}
Q_{\mathrm {A}} &=& \frac {1}{5}Q \\[ 5pt ] Q_{\mathrm {B}} &=& -\frac {3}{5}Q \\[ 5pt ] Q_{\mathrm {C}} &=& \frac {4}{5}Q
\end{eqnarray}
\] と求められる。



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