《理論》〈電磁気〉[R05:問1]平行平板コンデンサの電極に働く力に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

次の文章は，平行平板コンデンサの電極に働く力に関する記述である。文中の$\ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ $に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。

平行平板コンデンサの$\ 2 \ $枚の電極間の距離が$\ x \ $のとき，静電容量が$\ C \ $であるとする。このとき，仮想変位法を用いて，電極間の距離を$\ \mathrm {d}x \ $だけ微小に広げることにより，電極に働く力$\ F \ $を求めることを考える。なお，$\ C \ $，$\ F \ $は$\ x \ $の関数である。

まず，電極間の距離を$\ \mathrm {d}x \ $だけ広げるためにコンデンサがした力学的仕事は，$\ F\mathrm {d}x \ $で表される。これにより，コンデンサに蓄えられた電界のエネルギー$\ W_{\mathrm {E}} \ $が，$\ \mathrm {d}W_{\mathrm {E}} \ $だけ増えるとする。

ここで，次の二つの場合について考える。

(a)　定電荷の場合
　$\ 2 \ $枚の電極にそれぞれ$\ +Q \ $，$-Q \ \left( Q＞0\right) \ $の電荷を与え，電極を電源に接続していないとする。エネルギー保存則により，$\ \mathrm {d}W_{\mathrm {E}} \ $と$\ F\mathrm {d}x \ $との間に$\ \mathrm {d}W_{\mathrm {E}}+F\mathrm {d}x=0 \ $の関係が成り立つ。$\ W_{\mathrm {E}} \ $を$\ C \ $，$\ Q \ $で表すと$\ \fbox {　 （１） 　} \ $であるので，$\ \displaystyle F=-\frac {\mathrm {d}W_{\mathrm {E}}}{\mathrm {d}x} \ $を計算すれば，力$\ F \ $が$\ \fbox {　 （２） 　} \ $と求められる。

(b)　定電圧の場合
　$\ 2 \ $枚の電極を電圧$\ V \ \left( V＞0\right) \ $の定電圧源に接続しているとする。電極間の距離を$\ \mathrm {d}x \ $だけ広げることによる静電容量の変化を$\ \mathrm {d}C \ $とするとき，電極に存在する電荷の大きさの変化は$\ \mathrm {d}Q=V\mathrm {d}C \ $となる。また，コンデンサから電源に流入したエネルギーは，$\ \mathrm {d}W_{\mathrm {S}}=-V\mathrm {d}Q=-V^{2}\mathrm {d}C \ $となる。

一方，コンデンサに蓄えられた電界のエネルギーを$\ C \ $，$\ V \ $で表すと，$\ \displaystyle W_{\mathrm {E}}=\frac {CV^{2}}{2} \ $であり，その変化$\ \mathrm {d}W_{\mathrm {E}} \ $は$\ \fbox {　 （３） 　} \ $である。

エネルギー保存則により，$\ \mathrm {d}W_{\mathrm {E}} \ $，$\ \mathrm {d}W_{\mathrm {S}} \ $と$\ F\mathrm {d}x \ $との間には，$\ \mathrm {d}W_{\mathrm {E}}+\mathrm {d}W_{\mathrm {S}}+F\mathrm {d}x=0 \ $の関係が成り立つ。よって，力$\ F \ $は$\ \fbox {　 （４） 　} \ $と求められる。

ここで，電極間の距離が$\ x \ $のときに(a)の電荷$\ Q \ $と(b)の電圧$\ V \ $の間に$\ \displaystyle V=\frac {Q}{C} \ $が成立する場合，(a)と(b)からそれぞれ求めた力$\ F \ $を比較すると，$\ \fbox {　 （５） 　} \ $ことが分かる。

〔問1の解答群〕

$$\begin{eqnarray} &（イ）&　\frac {V^{2}}{3}\mathrm {d}C　　　　　&（ロ）&　\frac {Q^{2}}{C^{2}}\frac {\mathrm {d}C}{\mathrm {d}x}　　　　　&（ハ）&　\frac {Q^{2}}{2C} \\[ 5pt ] &（ニ）&　\frac {Q^{2}}{C}　　　　　　　&（ホ）&　\frac {V^{2}}{2}\mathrm {d}C　　　　　&（ヘ）&　V^{2}\frac {\mathrm {d}C}{\mathrm {d}x} \\[ 5pt ] &（ト）&　\frac {Q^{2}}{2C^{2}}\frac {\mathrm {d}C}{\mathrm {d}x}　　　　　&（チ）&　\frac {Q^{2}}{3C^{2}}\frac {\mathrm {d}C}{\mathrm {d}x}　　　　　　　&（リ）&　\frac {V^{2}}{2}\frac {\mathrm {d}C}{\mathrm {d}x} \\[ 5pt ] &（ヌ）&　V^{2}\mathrm {d}C　　　　　&（ル）&　\frac {V^{2}}{3}\frac {\mathrm {d}C}{\mathrm {d}x}　　　　　　&（ヲ）&　\frac {Q^{2}}{3C} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} &（ワ）&　定電圧源に接続されている方が強い力が働く \\[ 5pt ] &（カ）&　定電圧源に接続されていない方が強い力が働く \\[ 5pt ] &（ヨ）&　定電圧源に接続されているかどうかに関わらず同じ力が働く \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$

【ワンポイント解説】

コンデンサの電極に働く力が条件の異なる場合にどのようになるかを求める問題です。
公式自体は$\ 3 \ $種の頃から使用している公式ばかりですが，微分積分の扱いにやや迷う問題であるかなと思います。
$\ 1 \ $種では本問のようにその場で考えさせる問題が多く出題されますので，問題慣れするようにしておきましょう。

1.平行平板コンデンサの静電エネルギー$\ W \ $
平行平板コンデンサの静電エネルギー$\ W \ \mathrm {[J]} \ $は，静電容量$\ C \ \mathrm {[F]} \ $及びコンデンサに加わる電圧が$\ V \ \mathrm {[V]} \ $であるとき，

$$\begin{eqnarray} W &=&\frac {1}{2}CV^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ であり，蓄えられる電荷$\ Q \ \mathrm {[C]} \ $が$\ Q=CV \ $であることから，
$$\begin{eqnarray} W&=&\frac {1}{2}QV \\[ 5pt ] &=&\frac {Q^{2}}{2C} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となります。

【解答】

(1)解答：ハ
コンデンサに蓄えられるエネルギー$\ W_{\mathrm {E}} \ $は，ワンポイント解説「1.平行平板コンデンサの静電エネルギー$\ W \ $」の通り，

$$\begin{eqnarray} W_{\mathrm {E}}&=&\frac {Q^{2}}{2C} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ と求められる。

(2)解答：ト
(1)解答式の両辺を$\ C \ $で微分すると，

$$\begin{eqnarray} \frac {\mathrm {d}W_{\mathrm {E}}}{\mathrm {d}C}&=&-\frac {Q^{2}}{2C^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ であるので，
$$\begin{eqnarray} F&=&-\frac {\mathrm {d}W_{\mathrm {E}}}{\mathrm {d}x} \\[ 5pt ] &=&-\frac {\mathrm {d}W_{\mathrm {E}}}{\mathrm {d}C}\cdot \frac {\mathrm {d}C}{\mathrm {d}x} \\[ 5pt ] &=&-\left( -\frac {Q^{2}}{2C^{2}}\right) \cdot \frac {\mathrm {d}C}{\mathrm {d}x} \\[ 5pt ] &=&\frac {Q^{2}}{2C^{2}}\frac {\mathrm {d}C}{\mathrm {d}x} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ と求められる。

(3)解答：ホ
$\ \displaystyle W_{\mathrm {E}}=\frac {CV^{2}}{2} \ $の両辺を$\ C \ $で微分すると，

$$\begin{eqnarray} \frac {\mathrm {d}W_{\mathrm {E}}}{\mathrm {d}C}&=&\frac {V^{2}}{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となるので，
$$\begin{eqnarray} \mathrm {d}W_{\mathrm {E}}&=&\frac {V^{2}}{2}\mathrm {d}C \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ と求められる。

(4)解答：リ
$\ \mathrm {d}W_{\mathrm {E}}+\mathrm {d}W_{\mathrm {S}}+F\mathrm {d}x=0 \ $に(3)解答式及び$\ \mathrm {d}W_{\mathrm {S}}=-V^{2}\mathrm {d}C \ $を代入すると，

$$\begin{eqnarray} \frac {V^{2}}{2}\mathrm {d}C-V^{2}\mathrm {d}C+F\mathrm {d}x&=&0 \\[ 5pt ] F\mathrm {d}x&=&\frac {V^{2}}{2}\mathrm {d}C \\[ 5pt ] F&=&\frac {V^{2}}{2}\frac {\mathrm {d}C}{\mathrm {d}x} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ と求められる。

(5)解答：ヨ
(4)解答式に$\ \displaystyle V=\frac {Q}{C} \ $を代入すると，

$$\begin{eqnarray} F&=&\frac {Q^{2}}{2C^{2}}\frac {\mathrm {d}C}{\mathrm {d}x} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となり，これは(2)解答式と一致する。したがって，定電圧源に接続されているかどうかに関わらず同じ力が働く。