《理論》〈電気回路〉[R03:問3]２端子対抵抗回路の電流，電圧に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

次の文章は，\( \ 2 \ \)端子対抵抗回路の電流，電圧に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。

図のように\( \ 2 \ \)端子対抵抗回路の電流と電圧を定義する。オームの法則とキルヒホッフの法則を使って，\( \ \displaystyle \frac {V_{1}}{I_{1}} \ \)と\( \ \displaystyle \frac {V_{2}}{I_{2}} \ \)を求めてみる。

端子対\( \ \mathrm {a}-\mathrm {b} \ \)間の電位差\( \ V_{1} \ \)は，経路\( \ \mathrm {a}→\mathrm {c}→\mathrm {b} \ \)での電圧降下の和で表すと，
\[
\begin{eqnarray}
V_{1}&=&R_{\mathrm {a}}I_{\mathrm {a}}+R_{\mathrm {b}}\left( \ \fbox {　 （１） 　} \ \right)　・・・・・・・・・・・・・・　① \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，経路\( \ \mathrm {a}→\mathrm {d}→\mathrm {b} \ \)での電圧降下の和で表すと，
\[
\begin{eqnarray}
V_{1}&=&R_{\mathrm {a}}I_{\mathrm {b}}+R_{\mathrm {b}}\left( \ \fbox {　 （２） 　} \ \right)　・・・・・・・・・・・・・・　② \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。\( \ I_{1}=I_{\mathrm {a}}+I_{\mathrm {b}} \ \)を利用すると，①式と②式より\( \ \displaystyle \frac {V_{1}}{I_{1}}= \ \fbox {　 （３） 　} \ \)となる。

一方，端子対\( \ \mathrm {c}-\mathrm {d} \ \)間の電位差\( \ V_{2} \ \)は経路\( \ \mathrm {c}→\mathrm {a}→\mathrm {d} \ \)での電圧降下の和で表すと，
\[
\begin{eqnarray}
V_{2}&=&R_{\mathrm {a}}\left( -I_{\mathrm {a}}\right) +R_{\mathrm {a}}I_{\mathrm {b}}　・・・・・・・・・・・・・・・・・・　③ \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，経路\( \ \mathrm {c}→\mathrm {b}→\mathrm {d} \ \)での電圧降下の和で表すと，
\[
\begin{eqnarray}
V_{2}&=&R_{\mathrm {b}}\left( \ \fbox {　 （１） 　} \ \right) +R_{\mathrm {b}}\left( \ \fbox {　 （４） 　} \ \right) 　・・・・・・・・・　④ \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。③式から\( \ \displaystyle \frac {V_{2}}{R_{\mathrm {a}}} \ \)を求め，④式から\( \ \displaystyle \frac {V_{2}}{R_{\mathrm {b}}} \ \)を求めて加算すると，\( \ \displaystyle \frac {V_{2}}{I_{2}}= \ \fbox {　 （５） 　} \ \)となる。

〔問3の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　R_{\mathrm {a}}+R_{\mathrm {b}}　　　　　&（ロ）&　I_{\mathrm {b}}　　　　　&（ハ）&　I_{\mathrm {a}}-I_{\mathrm {2}} \\[ 5pt ] &（ニ）&　R_{\mathrm {a}}　　　　　&（ホ）&　I_{\mathrm {b}}+I_{\mathrm {2}}　　　　　&（ヘ）&　I_{\mathrm {a}}+I_{\mathrm {2}} \\[ 5pt ] &（ト）&　I_{\mathrm {b}}-I_{\mathrm {2}}　　　　　&（チ）&　I_{\mathrm {a}}　　　　　&（リ）&　-I_{\mathrm {b}} \\[ 5pt ] &（ヌ）&　I_{\mathrm {2}}-I_{\mathrm {b}}　　　　　&（ル）&　-I_{\mathrm {a}}　　　　　&（ヲ）&　\frac {1}{2}\left( R_{\mathrm {a}}+R_{\mathrm {b}}\right) \\[ 5pt ] &（ワ）&　\frac {2R_{\mathrm {a}}R_{\mathrm {b}}}{R_{\mathrm {a}}+R_{\mathrm {b}}}　　　　　&（カ）&　\frac {R_{\mathrm {a}}R_{\mathrm {b}}}{R_{\mathrm {a}}+R_{\mathrm {b}}}　　　　　&（ヨ）&　R_{\mathrm {b}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

直流回路に関する問題です。
一見複雑そうに見える問題ですがオームの法則やキルヒホッフの法則以外の難解な法則等を一切使用しないため，\( \ 1 \ \)種としてはかなり易しい問題となります。
完答を目指して取り組むようにしましょう。

【解答】

(1)解答：ヘ
経路\( \ \mathrm {a}→\mathrm {c}→\mathrm {b} \ \)において，\( \ R_{\mathrm {b}} \ \)を流れる電流はキルヒホッフの法則の電流則より\( \ I_{\mathrm {a}}+I_{\mathrm {2}} \ \)であるから，経路\( \ \mathrm {a}→\mathrm {c}→\mathrm {b} \ \)でキルヒホッフの法則の電圧則を適用すると，
\[
\begin{eqnarray}
V_{1}&=&R_{\mathrm {a}}I_{\mathrm {a}}+R_{\mathrm {b}}\left( I_{\mathrm {a}}+I_{\mathrm {2}} \right)　\\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答：ト
(1)と同様に，経路\( \ \mathrm {a}→\mathrm {d}→\mathrm {b} \ \)において，\( \ R_{\mathrm {b}} \ \)を流れる電流はキルヒホッフの法則の電流則より\( \ I_{\mathrm {b}}-I_{\mathrm {2}} \ \)であるから，経路\( \ \mathrm {a}→\mathrm {d}→\mathrm {b} \ \)でキルヒホッフの法則の電圧則を適用すると，
\[
\begin{eqnarray}
V_{1}&=&R_{\mathrm {a}}I_{\mathrm {b}}+R_{\mathrm {b}}\left( I_{\mathrm {b}}-I_{\mathrm {2}} \right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答：ヲ
①＋②を計算すると，
\[
\begin{eqnarray}
2V_{1}&=&R_{\mathrm {a}}I_{\mathrm {a}}+R_{\mathrm {a}}I_{\mathrm {b}} +R_{\mathrm {b}}\left( I_{\mathrm {a}}+I_{\mathrm {2}} \right) +R_{\mathrm {b}}\left( I_{\mathrm {b}}-I_{\mathrm {2}} \right) \\[ 5pt ] &=&R_{\mathrm {a}}\left( I_{\mathrm {a}}+I_{\mathrm {b}} \right) +R_{\mathrm {b}}\left( I_{\mathrm {a}}+I_{\mathrm {b}} \right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，\( \ I_{1}=I_{\mathrm {a}}+I_{\mathrm {b}} \ \)であるから，
\[
\begin{eqnarray}
2V_{1}&=&R_{\mathrm {a}}I_{1} +R_{\mathrm {b}}I_{1} \\[ 5pt ] &=&\left( R_{\mathrm {a}} +R_{\mathrm {b}}\right) I_{1} \\[ 5pt ] \frac {V_{1}}{I_{1}}&=&\frac {1}{2}\left( R_{\mathrm {a}}+R_{\mathrm {b}}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：ヌ
(1)と同様に，経路\( \ \mathrm {c}→\mathrm {b}→\mathrm {d} \ \)において，端子\( \ \mathrm {c}→\mathrm {b} \ \)間を流れる電流は\( \ I_{\mathrm {a}}+I_{\mathrm {2}} \ \)であり，端子\( \ \mathrm {b}→\mathrm {d} \ \)間を流れる電流は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {a}}+I_{\mathrm {2}}-I_{\mathrm {1}}&=&I_{\mathrm {a}}+I_{\mathrm {2}}-\left( I_{\mathrm {a}}+I_{\mathrm {b}} \right) \\[ 5pt ] &=&I_{\mathrm {2}}-I_{\mathrm {b}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから，経路\( \ \mathrm {c}→\mathrm {b}→\mathrm {d} \ \)でキルヒホッフの法則の電圧則を適用すると，
\[
\begin{eqnarray}
V_{2}&=&R_{\mathrm {b}}\left( I_{\mathrm {a}}+I_{\mathrm {2}} \right) +R_{\mathrm {b}}\left( I_{\mathrm {2}}-I_{\mathrm {b}} \right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答：ワ
③式より，
\[
\begin{eqnarray}
V_{2}&=&-R_{\mathrm {a}}I_{\mathrm {a}}+R_{\mathrm {a}}I_{\mathrm {b}} \\[ 5pt ] &=&R_{\mathrm {a}}\left( -I_{\mathrm {a}}+I_{\mathrm {b}}\right) \\[ 5pt ] \frac {V_{2}}{R_{\mathrm {a}}}&=&-I_{\mathrm {a}}+I_{\mathrm {b}}　・・・・・・・・・・・・・・・・　③^{\prime } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，④式より，
\[
\begin{eqnarray}
V_{2}&=&R_{\mathrm {b}}\left\{ \left( I_{\mathrm {a}}+I_{\mathrm {2}} \right) +\left( I_{\mathrm {2}}-I_{\mathrm {b}} \right) \right\} \\[ 5pt ] &=&R_{\mathrm {b}}\left( I_{\mathrm {a}}-I_{\mathrm {b}}+2I_{\mathrm {2}} \right) \\[ 5pt ] \frac {V_{2}}{R_{\mathrm {b}}}&=&I_{\mathrm {a}}-I_{\mathrm {b}}+2I_{\mathrm {2}}　・・・・・・・・・・・・・・　④^{\prime } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから，\( \ ③^{\prime }+④^{\prime } \ \)を計算すると，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {V_{2}}{R_{\mathrm {a}}}+\frac {V_{2}}{R_{\mathrm {b}}}&=&-I_{\mathrm {a}}+I_{\mathrm {b}}+I_{\mathrm {a}}-I_{\mathrm {b}}+2I_{\mathrm {2}} \\[ 5pt ] V_{2}\left( \frac {1}{R_{\mathrm {a}}}+\frac {1}{R_{\mathrm {b}}}\right) &=&2I_{\mathrm {2}} \\[ 5pt ] V_{2} \frac {R_{\mathrm {a}}+R_{\mathrm {b}}}{R_{\mathrm {a}}R_{\mathrm {b}}} &=&2I_{\mathrm {2}} \\[ 5pt ] \frac {V_{2}}{I_{2}} &=&\frac {2R_{\mathrm {a}}R_{\mathrm {b}}}{R_{\mathrm {a}}+R_{\mathrm {b}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。