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【問題】
【難易度】★★☆☆☆(やや易しい)
次の文章は,ヘイブリッジに関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切な式を解答群の中から選びなさい。
図において,交流電源の電圧を\( \ \dot E \ \), その角周波数を\( \ \omega \left( \omega =2\pi f \right) \ \)とし,\( \ R_{2} \ \),\( \ R_{3} \ \)及び\( \ R_{4} \ \)は既知の抵抗,\( \ C \ \)は既知の静電容量,\( \ \Large {Ⓖ} \ \)は検出器であるとする。いま,角周波数\( \ \omega \ \)が既知であり,インダクタンス\( \ L \ \)とその抵抗\( \ R_{1} \ \)が未知の場合を考える。検出器\( \ \Large {Ⓖ} \ \)の指示が零となりブリッジが平衡しているとすれば,平衡条件式の実数部より\( \ \displaystyle \frac {L}{C}= \ \fbox { (1) } \ \),虚数部より\( \ \displaystyle \omega ^{2}= \ \fbox { (2) } \ \)が成立する。
したがって,未知のインダクタンス\( \ L \ \)とその抵抗\( \ R_{1} \ \)はそれぞれ,\( \ L= \ \fbox { (3) } \ \),\( \ R_{1}= \ \fbox { (4) } \ \)で求められる。
次に,ブリッジの各素子\( \ R_{2} \ \),\( \ R_{3} \ \),\( \ R_{4} \ \),\( \ C \ \)及びインダクタンス\( \ L \ \)とその抵抗\( \ R_{1} \ \)が既知であり,角周波数\( \ \omega \ \)が未知である場合を考える。平衡条件式の虚数部に着目し,ブリッジに接続された交流電源の周波数\( \ f \ \)を求めれば,\( \ f= \ \fbox { (5) } \ \)となる。
〔問4の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&(イ)& CLR_{1}R_{4} &(ロ)& \frac {\sqrt {R_{1}}}{\sqrt {CLR_{4}}} &(ハ)& R_{2}R_{3}-R_{1}R_{4} \\[ 5pt ]
&(ニ)& \frac {CR_{2}R_{3}}{1-\omega ^{2}C^{2}{R_{4}}^{2}} &(ホ)& \frac {\omega ^{2}C^{2}R_{2}R_{3}R_{4}}{1-\omega ^{2}C^{2}{R_{4}}^{2}} &(ヘ)& \frac {\sqrt {R_{1}}}{2\pi \sqrt {CLR_{4}}} \\[ 5pt ]
&(ト)& \omega ^{2}C^{2}R_{2}R_{3}R_{4} &(チ)& \frac {CR_{2}R_{3}}{1+\omega ^{2}C^{2}{R_{4}}^{2}} &(リ)& 2\pi \sqrt {CL} \\[ 5pt ]
&(ヌ)& \frac {R_{4}}{CLR_{1}} &(ル)& CR_{2}R_{3} &(ヲ)& R_{2}R_{3} \\[ 5pt ]
&(ワ)& \frac {\omega ^{2}C^{2}R_{2}R_{3}R_{4}}{1+\omega ^{2}C^{2}{R_{4}}^{2}} &(カ)& R_{1}R_{4}-R_{2}R_{3} &(ヨ)& \frac {R_{1}}{CLR_{4}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【ワンポイント解説】
ヘイブリッジに関する問題です。
インダクタンスやコンデンサを問題図のように接続した回路で,主に周波数やインダクタンスを求めるために用いられる回路です。
名称を初めて聞く方もいらっしゃると思いますが,解き方は普通の交流ブリッジ回路と同じですので,安心して取り組んで頂ければと思います。
1.抵抗,コイル,コンデンサの電圧\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)と電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)の関係
抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \),コイル\( \ L \ \mathrm {[H]} \ \),コンデンサ\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)があり,角周波数が\( \ \omega \ \mathrm {[rad/s]} \ \)であるとき,それぞれのインピーダンスは,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {R}}&=&R \\[ 5pt ]
{\dot Z}_{\mathrm {L}}&=&\mathrm {j}\omega L \\[ 5pt ]
{\dot Z}_{\mathrm {C}}&=&\frac {1}{\mathrm {j}\omega C} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で求められ,それぞれの電圧と電流の関係は,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {R}}&=&R\dot I \\[ 5pt ]
{\dot V}_{\mathrm {L}}&=&\mathrm {j}\omega L \dot I \\[ 5pt ]
{\dot V}_{\mathrm {C}}&=&\frac {\dot I }{\mathrm {j}\omega C} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。この関係をベクトル図に表すと,図1~図3となります。
2.交流ブリッジ回路の平衡条件
図4の回路において,検流計Ⓓに電流が流れないようにしたとき,各インピーダンスの関係は,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{1}{\dot Z}_{4}&=&{\dot Z}_{2}{\dot Z}_{3} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
【解答】
(1)解答:ハ
問題図のブリッジ回路の平衡条件は,ワンポイント解説「2.交流ブリッジ回路の平衡条件」の通り,
\[
\begin{eqnarray}
\left( R_{1}+\mathrm {j}\omega L\right) \left( R_{4}+\frac {1}{\mathrm {j}\omega C}\right) &=&R_{2}R_{3} \\[ 5pt ]
R_{1}R_{4}+\frac {R_{1}}{\mathrm {j}\omega C}+\mathrm {j}\omega LR_{4}+\frac {L}{C} &=&R_{2}R_{3} \\[ 5pt ]
R_{1}R_{4}+\frac {L}{C}-\mathrm {j}\frac {R_{1}}{\omega C}+\mathrm {j}\omega LR_{4} &=&R_{2}R_{3} \left( ∵\frac {1}{\mathrm {j}}=\frac {1}{\mathrm {j}}\times \frac {\mathrm {j}}{\mathrm {j}}=-\mathrm {j}\right) \\[ 5pt ]
R_{1}R_{4}+\frac {L}{C}+\mathrm {j}\left( \omega LR_{4}-\frac {R_{1}}{\omega C}\right) &=&R_{2}R_{3} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので,左辺右辺の実部を比較すると,
\[
\begin{eqnarray}
R_{1}R_{4}+\frac {L}{C}&=&R_{2}R_{3} \\[ 5pt ]
\frac {L}{C}&=&R_{2}R_{3}-R_{1}R_{4} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(2)解答:ヨ
(1)で求めたブリッジの平衡条件の式の虚部について比較すると,
\[
\begin{eqnarray}
\omega LR_{4}-\frac {R_{1}}{\omega C}&=&0 \\[ 5pt ]
\omega LR_{4}&=&\frac {R_{1}}{\omega C} \\[ 5pt ]
\omega ^{2}&=&\frac {R_{1}}{CLR_{4}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(3)解答:チ
題意より,\( \ L \ \)と\( \ R_{1} \ \)が未知なので,(1)及び(2)の解答式を\( \ L \ \)と\( \ R_{1} \ \)の連立方程式として考える。(2)解答式を\( \ R_{1} \ \)について整理すると,
\[
\begin{eqnarray}
\omega ^{2}&=&\frac {R_{1}}{CLR_{4}} \\[ 5pt ]
R_{1}&=&\omega ^{2}CLR_{4} ・・・・・・・・・ ① \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるから,これを(1)解答式に代入すると,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {L}{C}&=&R_{2}R_{3}-R_{1}R_{4} \\[ 5pt ]
&=&R_{2}R_{3}-\omega ^{2}CLR_{4}\cdot R_{4} \\[ 5pt ]
&=&R_{2}R_{3}-\omega ^{2}CL{R_{4}}^{2} \\[ 5pt ]
L&=&CR_{2}R_{3}-\omega ^{2}C^{2}L{R_{4}}^{2} \\[ 5pt ]
L+\omega ^{2}C^{2}L{R_{4}}^{2}&=&CR_{2}R_{3} \\[ 5pt ]
L\left( 1+\omega ^{2}C^{2}{R_{4}}^{2}\right) &=&CR_{2}R_{3} \\[ 5pt ]
L&=&\frac {CR_{2}R_{3}}{1+\omega ^{2}C^{2}{R_{4}}^{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(4)解答:ワ
①式に(3)解答式を代入すれば,
\[
\begin{eqnarray}
R_{1}&=&\omega ^{2}CLR_{4} \\[ 5pt ]
&=&\omega ^{2}C\cdot \frac {CR_{2}R_{3}}{1+\omega ^{2}C^{2}{R_{4}}^{2}}\cdot R_{4} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\omega ^{2}C^{2}R_{2}R_{3}R_{4}}{1+\omega ^{2}C^{2}{R_{4}}^{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(5)解答:ヘ
(2)解答式より,
\[
\begin{eqnarray}
\omega ^{2}&=&\frac {R_{1}}{CLR_{4}} \\[ 5pt ]
\omega &=&\frac {\sqrt {R_{1}}}{\sqrt {CLR_{4}}} \\[ 5pt ]
2\pi f &=&\frac {\sqrt {R_{1}}}{\sqrt {CLR_{4}}} \\[ 5pt ]
f &=&\frac {\sqrt {R_{1}}}{2\pi \sqrt {CLR_{4}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。