《理論》〈電子理論〉[R04:問7]理想的な演算増幅器に関する計算・空欄穴埋問題

Contents

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★★★★☆（やや難しい）

次の文章は，演算増幅器に関する記述である。文中の$ \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ $に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。

a　理想演算増幅器の差動電圧利得と同相電圧利得を$ \ \mathrm {dB} \ $で表すと，$ \ \fbox {　（１）　} \ $である。

b　演算増幅器を用いて増幅回路を実現する場合，通常，$ \ \fbox {　（２）　} \ $増幅回路を構成して用いられる。演算増幅器を用いた$ \ \fbox {　（２）　} \ $増幅回路において演算増幅器の$ \ 2 \ $個の入力端子の$ \ \fbox {　（３）　} \ $となることを仮想短絡と呼ぶ。

c　直流における差動電圧利得が$ \ 100 \ \mathrm {dB} \ $，遮断周波数が$ \ 10 \ \mathrm {Hz} \ $の$ \ 1 \ $次の周波数特性を有する演算増幅器がある。この演算増幅器の利得帯域幅積（$ \ \mathrm {GB} \ $積）は，$ \ \fbox {　（４）　} \ $である。遮断周波数以上の周波数では周波数が$ \ 10 \ $倍に増加すると，演算増幅器の電圧利得は$ \ 20 \ \mathrm {dB} \ $低下する。そのため，電圧利得が$ \ 0 \ \mathrm {dB} \ $となる周波数(ユニティゲイン周波数)は$ \ \mathrm {GB} \ $積と等しい。

d　理想演算増幅器を用いた下図の回路の電圧増幅度$ \ \displaystyle \frac {v_{\mathrm {out}}}{v_{\mathrm {in}}} \ $は$ \ \fbox {　（５）　} \ $である。

〔問7の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　-\frac {R_{\mathrm {b}}}{R_{\mathrm {a}}}　　　　　&（ロ）&　1 \ \mathrm {kHz}　　　　　&（ハ）&　1 \ \mathrm {MHz} \\[ 5pt ] &（ニ）&　\frac {R_{\mathrm {a}}+R_{\mathrm {b}}}{R_{\mathrm {a}}}　　　　　&（ホ）&　-\frac {R_{\mathrm {a}}}{R_{\mathrm {b}}}　　　　　&（ヘ）&　100 \ \mathrm {kHz} \\[ 5pt ] &（ト）&　負帰還　　　　　&（チ）&　正帰還　　　　　&（リ）&　無帰還 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] \[
\begin{eqnarray}
&（ヌ）&　電位が回路構成によらず常に零 \\[ 5pt ] &（ル）&　電流が回路構成によらず常に零 \\[ 5pt ] &（ヲ）&　電位がほぼ等電位 \\[ 5pt ] &（ワ）&　ともに \ +\infty \\[ 5pt ] &（カ）&　差動電圧利得が \ +\infty \ であり，同相電圧利得が \ -\infty \ \\[ 5pt ] &（ヨ）&　同相電圧利得が \ +\infty \ であり，差動電圧利得が \ -\infty \ \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

演算増幅器に関する問題です。
通常は(5)の空欄の内容の問題が出題されることが多いですが，$ \ 2 \ $種の受験生のレベルを考えて，ややこしく(1)や(4)の空欄を出題したような印象です。
内容は一度理解してしまえば難しくありませんので，本問で理解するようにしましょう。

1.理想的な演算増幅器の特徴
　１．電圧増幅率が無限大である。したがって，無限大でない有限数が出力される時，入力端子間の電圧は$ \ 0 \ \mathrm {V} \ $(バーチャルショート)となる。
　２．入力インピーダンスが無限大である。したがって入力端子に電流は流れない。
　３．出力インピーダンスがゼロである。

2.演算増幅器の電圧増幅率とゲインの関係
演算増幅器の電圧増幅率が$ \ \displaystyle \frac {V_{\mathrm {out}}}{V_{\mathrm {in}}} \ $であるとき，ゲイン$ \ g \ \mathrm {[dB]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
g&=&20\log _{10} \left| \frac {V_{\mathrm {out}}}{V_{\mathrm {in}}}\right| \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められます。

【解答】

(1)解答：カ
題意より解答候補は，（ワ）ともに$ \ +\infty \ $，（カ）差動電圧利得が$ \ +\infty \ $であり，同相電圧利得が$ \ -\infty \ $，（ヨ）同相電圧利得が$ \ +\infty \ $であり，差動電圧利得が$ \ -\infty \ $，になると思います。
理想演算増幅器において，入力端子間に電圧差がある差動利得は，
\[
\begin{eqnarray}
g&=&20\log _{10} \infty \\[ 5pt ] &=&\infty \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，入力端子間に全く同じ電圧を入力する同相利得は，
\[
\begin{eqnarray}
g&=&20\log _{10} 0 \\[ 5pt ] &=&-\infty \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，差動電圧利得が$ \ +\infty \ $であり，同相電圧利得が$ \ -\infty \ $となります。

(2)解答：ト
題意より解答候補は，（ト）負帰還，（チ）正帰還，（リ）無帰還，になると思います。
仮想短絡は，演算増幅器を用いた負帰還増幅回路において演算増幅器の「1.理想的な演算増幅器の特徴」を満たすものとなります。

(3)解答：ヲ
題意より解答候補は，（ヌ）電位が回路構成によらず常に零，（ル）電流が回路構成によらず常に零，（ヲ）電位がほぼ等電位，になると思います。
ワンポイント解説「1.理想的な演算増幅器の特徴」の通り，仮想短絡（バーチャルショート）とは入力端子間の電位差がない，すなわち電位がほぼ等電位になることをいいます。

(4)解答：ハ
題意より解答候補は，（ロ）$ \ 1 \ \mathrm {kHz} \ $，（ハ）$ \ 1 \ \mathrm {MHz} \ $，（ヘ）$ \ 100 \ \mathrm {kHz} \ $，になると思います。
問題文の通り，「直流における差動電圧利得が$ \ 100 \ \mathrm {dB} \ $，遮断周波数が$ \ 10 \ \mathrm {Hz} \ $」であり，「遮断周波数以上の周波数では周波数が$ \ 10 \ $倍に増加すると，演算増幅器の電圧利得は$ \ 20 \ \mathrm {dB} \ $低下」し，「電圧利得が$ \ 0 \ \mathrm {dB} \ $となる周波数(ユニティゲイン周波数)は$ \ \mathrm {GB} \ $積と等しい。」ので，
　差動電圧利得が$ \ 100 \ \mathrm {dB} \ $のとき，遮断周波数が$ \ 10 \ \mathrm {Hz} \ $
　差動電圧利得が$ \ 80 \ \mathrm {dB} \ $のとき，遮断周波数が$ \ 10^{2} \ \mathrm {Hz} \ $
　差動電圧利得が$ \ 60 \ \mathrm {dB} \ $のとき，遮断周波数が$ \ 10^{3} \ \mathrm {Hz} \ $
　差動電圧利得が$ \ 40 \ \mathrm {dB} \ $のとき，遮断周波数が$ \ 10^{4} \ \mathrm {Hz} \ $
　差動電圧利得が$ \ 20 \ \mathrm {dB} \ $のとき，遮断周波数が$ \ 10^{5} \ \mathrm {Hz} \ $
　差動電圧利得が$ \ 0 \ \mathrm {dB} \ $のとき，遮断周波数が$ \ 10^{6} \ \mathrm {Hz} \ $
すなわち利得帯域幅積（$ \ \mathrm {GB} \ $積）は，$ \ 10^{6} \ \mathrm {[Hz]}=1 \ \mathrm {[MHz]} \ $と求められます。

(5)解答：イ
演算増幅器の＋側の入力端子は接地されているので，その電圧は$ \ V_{+}=0 \ \mathrm {[V]} \ $であり，－側の入力端子の電圧$ \ V_{-} \ \mathrm {[V]} \ $は理想演算増幅器においては仮想短絡（バーチャルショート）と考えられるので$ \ V_{-}=0 \ \mathrm {[V]} \ $となる。
よって，$ \ R_{\mathrm {a}} \ $を流れる電流$ \ I \ \mathrm {[A]} \ $の大きさは，
\[
\begin{eqnarray}
I&=&\frac {v_{\mathrm {in}}-V_{-}}{R_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {v_{\mathrm {in}}-0}{R_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {v_{\mathrm {in}}}{R_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，理想演算増幅器においては入力電流は零であるから，$ \ I \ \mathrm {[A]} \ $はそのまま$ \ R_{\mathrm {b}} \ $に流れる。したがって，$ \ v_{\mathrm {out}} \ \mathrm {[V]} \ $を求める式より，
\[
\begin{eqnarray}
v_{\mathrm {out}}&=&V_{-}-R_{\mathrm {b}}I \\[ 5pt ] &=&0-R_{\mathrm {b}}\cdot \frac {v_{\mathrm {in}}}{R_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ] &=&-\frac {R_{\mathrm {b}}}{R_{\mathrm {a}}}v_{\mathrm {in}} \\[ 5pt ] \frac {v_{\mathrm {out}}}{v_{\mathrm {in}}}&=&-\frac {R_{\mathrm {b}}}{R_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。