《機械・制御》〈自動制御〉[H28:問4]現代制御理論に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆（やや難しい）

図に示す構造の制御系を考える。ここで\( \ r\left( t\right) \ \)は目標値，\( \ e\left( t\right) \ \)は制御偏差，\( \ u\left( t\right) \ \)は入力，\( \ \boldsymbol x\left( t\right) \ \)は状態，\( \ y\left( t\right) \ \)は出力を表し，制御対象は次の状態方程式で記述される。
\[
\boldsymbol {\dot x}\left( t \right) =\boldsymbol A\boldsymbol x\left( t\right)+\boldsymbol b u\left( t\right)
\] \[
y \left( t \right) = \boldsymbol c\boldsymbol x\left( t\right)
\] \[
\boldsymbol A =\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}，\boldsymbol b =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}，\boldsymbol c =\begin{pmatrix} 2 & 1 \end{pmatrix}
\] 次の問に答えよ。
(1)　図中の直列補償器のゲイン\( \ k \ \)を零として，状態フィードバック係数ベクトル\( \ \boldsymbol f =\begin{pmatrix} f_{1} & f_{2} \end{pmatrix} \ \)を用いて見掛け上の制御対象の特性改善を図る。行列\( \ \boldsymbol A -\boldsymbol b \boldsymbol f \ \)の固有値を\( \ -3 \ \)，\( \ -4 \ \)に配置する\( \ \boldsymbol f \ \)を計算せよ。

(2)　上記小問(1)で求めた\( \ \boldsymbol f \ \)を用いて特性改善をした見掛け上の制御対象に対して，目標値\( \ r\left( t\right) \ \)に出力\( \ y\left( t\right) \ \)が追従することを目的に，図に示すフィードバック制御系を構成した。閉ループ系が安定になるように直列補償器のゲイン\( \ k \ \)を設計できたとするとき，入力\( \ u\left( t\right) \ \)を\( \ \boldsymbol x\left( t\right) \ \)，\( \ r\left( t\right) \ \)，\( \ \boldsymbol c \ \)，\( \ \boldsymbol f \ \)，\( \ k \ \)を用いて表せ。

(3)　上記小問(2)の入力\( \ u\left( t\right) \ \)を制御対象に加える。閉ループ系の状態方程式を\( \ \boldsymbol {\dot x}\left( t \right) \ \)，\( \ \boldsymbol x\left( t\right) \ \)，\( \ r\left( t\right) \ \)，\( \ \boldsymbol A \ \)，\( \ \boldsymbol b \ \)，\( \ \boldsymbol c \ \)，\( \ \boldsymbol f \ \)，\( \ k \ \)を用いて表せ。

(4)　上記小問(3)で求めた状態方程式の中の\( \ \boldsymbol A \ \)，\( \ \boldsymbol b \ \)，\( \ \boldsymbol c \ \)，\( \ \boldsymbol f \ \)に，与えられた数値及び上記小問(1)で求めた数値を代入して整理せよ。ただし，\( \ k \ \)は変数のままとする。

(5)　目標値の大きさ\( \ r_{0} \ \)でステップ状に変化させる場合を考える。上記小問(2)の仮定より閉ループ系は安定なので，状態\( \ \boldsymbol x\left( t\right) \ \)は定常，すなわち\( \ \boldsymbol {\dot x}\left( \infty \right) =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \ \)となる。このときの定常値\( \ \boldsymbol x\left( \infty \right) \ \)を\( \ k \ \)と\( \ r_{0} \ \)を用いて表せ。

(6)　関係式\( \ e\left( \infty \right) =r_{0} -y\left( \infty \right) =r_{0}-\boldsymbol c\boldsymbol x\left( \infty \right) \ \)を使って，定常偏差\( \ e\left( \infty \right) \ \)を\( \ k \ \)と\( \ r_{0} \ \)を用いて表せ。

【ワンポイント解説】

現代制御理論は一種では何度も出題されていましたが，二種では初めての出題となりました。しかしながら，一度出題されたということは今後も出題される可能性があります。一種の過去問等も参考に対策を講じましょう。

1.行列の固有値
行列\( \ \boldsymbol A =\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \ \)の固有値は，単位行列\( \ \boldsymbol I =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \ \)とすると，\( \ \det \left[ s\boldsymbol I-\boldsymbol A \right]=0 \ \)の解です。具体的には，
\[
\begin{eqnarray}
\det \left[ s\boldsymbol I-\boldsymbol A \right] &=& 0 \\[ 5pt ] \det \left[ s\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \right] &=& 0 \\[ 5pt ] \det \begin{bmatrix} s-a & -b \\ -c & s-d \end{bmatrix} &=& 0\\[ 5pt ] \left( s-a \right) \left( s-d \right) -bc &=& 0 \\[ 5pt ] s^{2}-\left( a+d \right) s+ad-bc &=& 0
\end{eqnarray}
\] の\( \ s \ \)の解となります。

【解答】

(1)行列\( \ \boldsymbol A -\boldsymbol b \boldsymbol f \ \)の固有値を\( \ -3 \ \)，\( \ -4 \ \)に配置する\( \ \boldsymbol f \ \)
\( \ \boldsymbol A -\boldsymbol b \boldsymbol f \ \)に各値を代入して整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
\boldsymbol A -\boldsymbol b \boldsymbol f &=& \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f_{1} & f_{2} \end{pmatrix} \\[ 5pt ] &=& \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ f_{1} & f_{2} \end{pmatrix} \\[ 5pt ] &=& \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -f_{1} & -1-f_{2} \end{pmatrix}
\end{eqnarray}
\] となるから，ワンポイント解説「1.行列の固有値」より行列\( \ \boldsymbol A -\boldsymbol b \boldsymbol f \ \)の固有値は，
\[
\begin{eqnarray}
\det \left[ s\boldsymbol I-\left( \boldsymbol A -\boldsymbol b \boldsymbol f\right) \right] &=& 0 \\[ 5pt ] \det \left[ s\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -f_{1} & -1-f_{2} \end{pmatrix} \right] &=& 0 \\[ 5pt ] \det \begin{bmatrix} s & -1 \\ f_{1} & s+1+f_{2} \end{bmatrix} &=& 0\\[ 5pt ] s \left( s+1+f_{2} \right) +f_{1} &=& 0 \\[ 5pt ] s^{2}+\left( 1+f_{2} \right) s+f_{1} &=& 0
\end{eqnarray}
\] の解となる。この解が\( \ -3 \ \)，\( \ -4 \ \)となるためには，
\[
\begin{eqnarray}
\left( s+3\right) \left( s+4\right) &=& 0 \\[ 5pt ] s^{2}+7 s+12 &=& 0
\end{eqnarray}
\] と各係数が一致しなければならない。よって，係数比較をすると，
\[
\begin{eqnarray}
1+f_{2}&=&7 　⇔　f_{2}=6 \\[ 5pt ] f_{1} &=& 12
\end{eqnarray}
\] となるため，求める行列\( \ \boldsymbol f \ \)は\( \ \boldsymbol f=\begin{pmatrix} 12 & 6 \end{pmatrix} \ \)となる。

(2)入力\( \ u\left( t\right) \ \)を\( \ \boldsymbol x\left( t\right) \ \)，\( \ r\left( t\right) \ \)，\( \ \boldsymbol c \ \)，\( \ \boldsymbol f \ \)，\( \ k \ \)を用いて表す
問題図より，以下の２式が導ける。
\[
\begin{eqnarray}
u\left( t\right) &=& -\boldsymbol f\boldsymbol x\left( t\right)+ke\left( t\right) 　&・・・・・・・・・・①&\\[ 5pt ] e\left( t\right) &=& r\left( t\right) -\boldsymbol c \boldsymbol x\left( t\right) 　&・・・・・・・・・・②&
\end{eqnarray}
\] ②を①に代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
u\left( t\right) &=& -\boldsymbol f\boldsymbol x\left( t\right)+ke\left( t\right) \\[ 5pt ] &=& -\boldsymbol f\boldsymbol x\left( t\right)+k\left\{ r\left( t\right) -\boldsymbol c \boldsymbol x\left( t\right) \right\} \\[ 5pt ] &=& -\left( \boldsymbol f+k\boldsymbol c\right) \boldsymbol x\left( t\right) +kr\left( t\right)
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)状態方程式を\( \ \boldsymbol {\dot x}\left( t \right) \ \)，\( \ \boldsymbol x\left( t\right) \ \)，\( \ r\left( t\right) \ \)，\( \ \boldsymbol A \ \)，\( \ \boldsymbol b \ \)，\( \ \boldsymbol c \ \)，\( \ \boldsymbol f \ \)，\( \ k \ \)を用いて表す
(2)の解答式を状態方程式に代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
\boldsymbol {\dot x}\left( t \right) &=& \boldsymbol A\boldsymbol x\left( t\right)+\boldsymbol b u\left( t\right) \\[ 5pt ] &=& \boldsymbol A\boldsymbol x\left( t\right)+\boldsymbol b \left\{ -\left( \boldsymbol f+k\boldsymbol c\right) \boldsymbol x\left( t\right) +kr\left( t\right)\right\} \\[ 5pt ] &=& \left( \boldsymbol A – \boldsymbol b \boldsymbol f – \boldsymbol b k\boldsymbol c \right) \boldsymbol x\left( t\right) +\boldsymbol b kr\left( t\right)
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)与えられた数値及び上記小問(1)で求めた数値を代入して整理
(2)の解答式に題意に沿って各値を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
\boldsymbol {\dot x}\left( t \right) &=& \left( \boldsymbol A – \boldsymbol b \boldsymbol f – \boldsymbol b k\boldsymbol c \right) \boldsymbol x\left( t\right) +\boldsymbol b kr\left( t\right) \\[ 5pt ] &=& \left[ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 12 & 6 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} k\begin{pmatrix} 2 & 1 \end{pmatrix} \right] \boldsymbol x\left( t\right) +\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} kr\left( t\right) \\[ 5pt ] &=& \left[ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 12 & 6 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 2k & k \end{pmatrix} \right] \boldsymbol x\left( t\right) +\begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix} r\left( t\right) \\[ 5pt ] &=& \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -12-2k & -7-k \end{pmatrix} \boldsymbol x\left( t\right) +\begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix} r\left( t\right)
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)定常値\( \ \boldsymbol x\left( \infty \right) \ \)を\( \ k \ \)と\( \ r_{0} \ \)を用いて表す
\( \ r_{0} \ \)は目標値であるため，閉ループ系が安定であれば，\( \ r\left( \infty \right) =r_{0} \ \)となる。\( \ \boldsymbol x\left( \infty \right)= \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} \ \)とおくと，(4)の解答式は，
\[
\begin{eqnarray}
\boldsymbol {\dot x}\left( \infty \right) &=& \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -12-2k & -7-k \end{pmatrix} \boldsymbol x\left( \infty \right) +\begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix} r\left( \infty \right) \\[ 5pt ] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -12-2k & -7-k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix} r_{0}\\[ 5pt ] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} x_{2} \\ -2\left( 6 +k\right) x_{1} -\left( 7 +k\right) x_{2} +k r_{0} \end{pmatrix}
\end{eqnarray}
\] となる。両辺の係数比較をすることにより，
\[
\begin{eqnarray}
x_{2} &=& 0 \\[ 5pt ] 0 &=& -2\left( 6 +k\right) x_{1}+k r_{0}　⇔　x_{1}=\frac {k r_{0}}{2\left( 6 +k\right) }
\end{eqnarray}
\] と求められるので，\( \ \boldsymbol x\left( \infty \right) = \begin{pmatrix} \frac {k r_{0}}{2\left( 6 +k\right)} \\ 0 \end{pmatrix} \ \)となる。

(6)定常偏差\( \ e\left( \infty \right) \ \)を\( \ k \ \)と\( \ r_{0} \ \)を用いて表す
題意より，\( \ e\left( \infty \right) =r_{0} -y\left( \infty \right) =r_{0}-\boldsymbol c\boldsymbol x\left( \infty \right) \ \)であるから，
\[
\begin{eqnarray}
e\left( \infty \right) &=& r_{0}-\boldsymbol c\boldsymbol x\left( \infty \right) \\[ 5pt ] &=& r_{0}-\begin{pmatrix} 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac {k r_{0}}{2\left( 6 +k\right)} \\ 0 \end{pmatrix} \\[ 5pt ] &=& r_{0}-\frac {k r_{0}}{6 +k} \\[ 5pt ] &=& \frac {6 r_{0}}{6 +k}
\end{eqnarray}
\] と求められる。