《理論》〈電気回路〉[H29:問3]正弦波交流電圧源に接続された抵抗終端リアクタンス回路に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆（やや難しい）

次の文章は，正弦波交流電圧源に接続された，抵抗終端リアクタンス回路に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。

図のように，抵抗\( \ R \ \)で終端した\( \ 2 \ \)端子対リアクタンス回路に正弦波交流電圧源\( \ \dot E \ \)を接続すると，回路の端子対で等式\( \ \displaystyle \frac {\dot V_{0}}{\dot I_{0}}=\frac {\dot V_{1}}{\dot I_{1}}=R \ \)が成立した。\( \ \displaystyle \frac {\dot V_{0}}{\dot I_{0}}=\frac {\dot V_{1}}{\dot I_{1}}=R \ \)を満たす素子値\( \ X_{1} \ \)，\( \ X_{2} \ \)，\( \ R \ \)の組み合わせは，\( \ X_{1}\neq X_{2} \ \)の場合も含めて無数に存在する。このとき，図の\( \ -jX_{2} \ \)に現れる電圧を\( \ \dot V_{1}’ \ \)とおくと，電圧の比\( \ \displaystyle \frac {\dot V_{1}’}{\dot V_{0}} \ \)，\( \ \displaystyle \frac {\dot V_{1}}{\dot V_{1}’} \ \)はインピーダンスの比により，
\[
\begin{eqnarray}
&&\frac {\dot V_{1}’}{\dot V_{0}}=\frac {\fbox {　 （１） 　}}{R}　　，\frac {\dot V_{1}}{\dot V_{1}’}=\frac {R}{\fbox {　 （２） 　}}　　・・・・・・・・・・・　① \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で与えられる。
もし，リアクタンス回路の素子値が\( \ X_{1}=X_{2}=\sqrt {3} \Omega \ \)なら，\( \ \displaystyle \frac {\dot V_{0}}{\dot I_{0}}=\frac {\dot V_{1}}{\dot I_{1}}=R \ \)より，\( \ R=\fbox {　 （３） 　} \ \Omega \ \)であり，電圧の比\( \ \displaystyle \frac {\dot V_{1}}{\dot V_{0}} \ \)は
\[
\begin{eqnarray}
&&\frac {\dot V_{1}}{\dot V_{0}}=\frac {\fbox {　 （１） 　}}{\fbox {　 （２） 　}}=\mathrm {e}^{\mathrm {j} \ \fbox {　 （４） 　}}　　　　　　　・・・・・・・・・・・　② \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。電圧\( \ \dot V_{0} \ \)，\( \ \dot V_{1}’ \ \)，\( \ \dot V_{1} \ \)の大きさの関係は，①，②式より\( \ \fbox {　 （５） 　} \ \)となる。

〔問3の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　\left| \dot V_{0} \right|=\left| \dot V_{1} \right|=\left| \dot V_{1}’ \right|　　　&（ロ）&　-\frac {\pi }{4}　　　&（ハ）&　R-\mathrm {j}X_{2} \\[ 5pt ] &（ニ）&　\frac {\pi }{3}　　　&（ホ）&　R+\mathrm {j}\left( X_{2}-X_{1}\right)　　　&（ヘ）&　\left| \dot V_{0} \right|=\left| \dot V_{1} \right|>\left| \dot V_{1}’ \right| \\[ 5pt ] &（ト）&　1　　　&（チ）&　R-\mathrm {j}X_{1}　　　&（リ）&　R+\mathrm {j}\left( X_{1}-X_{2}\right) \\[ 5pt ] &（ヌ）&　\left| \dot V_{0} \right|=\left| \dot V_{1} \right|<\left| \dot V_{1}' \right|　　　&（ル）&　2　　　&（ヲ）&　R+\mathrm {j}X_{1} \\[ 5pt ] &（ワ）&　R+\mathrm {j}X_{2}　　　&（カ）&　-\frac {\pi }{2}　　　&（ヨ）&　\sqrt {3} \end{eqnarray} \]

【ワンポイント解説】

普通の電気回路ではなく，二種らしくやや特殊な問題となっている上計算量も多いため，難易度がやや高めです。キルヒホッフの法則以外に本問では以下の公式を使用します。

1.オイラーの公式
オイラーの公式は，
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {e}^{\mathrm {j}\theta }&=&\cos \theta + \mathrm {j}\sin \theta \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，例えば，
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {e}^{-\mathrm {j}\frac {\pi }{2} } &=& \cos \left( -\frac {\pi }{2}\right) + \mathrm {j}\sin \left( -\frac {\pi }{2}\right) \\[ 5pt ] &=& 0+\mathrm {j}(-1)\\[ 5pt ] &=& -\mathrm {j}
\end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

(1)解答：チ
キルヒホッフの法則より，\( \ \dot V_{1}’ \ \)を\( \ \dot V_{0} \ \)，\( \ \dot I_{0} \ \)を用いて表すと，
\[
\begin{eqnarray}
\dot V_{1}’&=&\dot V_{0}-\mathrm {j}X_{1}\dot I_{0}　・・・・・・・・・・・　③ \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。題意より，\( \ \displaystyle \frac {\dot V_{0}}{\dot I_{0}}=R \ \)すなわち\( \ \displaystyle {\dot I_{0}}=\frac {\dot V_{0}}{R} \ \)であるから，これを上式に代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
\dot V_{1}’ &=& \dot V_{0}-\mathrm {j}X_{1}\frac {\dot V_{0}}{R} \\[ 5pt ] \frac {\dot V_{1}’}{\dot V_{0}} &=& 1-\frac {\mathrm {j} X_{1}}{R} \\[ 5pt ] \frac {\dot V_{1}’}{\dot V_{0}} &=& \frac {R-\mathrm {j} X_{1}}{R} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答：ヲ
(1)と同様にキルヒホッフの法則より，\( \ \dot V_{1}’ \ \)を\( \ \dot V_{1} \ \)，\( \ \dot I_{1} \ \)を用いて表すと，
\[
\begin{eqnarray}
\dot V_{1}’&=&\dot V_{1}+\mathrm {j}X_{1}\dot I_{1}　・・・・・・・・・・・　④ \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。題意より，\( \ \displaystyle \frac {\dot V_{1}}{\dot I_{1}}=R \ \)すなわち\( \ \displaystyle {\dot I_{1}}=\frac {\dot V_{1}}{R} \ \)であるから，これを上式に代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
\dot V_{1}’ &=& \dot V_{1}+\mathrm {j}X_{1}\frac {\dot V_{1}}{R} \\[ 5pt ] \dot V_{1}’ &=& \frac {R+\mathrm {j} X_{1}}{R}\dot V_{1} \\[ 5pt ] \frac {\dot V_{1}}{\dot V_{1}’} &=& \frac {R}{R+\mathrm {j} X_{1}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答：ヨ
\( \ -\mathrm {j}X_{2} \ \)を流れる電流は\( \ \dot I_{0}-\dot I_{1} \ \)であるから，
\[
\begin{eqnarray}
\dot V_{1}’&=&-\mathrm {j}X_{2}\left( \dot I_{0}-\dot I_{1}\right)　・・・・・・・・・　⑤ \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] である。次に，③，④を変形する。
\[
\begin{eqnarray}
\dot V_{1}’&=&\dot V_{0}-\mathrm {j}X_{1}\dot I_{0}　&・・・・・・・・・・・　③& \\[ 5pt ] \dot V_{1}’&=&\dot V_{1}+\mathrm {j}X_{1}\dot I_{1}　&・・・・・・・・・・・　④& \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，題意より\( \ \dot V_{0}=R\dot I_{0} \ \)，\( \ \dot V_{1}=R\dot I_{1} \ \)であるため，
\[
\begin{eqnarray}
\dot V_{1}’ &=& R\dot I_{0}-\mathrm {j}X_{1}\dot I_{0} \\[ 5pt ] &=& \left( R-\mathrm {j}X_{1}\right) \dot I_{0} \\[ 5pt ] \dot I_{0} &=& \frac {\dot V_{1}’}{R-\mathrm {j}X_{1}}　・・・・・・・・・・・・　③’ \\[ 5pt ] \dot V_{1}’ &=& R\dot I_{1}+\mathrm {j}X_{1}\dot I_{1} \\[ 5pt ] &=& \left( R+\mathrm {j}X_{1}\right) \dot I_{1} \\[ 5pt ] \dot I_{1} &=& \frac {\dot V_{1}’}{R+\mathrm {j}X_{1}}　・・・・・・・・・・・・　④’ \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。\(③’，④’\)を⑤に代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
\dot V_{1}’&=&-\mathrm {j}X_{2}\left( \frac {\dot V_{1}’}{R-\mathrm {j}X_{1}}-\frac {\dot V_{1}’}{R+\mathrm {j}X_{1}}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，両辺\( \ \dot V_{1}’ \ \)で割って\( \ R \ \)について整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
1 &=& -\mathrm {j}X_{2}\left( \frac {1}{R-\mathrm {j}X_{1}}-\frac {1}{R+\mathrm {j}X_{1}}\right) \\[ 5pt ] 1 &=& -\mathrm {j}X_{2}\left[ \frac {\left( R+\mathrm {j}X_{1}\right) -\left( R-\mathrm {j}X_{1}\right) }{\left( R-\mathrm {j}X_{1}\right) \left( R+\mathrm {j}X_{1}\right) }\right] \\[ 5pt ] 1 &=& -\mathrm {j}X_{2}\left( \frac {\mathrm {j}2X_{1} }{R^{2}+X_{1}^{2} }\right) \\[ 5pt ] 1 &=& \frac {2X_{1}X_{2}}{R^{2}+X_{1}^{2} } \\[ 5pt ] R^{2}+X_{1}^{2} &=& 2X_{1}X_{2} \\[ 5pt ] R^{2} &=& 2X_{1}X_{2}-X_{1}^{2} \\[ 5pt ] R &=& \sqrt {2X_{1}X_{2}-X_{1}^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。ここで，\( \ X_{1}=X_{2}=\sqrt {3} \ \)を代入すれば，
\[
\begin{eqnarray}
R&=&\sqrt {2\times \sqrt {3}\times \sqrt {3}-\left( \sqrt {3}\right) ^{2}} \\[ 5pt ] &=&\sqrt {3} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：カ
題意より，\( \ \displaystyle\frac {\dot V_{1}}{\dot V_{0}}=\frac {R-\mathrm {j} X_{1}}{R+\mathrm {j} X_{1}} \ \)であり，これに\( \ R=X_{1}=\sqrt {3} \ \)を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\dot V_{1}}{\dot V_{0}} &=& \frac {\sqrt {3}-\mathrm {j} \sqrt {3}}{\sqrt {3}+\mathrm {j} \sqrt {3}} \\[ 5pt ] &=& \frac {1-\mathrm {j}}{1+\mathrm {j}}
\end{eqnarray}
\] となり，さらに分母分子に\( \ 1-\mathrm {j} \ \)を掛けると，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\dot V_{1}}{\dot V_{0}} &=& \frac {\left( 1-\mathrm {j}\right) \left( 1-\mathrm {j}\right) }{\left( 1+\mathrm {j}\right) \left( 1-\mathrm {j}\right) } \\[ 5pt ] &=& \frac {1-\mathrm {j}2-1}{1+1} \\[ 5pt ] &=& -\mathrm {j}
\end{eqnarray}
\] と求められる。よって，ワンポイント解説「2.オイラーの公式」より\(\displaystyle -\mathrm {j}=e^{-\mathrm {j}\frac {\pi }{2} }\)となる。

(5)解答：ヌ
\( \ \dot V_{0} \ \)を基準とすると，(1)，(4)の解答より，
\[
\begin{eqnarray}
\dot V_{1}’ &=& \frac {R-\mathrm {j} X_{1}}{R}\dot V_{0} \\[ 5pt ] &=& \frac {\sqrt {3}-\mathrm {j} \sqrt {3}}{\sqrt {3}}\dot V_{0} \\[ 5pt ] &=& \left( 1-\mathrm {j}\right)\dot V_{0} \\[ 5pt ] \dot V_{1}&=&-\mathrm {j}\dot V_{0} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから，
\[
\begin{eqnarray}
\left| \dot V_{1}’\right| &=& \sqrt {1^{2}+1^{2}}\left| \dot V_{0}\right| \\[ 5pt ] &=& \sqrt {2}\left| \dot V_{0}\right| \\[ 5pt ] \left| \dot V_{1}\right| &=& \sqrt {1^{2}}\left| \dot V_{0}\right| \\[ 5pt ] &=& \left| \dot V_{0}\right| \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，
\[
\begin{eqnarray}
\left| \dot V_{0} \right|=\left| \dot V_{1} \right|<\left| \dot V_{1}' \right| \\[ 5pt ] \end{eqnarray} \] と求められる。