《理論》〈電磁気〉[H29:問2]環状ソレノイド中の磁界に関する計算問題

Contents

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★★★★☆（やや難しい）

次の文章は，環状ソレノイドコイル中の磁界に関する記述である。文中の$ \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ $に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。なお，コイルが作り出す磁界は環状ソレノイドの円周方向を向いており，コイルの内部にのみ存在するものとする。

図1に示すように$ \ N \ $巻きの巻線が密に巻かれた環状ソレノイドコイルを考える。コイル内部は真空(透磁率は$ \ \mu _{0} \ $)となっており，コイルに電流$ \ I \ $が流れている。半径$ \ R \ $の円周状の閉路$ \ \mathrm {C} \ $に沿ってアンペールの法則を適用すると，閉路$ \ \mathrm {C} \ $上の磁束密度は$ \ B=\fbox {　（１）　} \ $となり，$ \ R \ $の増加に対して$ \ \fbox {　（２）　} \ $。
次に，図2に示すように環状ソレノイドコイルの内部の角度$ \ \theta \ $の領域を透磁率$ \ \mu \ $の磁性体(ただし，$ \ \mu > \mu _{0} \ $)で満たす。真空領域と磁性体領域で磁束密度は一定であると考えられるので、真空領域の磁界$ \ H_{0} \ $と磁性体領域の磁界$ \ H_{1} \ $の比は$ \ H_{0}:H_{1}=\fbox {　（３）　} \ $となり，磁性体中には真空領域の磁束密度と$ \ \fbox {　（４）　} \ $向きの磁化$ \ M \ $が発生する。コイルに流れる電流$ \ I \ $とすると，閉路$ \ \mathrm {C} \ $上の磁束密度は$ \ \fbox {　（５）　} \ $となる。

〔問2の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　\mu : \mu _{0}　　　&（ロ）&　\frac {\mu _{0} NI}{2\pi}　　　&（ハ）&　Bの値は減少する \\[ 5pt ] &（ニ）&　1:1　　　&（ホ）&　\frac {\mu _{0} NI}{2\pi R}　　　&（ヘ）&　垂直な \\[ 5pt ] &（ト）&　Bの値は増加する　　　&（チ）&　\frac {NI^{2}}{\displaystyle \frac {\theta R}{\mu }+\frac {\left( 2\pi -\theta \right) R}{\mu _{0}}}　　　&（リ）&　同じ \\[ 5pt ] &（ヌ）&　\left[\theta R \mu +\left( 2\pi -\theta \right) R\mu _{0} \right] NI　　　&（ル）&　\mu_{0} : \mu　　　&（ヲ）&　2\pi R\mu _{0} NI \\[ 5pt ] &（ワ）&　Bの値は変化しない　　　&（カ）&　\frac {NI}{\displaystyle \frac {\theta R}{\mu }+\frac {\left( 2\pi -\theta \right) R}{\mu _{0}}}　　　&（ヨ）&　逆
\end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

環状ソレノイド自体が出題されにくい問題ですが，本問ではそこに磁性体を挿入するため，難易度がやや高くなっています。

1.アンペールの周回積分の法則
図3の示すような，電流$ \ I \ $が流れている環状ソレノイドの中心に発生する磁界の大きさ$ \ H \ $には，アンペールの周回積分の法則が適用され，
\[
\begin{eqnarray}
NI&=&\int H \mathrm {d}l \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] が成立します。本問においては，
\[
\begin{eqnarray}
NI=2\pi R H　⇔　H=\frac {NI}{2\pi R} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.磁束密度$ \ B \ $と磁界の強さ$ \ H \ $の関係
透磁率が$ \ \mu \ $の時，磁束密度$ \ B \ $と磁界の大きさ$ \ H \ $の関係は，
\[
\begin{eqnarray}
B&=&\mu H \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

(1)解答：ホ
図1での磁界の強さ$ \ H \ $とすると，ワンポイント解説「1.アンペールの周回積分の法則」より，
\[
\begin{eqnarray}
NI&=&2\pi R H \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから，
\[
\begin{eqnarray}
H&=&\frac {NI}{2\pi R} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。ワンポイント解説「2.磁束密度$ \ B \ $と磁界の強さ$ \ H \ $の関係」より，
\[
\begin{eqnarray}
B&=&\mu _{0}H \\[ 5pt ] &=&\frac {\mu _{0}NI}{2\pi R} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答：ハ
(1)の解答式より，$ \ \displaystyle B\propto \frac {1}{R} \ $であるから，$ \ R \ $の増加に対して，$ \ B \ $は反比例して減少する。

(3)解答：イ
ワンポイント解説「2.磁束密度$ \ B \ $と磁界の強さ$ \ H \ $の関係」から，
\[
\begin{eqnarray}
H_{0}&=&\frac {B}{\mu _{0}}　&・・・・・・・・・・　①& \\[ 5pt ] H_{1}&=&\frac {B}{\mu }　&・・・・・・・・・・　②& \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるから，
\[
\begin{eqnarray}
H_{0}:H_{1}&=&\frac {B}{\mu _{0}}:\frac {B}{\mu } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。双方に，$\displaystyle \frac {\mu _{0} \mu }{B}$を掛けると，
\[
\begin{eqnarray}
H_{0}:H_{1}&=&{\mu }:{\mu _{0}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：リ
(3)より$ \ H_{0} > H_{1} \ $となるから，磁性体には磁界(磁束密度)と同方向の磁化が発生する。

(5)解答：カ
図2-1の通り，磁性体内の長さを$ \ l_{1} \ $，真空領域の長さを$ \ l_{2} \ $とすると，
\[
\begin{eqnarray}
l_{1} &=& 2\pi R \times \frac {\theta }{2\pi } \\[ 5pt ] &=& \theta R \\[ 5pt ] l_{2} &=& 2\pi R \times \frac {2\pi -\theta }{2\pi } \\[ 5pt ] &=& \left( 2\pi -\theta \right)R \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。ワンポイント解説「1.アンペールの周回積分の法則」より，より，
\[
\begin{eqnarray}
NI &=& \int H \mathrm {d}l \\[ 5pt ] &=& \int H_{1} \mathrm {d}l_{1} +\int H_{0} \mathrm {d}l_{2} \\[ 5pt ] &=& H_{1} l_{1}+H_{0} l_{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，①，②より$ \ \displaystyle H_{0}=\frac {B}{\mu _{0}}，H_{1}=\frac {B}{\mu } \ $であるから，
\[
\begin{eqnarray}
NI&=&\frac {B}{\mu }\theta R+\frac {B}{\mu _{0}}\left( 2\pi -\theta \right)R \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。$ \ B \ $について整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
B&=&\frac {NI}{\displaystyle \frac {\theta R}{\mu }+\frac {\left( 2\pi -\theta \right) R}{\mu _{0}}} \\[ 5pt ]　
\end{eqnarray}
\] と求められる。