《電力・管理》〈配電〉[H18:問4]ループ配電系統において連系点に流れる電流の大きさに関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

図のように変電所の同一バンクから引き出されていて，それぞれの系統末端において開放状態の連系開閉器によりオープンループで連系されている\( \ \mathrm {A} \ \)配電系統と\( \ \mathrm {B} \ \)配電系統があり，各系統は次のように構成されている。

\( \ \mathrm {A} \ \)系統：変電所引き出しケーブル　\( \ \mathrm {CVT} \ \)ケーブル\( \ 325 \ \mathrm {[{mm}^{2}]}\times 500 \ \mathrm {[m]} \ \)
\( \ \ \)　　　　架空線　　　　　　　　　アルミ電線\( \ 240 \ \mathrm {[{mm}^{2}]}\times 1.5 \ \mathrm {[km]} \ \)
\( \ \mathrm {B} \ \)系統：変電所引き出しケーブル　\( \ \mathrm {CVT} \ \)ケーブル\( \ 325 \ \mathrm {[{mm}^{2}]}\times 100 \ \mathrm {[m]} \ \)
\( \ \ \)　　　　架空線　　　　　　　　　アルミ電線\( \ 240 \ \mathrm {[{mm}^{2}]}\times 1.0 \ \mathrm {[km]} \ \)

また，負荷は各系統の末端に集中して接続されており，各系統からは次のように電力が供給されている。

\( \ \mathrm {A} \ \)系統末端負荷への供給電力：有効電力\( \ 1 \ 350 \ \mathrm {[kW]} \ \)，遅れ無効電力\( \ +654 \ \mathrm {[kvar]} \ \)
\( \ \mathrm {B} \ \)系統末端負荷への供給電力：有効電力\( \ 900 \ \mathrm {[kW]} \ \)，遅れ無効電力\( \ -436 \ \mathrm {[kvar]} \ \)

この状態で連系開閉器を投入したときの，連系点に流れるループ電流の大きさと向きを求めよ。ただし，連系開閉器の投入後も各負荷の消費電力に変化はなく，連系点の電圧は\( \ 6 \ 600 \ \mathrm {[V]} \ \)であるものとする。また，\( \ \mathrm {CVT} \ 325 \ \mathrm {[{mm}^{2}]} \ \)のインピーダンスは\( \ 0.0579+ j0.0951 \ \mathrm {[\Omega /km ]} \ \)，アルミ電線\( \ 240 \ \mathrm {[{mm}^{2}]} \ \)のインピーダンスは\( \ 0.124+ j0.311 \ \mathrm {[\Omega /km ]} \ \)とする。

【ワンポイント解説】

ループ配電系統において連系開閉器を投入したときに，連系点に流れる電流の大きさを求める問題です。
考え方は難しくありませんが，計算量が非常に多くなる問題です。模範解答を参考に計算間違いには十分注意して丁寧に解いていくようにして下さい。

1.ループ配電系統の考え方
図1-1及び図1-2に示すように，配電用変電所の同一バンクから異なる配電線で供給され，連系開閉器で接続されているループ配電系統について考えます。連系開閉器投入前の状態が図1-1の通りであるとすると，連系開閉器投入前の各電圧の関係は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {A}} &=&{\dot V}_{\mathrm {S}}-{\dot Z}_{\mathrm {A}}{\dot I}_{\mathrm {A}} \\[ 5pt ] {\dot V}_{\mathrm {B}} &=&{\dot V}_{\mathrm {S}}-{\dot Z}_{\mathrm {B}}{\dot I}_{\mathrm {B}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，\( \ {\dot V}_{\mathrm {A}}≠{\dot V}_{\mathrm {B}} \ \)のとき，連系開閉器を投入すると電圧\( \ {\dot V}_{\mathrm {A}} \ \)と\( \ {\dot V}_{\mathrm {B}} \ \)が等しくなるようにループ電流が流れます。
このときの電圧を\( \ {\dot V} \ \mathrm {[V]} \ \)，\( \ \mathrm {A} \ \)から\( \ \mathrm {B} \ \)に向かうループ電流が\( \ {\dot I}_{\mathrm {l}} \ \mathrm {[A]} \ \)であるとすると，配電系統全体では図1-2に示すように変化し，
\[
\begin{eqnarray}
\dot V &=&{\dot V}_{\mathrm {S}}-{\dot Z}_{\mathrm {A}}\left( {\dot I}_{\mathrm {A}}+{\dot I}_{\mathrm {l}}\right) \\[ 5pt ] \dot V &=&{\dot V}_{\mathrm {S}}-{\dot Z}_{\mathrm {B}}\left( {\dot I}_{\mathrm {B}}-{\dot I}_{\mathrm {l}}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] すなわち，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {S}}-{\dot Z}_{\mathrm {A}}\left( {\dot I}_{\mathrm {A}}+{\dot I}_{\mathrm {l}}\right) &=&{\dot V}_{\mathrm {S}}-{\dot Z}_{\mathrm {B}}\left( {\dot I}_{\mathrm {B}}-{\dot I}_{\mathrm {l}}\right) \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {A}}\left( {\dot I}_{\mathrm {A}}+{\dot I}_{\mathrm {l}}\right) &=&{\dot Z}_{\mathrm {B}}\left( {\dot I}_{\mathrm {B}}-{\dot I}_{\mathrm {l}}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] が成立します。

2.複素電力
三相線路において，送電端電圧（相電圧）を\( \ {\dot E}_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[V]} \ \)，受電端電圧（相電圧）を\( \ {\dot E}_{\mathrm {r}} \ \mathrm {[V]} \ \)，線路電流を\( \ \dot I \ \mathrm {[A]} \ \)とすると，受電端への送電電力\( \ P+\mathrm {j}Q \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)は遅れ無効電力を正とすれば，
\[
\begin{eqnarray}
P+\mathrm {j}Q&=&3{\dot E}_{\mathrm {r}}\overline {\dot I} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められます。ただし，\( \ \overline {\dot I} \ \)は\( \ \dot I \ \)の共役複素数であり，\( \ \dot I =I_{\mathrm {r}}+\mathrm {j}I_{\mathrm {i}} \ \)であるとき，\( \ \overline {\dot I}=I_{\mathrm {r}}-\mathrm {j}I_{\mathrm {i}} \ \)となります。

【解答】

\( \ \mathrm {A} \ \)系統及び\( \ \mathrm {B} \ \)系統のインピーダンス\( \ {\dot Z}_{A} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)及び\( \ {\dot Z}_{B} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{A}&=&0.5\times \left( 0.0579+ j0.0951\right) +1.5\times \left( 0.124+ j0.311\right) \\[ 5pt ] &=&0.214 \ 95+ j0.514 \ 05 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{B}&=&0.1\times \left( 0.0579+ j0.0951\right) +1.0\times \left( 0.124+ j0.311\right) \\[ 5pt ] &=&0.129 \ 79+ j0.320 \ 51 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，図に示すと図2のようになる。連系開閉器投入後の各末端負荷の負荷電流\( \ {\dot I}_{A} \ \mathrm {[A]} \ \)及び\( \ {\dot I}_{B} \ \mathrm {[A]} \ \)は，ワンポイント解説「2.複素電力」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
P_{A}+jQ_{A}&=&3{\dot E}_{r}\overline {\dot I_{A}} \\[ 5pt ] \overline {\dot I_{A}}&=&\frac {P_{A}+jQ_{A}}{3{\dot E}_{r}} \\[ 5pt ] \dot I_{A}&=&\frac {P_{A}-jQ_{A}}{3\overline {{\dot E}_{r}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\left( 1 \ 350-j654\right) \times 10^{3}}{\displaystyle 3\times \frac {6 \ 600}{\sqrt {3}}} \\[ 5pt ] &≒&118.09- j57.210 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] P_{B}+jQ_{B}&=&3{\dot E}_{r}\overline {\dot I_{B}} \\[ 5pt ] \overline {\dot I_{B}}&=&\frac {P_{B}+jQ_{B}}{3{\dot E}_{r}} \\[ 5pt ] \dot I_{B}&=&\frac {P_{B}-jQ_{B}}{3\overline {{\dot E}_{r}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\left( 900+j436\right) \times 10^{3}}{\displaystyle 3\times \frac {6 \ 600}{\sqrt {3}}} \\[ 5pt ] &≒&78.730+ j38.140 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって，\( \ \mathrm {A} \ \)系統及び\( \ \mathrm {B} \ \)系統に流れる電流を正として，ループ電流を\( \ {\dot I}_{l} \ \mathrm {[A]} \ \)とすれば，ワンポイント解説「1.ループ配電系統の考え方」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{A}\left( {\dot I}_{A}+{\dot I}_{l}\right) &=&{\dot Z}_{B}\left( {\dot I}_{B}-{\dot I}_{l}\right) \\[ 5pt ] {\dot Z}_{A}{\dot I}_{A}+{\dot Z}_{A}{\dot I}_{l} &=&{\dot Z}_{B}{\dot I}_{B}-{\dot Z}_{B}{\dot I}_{l} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{A}{\dot I}_{l}+{\dot Z}_{B}{\dot I}_{l} &=&{\dot Z}_{B}{\dot I}_{B}-{\dot Z}_{A}{\dot I}_{A} \\[ 5pt ] \left( {\dot Z}_{A}+{\dot Z}_{B}\right) {\dot I}_{l} &=&{\dot Z}_{B}{\dot I}_{B}-{\dot Z}_{A}{\dot I}_{A} \\[ 5pt ] {\dot I}_{l} &=&\frac {{\dot Z}_{B}{\dot I}_{B}-{\dot Z}_{A}{\dot I}_{A}}{{\dot Z}_{A}+{\dot Z}_{B}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\left( 0.129 \ 79+ j0.320 \ 51\right) \left( 78.730+ j38.140\right) -\left( 0.214 \ 95+ j0.514 \ 05\right) \left( 118.09- j57.210\right) }{0.214 \ 95+ j0.514 \ 05+0.129 \ 79+ j0.320 \ 51} \\[ 5pt ] &≒&\frac {\left( -2.005 \ 9+j30.184\right) -\left( 54.792+j48.407\right) }{0.344 \ 74+j0.834 \ 56} \\[ 5pt ] &≒&\frac {-56.798-j18.223}{0.344 \ 74+j0.834 \ 56} \\[ 5pt ] &≒&\frac {-56.798-j18.223}{0.344 \ 74+j0.834 \ 56}\times \frac {0.344 \ 74-j0.834 \ 56}{0.344 \ 74-j0.834 \ 56} \\[ 5pt ] &≒&\frac {-34.786+j41.119}{0.815 \ 34} \\[ 5pt ] &≒&-42.664+j50.432 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，実部が負なので，ループ電流は\( \ \mathrm {B} \ \)系統から\( \ \mathrm {A} \ \)系統に流れ，その大きさ\( \ I_{l} \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{l}&=&\sqrt {42.664^{2}+50.432^{2}}
&≒&66.1 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。