【問題】
【難易度】★★★★☆（やや難しい）
次の文章は，静電容量の校正回路に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。
図は，二つの電源，誘導分圧器\( \ \mathrm {(IVD)} \ \)，検流計\( \ \Large {Ⓓ} \ \)，標準抵抗\( \ R_{\mathrm {S}} \ \)からなる，コンデンサの静電容量\( \ C_{\mathrm {X}} \ \)を校正するためのブリッジ回路である。なお，電源電圧は\( \ U \ \)及び\( \ \mathrm {j}U \ \)，つまり位相が\( \ 90^{\circ } \ \)異なっており，周波数\( \ f \ \)は可変である。また，\( \ \mathrm {IVD} \ \)は\( \ 8 \ \)個のタップを持つ理想的な装置であり，分圧比\( \ \displaystyle \frac {n}{8} \ \left( n=1, 2,\cdots ,8\right) \ \)を選択できる。
この校正回路は，\( \ \fbox { （１） } \ \)ブリッジと呼ばれ，ブリッジが平衡して\( \ \Large {Ⓓ} \ \)が零を指示する平衡条件は\( \ f= \ \fbox { （２） } \ \)で表される。
ここで，公称値\( \ 1 \ \mathrm {nF} \ \)の被校正コンデンサを，\( \ f= 1 \ 000 \ \mathrm {Hz} \ \)近傍で校正する場合を考える。まず，平衡条件\( \ f= \ \fbox { （２） } \ \)に，\( \ f= 1 \ 000 \ \mathrm {Hz} \ \)，\( \ C_{\mathrm {X}}=1\times 10^{-9} \ \mathrm {F} \ \)を代入して，平衡条件を満たすための\( \ R_{\mathrm {S}} \ \)と\( \ n \ \)の適切な組み合わせを解答群の中から選択すると，\( \ R_{\mathrm {S}}= \ \fbox { （３） } \ \mathrm {k\Omega } \ \)，\( \ n= \ \fbox { （４） } \ \)となる。
次に電圧を印加し，\( \ f \ \)を調整したところ，\( \ 1 \ 010 \ \mathrm {Hz} \ \)で平衡した。したがって，被校正コンデンサの校正値は，\( \ \fbox { （５） } \ \mathrm {nF} \ \)となる。
〔問4の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）& 0.985 &（ロ）& 0.995 &（ハ）& 1.000 \\[ 5pt ]
&（ニ）& 3 &（ホ）& 5 &（ヘ）& 7 \\[ 5pt ]
&（ト）& 10.00 &（チ）& 50.00 &（リ）& 100.0 \\[ 5pt ]
&（ヌ）& \frac {n}{8R_{\mathrm {S}}C_{\mathrm {X}}} &（ル）& ウィーン &（ヲ）& シェーリング \\[ 5pt ]
&（ワ）& \frac {n}{16\pi R_{\mathrm {S}}C_{\mathrm {X}}} &（カ）& 直角相 &（ヨ）& \frac {n}{2\pi R_{\mathrm {S}}C_{\mathrm {X}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【ワンポイント解説】
ブリッジ回路を用いた静電容量の校正回路に関する問題です。
おそらくほとんどの受験生が学習したことがなく，問題を見て考えながら解いていく能力が求められる問題です。
このような問題は，問題を見た瞬間から「見たことない！」と諦めてしまうと解くことができません。ブリッジ回路の基本である「検流計に流れる電流が零」を考えていけば(2)以降の正答は十分に導き出せるかと思います。
1.直角相ブリッジ回路
図1に示すような，ともに角周波数\( \ \omega \ \mathrm {[rad/s]} \ \)で位相が\( \ 90^{\circ } \ \)異なる二つの電源\( \ E \ \mathrm {[V]} \ \)及び\( \ \mathrm {j}E \ \mathrm {[V]} \ \)，抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，コンデンサ\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)，検流計\( \ \Large {Ⓓ} \ \)から構成されるブリッジ回路を直角相ブリッジ回路といいます。
平衡条件が成立するときすなわち検流計\( \ \Large {Ⓓ} \ \)に電流が流れないとき，検流計での電圧降下が零であることから，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {R}}+{\dot I}_{\mathrm {C}}&=&0 \\[ 5pt ]
\frac {E}{R}+\mathrm {j}\omega C\cdot \mathrm {j}E&=&0 \\[ 5pt ]
\frac {E}{R}-\omega CE&=&0 \\[ 5pt ]
\frac {1}{R}-\omega C&=&0 \\[ 5pt ]
1-\omega CR&=&0 \\[ 5pt ]
\omega CR&=&1 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。これより，角周波数\( \ \omega \ \mathrm {[rad/s]} \ \)を十分に大きな値を取ることで，抵抗値や静電容量の高精細な測定や校正が可能となります。
【解答】
(1)解答：カ
題意より，解答候補は（ル）ウィーン，（ヲ）シェーリング，（カ）直角相，になると思います。
ワンポイント解説「1.直角相ブリッジ回路」の通り，問題図の回路は直角相ブリッジ回路と呼ばれます。本番においては，過去問学習でウィーンブリッジ回路とシェーリングブリッジ回路を知っていて，消去法で求められれば十分かと思います。
(2)解答：ワ
誘導分圧器\( \ \mathrm {(IVD)} \ \)の分圧比が\( \ \displaystyle \frac {n}{8} \ \)であることから，抵抗\( \ R_{\mathrm {S}} \ \)に加わる電圧\( \ V_{\mathrm {R}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {R}}&=&\frac {n}{8}U \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，検流計\( \ \Large {Ⓓ} \ \)に電流が流れないので，抵抗に流れる電流とコンデンサに流れる電流の合計が零となることから，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {V_{\mathrm {R}}}{R_{\mathrm {S}}}+\mathrm {j}2\pi f C_{\mathrm {X}}\cdot \mathrm {j}U&=&0 \\[ 5pt ]
\frac {n}{8R_{\mathrm {S}}}U-2\pi f C_{\mathrm {X}}U&=&0 \\[ 5pt ]
\frac {n}{8R_{\mathrm {S}}}-2\pi f C_{\mathrm {X}}&=&0 \\[ 5pt ]
2\pi f C_{\mathrm {X}}&=&\frac {n}{8R_{\mathrm {S}}} \\[ 5pt ]
f&=&\frac {n}{16\pi R_{\mathrm {S}}C_{\mathrm {X}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(3)解答：リ
(2)解答式に\( \ f= 1 \ 000 \ \mathrm {[Hz]} \ \)，\( \ C_{\mathrm {X}}=1\times 10^{-9} \ \mathrm {[F]} \ \)を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
1 \ 000&=&\frac {n}{16\pi R_{\mathrm {S}}\times 1\times 10^{-9}} \\[ 5pt ]
R_{\mathrm {S}}&=&\frac {n}{16\pi \times 1\times 10^{-9}\times 1 \ 000} \\[ 5pt ]
&≒&19 \ 894n \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。解答群より，\( \ n \ \)は\( \ 3 \ \)，\( \ 5 \ \)，\( \ 7 \ \)のいずれかであることから，それぞれ上式に代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
R_{\mathrm {S}} \left( 3 \right) &=&19 \ 894\times 3 \\[ 5pt ]
&=&59 \ 682 \ \mathrm {[\Omega ]} → 59.7 \ \mathrm {[k\Omega ]} \\[ 5pt ]
R_{\mathrm {S}} \left( 5 \right) &=&19 \ 894\times 5 \\[ 5pt ]
&=&99 \ 470 \ \mathrm {[\Omega ]} → 99.5 \ \mathrm {[k\Omega ]} \\[ 5pt ]
R_{\mathrm {S}} \left( 7 \right) &=&19 \ 894\times 7 \\[ 5pt ]
&≒&139 \ 260 \ \mathrm {[\Omega ]} → 139 \ \mathrm {[k\Omega ]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となることから，適切な\( \ R_{\mathrm {S}} \ \mathrm {[k\Omega ]} \ \)の値は\( \ n=5 \ \)のときの\( \ 100.0 \ \mathrm {[k\Omega ]} \ \)であることがわかる。
(4)解答：ホ
(3)解答より，\( \ n=5 \ \)と求められる。
(5)解答：イ
\( \ R_{\mathrm {S}}=100.0 \ \mathrm {[k\Omega ]} \ \)，\( \ n=5 \ \)，\( \ f= 1 \ 010 \ \mathrm {[Hz]} \ \)を(2)解答式に代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
f&=&\frac {n}{16\pi R_{\mathrm {S}}C_{\mathrm {X}}} \\[ 5pt ]
1 \ 010&=&\frac {5}{16\pi \times 100.0\times 10^{3} \times C_{\mathrm {X}}} \\[ 5pt ]
C_{\mathrm {X}}&=&\frac {5}{16\pi \times 100.0\times 10^{3} \times 1 \ 010} \\[ 5pt ]
&≒&9.85\times 10^{-10} \ \mathrm {[F]} → 0.985 \ \mathrm {[nF]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
【令和８年度版２種一次試験】
