《理論》〈電気回路〉[R08:問5]交流回路の共振現象に関する計算問題

【問題】

【難易度】★☆☆☆☆（易しい）

次の文章は，交流回路の共振現象に関する記述である。文中の$ \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ $に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。

図の回路は電圧$ \ \dot V=V\angle 0 \ $で角周波数$ \ \omega \ $の正弦波交流電源，抵抗$ \ R \ $，インダクタ$ \ L \ $，キャパシタ$ \ C \ $から構成される$ \ \mathrm {RLC} \ $直列回路である。回路には電流$ \ \dot I \ $が流れており，角周波数$ \ \omega \ $は可変である。

この回路が角周波数$ \ \omega =\omega _{0} \ $において共振状態にあるとする。このとき，インダクタの電圧$ \ {\dot V}_{\mathrm {L}} \ $とキャパシタの電圧$ \ {\dot V}_{\mathrm {C}} \ $の大きさは等しく，位相差は$ \ \fbox {　（１）　} \ \mathrm {[rad]} \ $となり，回路には大きさ$ \ I_{0}= \ \fbox {　（２）　} \ $の電流が流れる。
この回路の$ \ Q \ $値$ \ \left( \mathrm {Quality \ Factor}\right) \ $の定義として，
\[
\begin{eqnarray}
Q&=&\frac {共振時のインダクタの無効電力}{共振時の抵抗の有効電力} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] を用いれば，$ \ Q= \ \fbox {　（３）　} \ $となる。

また，共振状態では，インダクタの電圧の大きさ$ \ V_{\mathrm {L}} \ $は，$ \ V \ $，$ \ R \ $，$ \ L \ $及び$ \ \omega _{0} \ $を用いて$ \ V_{\mathrm {L}}= \ \fbox {　（４）　} \ $と表され，$ \ R \ $，$ \ L \ $及び$ \ C \ $が$ \ \fbox {　（５）　} \ $の条件を満たすとき， $ \ V_{\mathrm {L}} \gt V \ $となる。

〔問5の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　\frac {V}{\omega _{0}L}　　　　　&（ロ）&　\frac {\omega _{0}L}{R}　　　　　&（ハ）&　\frac {R}{\omega _{0}L}V \\[ 5pt ] &（ニ）&　\omega _{0}CV　　　　　&（ホ）&　\frac {\pi }{2}　　　　　&（ヘ）&　0 \\[ 5pt ] &（ト）&　\frac {V}{R}　　　　　&（チ）&　\frac {\omega _{0}L}{R}V　　　　　&（リ）&　R\sqrt {\frac {L}{C}} \gt 1 \\[ 5pt ] &（ヌ）&　\frac {R}{\omega _{0}L}　　　　　&（ル）&　\frac {1}{R}\sqrt {\frac {L}{C}} \gt 1 　　　　　&（ヲ）&　\pi \\[ 5pt ] &（ワ）&　\frac {1}{R}\sqrt {\frac {C}{L}} \gt 1　　　　　&（カ）&　\frac {1}{\omega _{0}RL}　　　　　&（ヨ）&　\frac {1}{\omega _{0}RL}V \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

交流回路の直列共振に関する問題です。
共振回路の関係式から変形していく内容で，難易度が高かった令和8年の問題を考えると，本問は確実に高得点を取得しておきたい問題となります。

1.直列回路の共振回路
図1のような$ \ RLC \ $直列回路があった場合の合成インピーダンス$ \ \dot Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ $は，角周波数を$ \ \omega \ \mathrm {[rad / s]} \ $とすると，
\[
\begin{eqnarray}
\dot Z&=&R+\mathrm {j}\omega L +\frac {1}{\mathrm {j}\omega C} \\[ 5pt ] &=&R+\mathrm {j}\left( \omega L -\frac {1}{\omega C}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，インピーダンスが最も小さくなるためには，上式の虚数部が零である必要があります。よって，共振角周波数$ \ \omega _{\mathrm {c}} \ \mathrm {[rad / s]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
\omega_{\mathrm {c}} L -\frac {1}{\omega_{\mathrm {c}} C}&=&0 \\[ 5pt ] \omega_{\mathrm {c}} L &=&\frac {1}{\omega_{\mathrm {c}} C} \\[ 5pt ] \omega_{\mathrm {c}}^{2} &=&\frac {1}{LC} \\[ 5pt ] \omega_{\mathrm {c}} &=& \frac {1}{\sqrt {LC}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。また，共振周波数を$ \ f_{\mathrm {c}} \ \mathrm {[Hz]} \ $とすると，$ \ \omega _{\mathrm {c}}=2\pi f_{\mathrm {c}} \ $より，
\[
\begin{eqnarray}
f_{\mathrm {c}} &=& \frac {1}{2\pi \sqrt {LC}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

(1)解答：ヲ
共振状態であるときのベクトル図を描くと図2のようになる。
図2より，$ \ {\dot V}_{\mathrm {L}} \ $と$ \ {\dot V}_{\mathrm {C}} \ $の位相差は$ \ \pi \ \mathrm {[rad]} \ $であることがわかる。

(2)解答：ト
共振状態であるとき，回路の合成インピーダンスは$ \ R \ $であることから，電流$ \ I_{0} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{0} &=& \frac {V}{R} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答：ロ
$ \ Q \ $値の定義から，
\[
\begin{eqnarray}
Q&=&\frac {\omega _{0} L{I_{0}}^{2}}{R{I_{0}}^{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\omega _{0}L}{R} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：チ
共振状態でのインダクタの電圧の大きさ$ \ V_{\mathrm {L}} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {L}}&=&\omega _{0} LI_{0} \\[ 5pt ] &=&\frac {\omega _{0}L}{R}V \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答：ル
(4)解答式において，$ \ V_{\mathrm {L}} \gt V \ $となるとき，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\omega _{0}L}{R}&\gt &1 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，共振状態において，$ \ \displaystyle \omega _{0}=\frac {1}{\sqrt {LC}} \ $であるから，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {1}{\sqrt {LC}}\frac {L}{R}&\gt &1 \\[ 5pt ] \frac {1}{R}\sqrt {\frac {L}{C}} &\gt &1 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。